高考数学总复习时函数模型及应用随堂检测含解析.doc

（江苏专用）2013年高考数学总复习 第二章第8课时 函数模型及应用 随堂检测（含解析）

1．(2011·高考湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v是车流密度x的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
当0≤x≤200时，求函数v的表达式；
当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f＝x·v可以达到最大？并求出最大值.
解：由题意，当0≤x≤20时，v＝60；
当20≤x≤200时，设v＝ax＋b，
再由已知得解得
故函数v的表达式为
v＝
依题意并由可得
f＝
当0≤x≤20时，f为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1200；
当20<x≤200时，
f＝x≤2＝，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f在区间上取得最大值.
综上，当x＝100时，f在区间上取得最大值≈3333，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时．
2．(2010·高考湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值．
解：(1)设隔热层厚度为x cm，
由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝(0≤x≤10)，
再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝(0≤x≤10)．
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)
＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－.
令f′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0；当5<x≤10时．f′(x)>0.
故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

[A级　双基巩固]
一、填空题
1．今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是________．
①v＝log2t；　　②v＝logt；
③v＝； ④v＝2t－2.
解析：由表中数据可知，当t越大时，v递增的速度越快，而v＝log2t递增速度较慢，v＝logt递减，v＝2t－2匀速，只有v＝符合这一特征．
答案：③
2．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a元(价格为整数)，则a的值为________．
解析：设按出厂价y元购买x套(x≤50)应付a元，
则a＝xy，又a＝(y－30)(x＋11)，又x＋11＞50，即x＞39，
∴39＜x≤50，∴xy＝(y－30)(x＋11)，
∴x＝y－30，又x、y∈N*且39＜x≤50，
∴x＝44，y＝150，
∴a＝44×150＝6600元．
答案：6600元
3．某地2002年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2012年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为________万 m2.(精确到1万 m2,1.0110≈1.1046)
解析：到2012年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.3万人，则≈87(万 m2)．
答案：87
4．某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是______万元．
答案：2500
5．(2010·高考山东卷改编)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________．
解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，且经讨论知x＝9是函数的极大值点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．
答案：9万件
6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：每年购买次数为，
∴总费用＝·4＋4x≥2＝160.
当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立．
故x＝20.
答案：20
7．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an共n个数据，我们规定所测量物理量的“最佳近似值a”是这样一个量：与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…，an，推出的a＝________.
解析：设近似值为x，则f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2取最小值时的x即为a，由f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋(a＋a＋…＋a)知当x＝时，f(x)最小．
答案：(a1＋a2＋…＋an)
8．某超市为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是现金与奖励券合计)就送20元奖励券，满200元就送40元奖励券，满300元就送60元奖励券….当日一位顾客共花现金7020元，如果按照酬宾促销方式，他实际最多能购买________元的商品．
解析：7000元应给奖励券1400元，1400元应给奖励券280元，280元加上7020元余下20元满300元应给奖励券60元．
故最多能购买7000＋1400＋280＋60＋20＝8760元的商品．
答案：8760
二、解答题
9．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图中①、②、③所示，其中图①中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图②中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图③中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？

解：(1)f(t)＝，
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件产品A的销售利润h(t)与上市时间t的关系为
h(t)＝
设这家公司的日销售利润为F(t)，则
F(t)＝
＝.
当0≤t≤20时，F′(t)＝－t2＋48t＝t(48－t)≥0，
故F(t)在[0,20]上单调递增，此时F(t)的最大值是F(20)＝6000＜6300；
当20＜t≤30时，令60(－t2＋8t)＞6300，
解得＜t＜30；
当30<t≤40时，F(t)＝60(－t2＋240)＜60(－×302＋240)＝6300.
故第一批产品A上市后第24天到第30天前，这家公司的日销售利润超过6300万元．
10．某隧道长2150 m，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤10时，相邻两车之间保持20 m的距离；当10＜x≤20时，相邻两车之间保持(x2＋x)m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车尾离开隧道所用的时间为y(s)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)求车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．(≈1.73)
解：(1)当0＜x≤10时，
y＝＝，
当10＜x≤20时，
y＝
＝＋9x＋18，
所以，y＝.
(2)当x∈(0,10]时，在x＝10时，ymin＝＝378(s)．
当x∈(10,20]时，y＝＋9x＋18≥18＋2×
＝18＋180≈329.4(s)，
当且仅当9x＝，即x≈17.3(m/s)时取等号．
因为17.3∈(10,20]，
所以当x＝17.3(m/s)时，ymin＝329.4(s)，
因为378＞329.4，
所以，当车队的速度为17.3(m/s)时，车队通过隧道时间y有最小值329.4(s)．
[B级　能力提升]
一、填空题
1．某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工．若该工程总时间为9天，则完成工序C需要的天数x最大是________．
解析：分析题意可知，B、D工序不能同时进行，
∴B、D工序共需5＋4＝9天，
而完成总工序的时间为9天，
表明A、B同时开工，A完成后C开工且5≥2＋x，
∴x≤3，故x最大值为3.
答案：3
2.

为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定：当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时，学生才能回到教室．
解析：(1)由图可设y＝kt(0≤t≤)，把点(0.1,1)分别代入y＝kt和y＝()t－a，
得k＝10，a＝0.1，
∴y＝.
(2)由()t－0.1＜0.25，得t＞0.6.
答案：(1)y＝　(2)0.6
3．江苏舜天足球俱乐部准备为救助失学儿童在江苏省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6万张．设x是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y＝lg2x，则这三种门票分别为____________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．
解析：该函数模型y＝lg2x已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．
设3元、5元、8元门票的张数分别为 a、b、c，则

①代入③有x＝19.2－(5a＋3b)≤19.2－2＝13.2(万元)，
当且仅当时等号成立，
解得a＝0.6，b＝1，所以c＝0.8.
由于y＝lg2x为增函数，即此时y也恰有最大值．
故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．
答案：0.6、1、0.8
4．(2010·高考江苏卷)将边长为1 m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
解析：设剪成的小正三角形的边长为x.
则s＝＝·(0＜x＜1)，
s′＝·＝－·，
令s′＝0，得x＝或x＝3(舍去)．
即x＝是s的极小值点且是最小值点．
∴smin＝·＝.
答案：
二、解答题
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件可知，24＝k·22，于是有k＝6，
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．
(2)根据(1)，可得f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12).
x
[0,2)
2
(2,12)
12
(12,30]
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小
↗
极大
↘
故x＝12时，f(x)取极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．
6．(2011·高考湖南卷)

如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；(2)其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积S＝时，
(1)写出y的表达式；
(2)设0<v≤10,0<c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解：(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|v－c|＋，
故y＝＝(3|v－c|＋10)．
(2)由(1)知：
当0<v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15；
当c<v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.
故y＝
①当0<c≤时，y是关于v的减函数，
故当v＝10时，ymin＝20－.
②当<c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数，故当v＝c时，ymin＝.