1、函数函数极限极限连续连续第一章 函数、极限与连续第1页第一部分第一部分函数函数第2页1.1.函数定义函数定义第3页例例解解第4页(1)函数有界性函数有界性:再如再如2.2.函数性质函数性质第5页(2)函数奇偶性函数奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo第6页(3)函数单调性函数单调性:设函数设函数f(x)定义域为定义域为D，区间，区间I D，假如对于区间，假如对于区间I上任上任意两点意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加单调增加；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减单调递减；单调增加和单调降低函数统称为单调增
2、加和单调降低函数统称为单调函数单调函数。第7页(4)函数周期性函数周期性:如如第8页3.3.反函数反函数第9页反函数与直接函数之间关系反函数与直接函数之间关系第10页4.4.隐函数隐函数如如第11页5.5.基本初等函数基本初等函数（1）幂函数幂函数第12页（2）指数函数）指数函数第13页（3）对数函数）对数函数第14页（4）三角函数）三角函数第15页（5）反三角函数）反三角函数第16页6.6.复合函数复合函数第17页第18页第19页7.7.初等函数初等函数 由常数和基本初等函数经由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复过有限次四则运算和有限次复合步骤所组成并可用一个式子合步骤所组成并可
3、用一个式子表示函数，称为初等函数表示函数，称为初等函数。如如返回第20页第二部分第二部分函数极限函数极限第21页1.1.数列极限定义数列极限定义第22页2.2.函数极限定义函数极限定义第23页第24页左极限左极限右极限右极限第25页极限为零变量称为极限为零变量称为绝对值无限增大变量称为绝对值无限增大变量称为在同一过程中在同一过程中,无穷大量倒数为无穷小量无穷大量倒数为无穷小量;恒不恒不为零无穷小量倒数为无穷大量为零无穷小量倒数为无穷大量.无穷小量与无穷大量关系无穷小量与无穷大量关系3.3.无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量无穷小量无穷小量.无穷大量无穷大量.第26页性质性质1 在同一过程中在
4、同一过程中,有限个无穷小代数和仍有限个无穷小代数和仍是无穷小是无穷小.性质性质3 有界函数与无穷小乘积是无穷小有界函数与无穷小乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小乘积是无穷小常数与无穷小乘积是无穷小.无穷小运算性质无穷小运算性质性质性质2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小乘积仍是有限个无穷小乘积仍是无穷小无穷小.第27页定义定义:无穷小比较无穷小比较第28页定理定理推论推论1 1推论推论2 24.4.极限四则运算法则极限四则运算法则第29页(1)(2)5.5.两个主要极限两个主要极限第30页第31页第32页6.6.求极限惯用方法求极限惯用方法1、多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函
5、数代入法求极限;2、消去零因子法求极限消去零因子法求极限（分解因式或有理化）（分解因式或有理化）;3、x或或n趋于无穷大趋于无穷大时极限时极限，分子分母同除最高，分子分母同除最高 次幂法或用有理分式极限结论；次幂法或用有理分式极限结论；4、应用主要极限求极限应用主要极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;6、观察法观察法7、利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限;返回第33页第三部分第三部分函数连续性函数连续性第34页1.1.连续定义连续定义第35页定理定理3.3.连续充要条件连续充要条件2.2.单侧连续单侧连续第36页4.4.间断点定义间断点定义第37
6、页(1)跳跃间断点跳跃间断点(2)可去间断可去间断点点5.5.间断点分类间断点分类第38页跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx可去型可去型0yx第39页0yx振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点无穷型无穷型0yx第二类间断点第二类间断点第40页6.6.闭区间连续性闭区间连续性7.7.连续性运算性质连续性运算性质定理定理第41页定理定理1 1 严格单调连续函数必有严格单调连续反严格单调连续函数必有严格单调连续反函数函数.定理定理2 28.8.初等函数连续性初等函数连续性定理定理3 3第42页定理定理
7、4 4 基本初等函数在定义域内是连续基本初等函数在定义域内是连续.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续.定义区间是指包含在定义域内区间定义区间是指包含在定义域内区间.9.9.闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值.第43页定定理理2(2(有有界界性性定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续函函数数一一定定在在该区间上有界该区间上有界.第44页推论推论 在闭区间上连续函数必取得介于最大值在闭区间上连续函数必取得介于最大值M与最小值与最小值m之间任何值之间任何值.第45页例例3 3解解返回第46页
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