三角函数的有关计算直角三角形的边角关系省公开课一等奖新名师优质课比赛一等奖课件.pptx

三角函数三角函数相关计算相关计算九年级数学九年级数学(下下)第一章第一章 直角三角形边角关系直角三角形边角关系第1页CABRtABC中除直角之外五要素中除直角之外五要素:三条边三条边:AB,AC,BC;两个锐角两个锐角:A,B第2页（2）两锐角之间关系）两锐角之间关系AB90（3）边角之间关系）边角之间关系（1）三边之间关系）三边之间关系 （勾股定理）（勾股定理）ABabcC第3页特殊角三角函数值表特殊角三角函数值表三角函数锐角正弦sin余弦cos正切tan300450600第4页由锐角三角函数值反求锐角AAA第5页1.如图，在如图，在RtABC中，中，C 90，求求B.ABC解：在解：在RtABC中，中，tanB=B=3030第6页2.如图,身高1.7m小明用一个两锐角分别是30和60 三角尺测量一棵树高度.已知他与树之间距离为5m,那么这棵树大约有多高?（准确0.1m）解解:在在RtACD中，中，CAD30tan30CDADtan30CE1.7+4.6(m)棵树大棵树大约约4.6m.第7页3.如图，如图，ABC中，中，B=45，C=30，AB=2，求，求AC长长.解：过解：过A作作ADBC于于D，在在Rt ABD中中,B=45,AB=2，D45302AD=ABsinBsinB =在在RtACD中，中，C=30=2sin45=AC=2AD=第8页解：在解：在RtACD中中,BDA45CD=AD AD2 +2知识利用怎样做？w体会这两个图形“模型”作用.将会助你登上希望峰顶.4.4.如图如图,D,D90,B=30,ACD=45,90,B=30,ACD=45,BC=4cm,BC=4cm,求求AD.AD.ABC45304DBD=AD在在RtABD中，中，B30tan30=BDCD=BC,即即 ADAD4xxx第9页建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40mD处观察处观察旗杆顶部旗杆顶部A仰角为仰角为60,观察底部观察底部B仰角为仰角为45,求求旗杆高度旗杆高度(准确到准确到0.1m)BACD40(书本书本17页页)第10页5.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤现实为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤现实状况，交警队在一些主要路口设置了交通路况显示状况，交警队在一些主要路口设置了交通路况显示牌（如图）已知立杆牌（如图）已知立杆AB高度是高度是3m，从侧面，从侧面D点点测得显示牌顶端测得显示牌顶端C点和底端点和底端B点仰角分别是点仰角分别是60和和45求路况显示牌求路况显示牌BC高度高度 长沙解：解：在在RtADB中，中，BDA45，AB3 DA3CA=在在RtADC中，中，CDA60tan60=BC=CABA=(3)米米 答：路况显示牌答：路况显示牌BC高度是高度是(3)米米 第11页6.一个人先爬了一段一个人先爬了一段45o山坡山坡300m后，又爬了后，又爬了一段一段60o山坡山坡200m，恰好抵达山顶。你能计算，恰好抵达山顶。你能计算出山高度吗？出山高度吗？ABCD300m200mFE解：过解：过B作作BECD于于E，BFAD于于F.在在RtABF中，中，A45BFABsin45=150在在RtABF中中,CBE60 CEBCsin60=100山高山高(150 100 )m第12页7.热气球探测器显示热气球探测器显示,从热从热气球看一栋高楼顶部仰角气球看一栋高楼顶部仰角为为30,看这栋高楼底部俯角看这栋高楼底部俯角为为60,热气球与高楼水平距热气球与高楼水平距离为离为120m,这栋高楼有多这栋高楼有多高高?=30=60120ABCD解；在解；在RtABD中，中，BAD30 BDADtan30=40在在RtACD中中,CAD60 CDADtan60=60山高山高100 mBCBD+CD100第13页8.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它周围，它周围8海里范围内有暗礁，海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12海里抵达海里抵达D点，这点，这时测得小岛时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，假如渔船不方向上，假如渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？BA ADF601230解：过解：过A作作AFBD于于F.设设AFx海里海里在在RtABF中中,BAF60 x=6 8在在RtADF中，中，DAF30DF=AFtan30=xBFDF=BD，即，即没有触礁危险没有触礁危险BF=AFtan60 xx第14页CABDABCE解直角三角形知识在生活和生产中有广泛应用，如在测解直角三角形知识在生活和生产中有广泛应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时都惯用到解直角三角量高度、距离、角度，确定方案时都惯用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常经形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常经过作辅助线结构过作辅助线结构直角三角形直角三角形来解来解.温温馨馨提提醒醒D第15页在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素过程叫解直角三角形求其余未知元素过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间关系三边之间关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形依据解直角三角形依据(2)两锐角之间关系两锐角之间关系:A B 90；(3)边角之间关系边角之间关系:abc(必有一边必有一边)第16页感悟：感悟：利用利用解直角三角形解直角三角形知识知识处理实际问题处理实际问题 普通步骤普通步骤:1.将实际问题抽象为数学问题将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形画出平面图形,转化为解直角三角形问题转化为解直角三角形问题)2.依据条件特点依据条件特点,适当选取锐角三角函数等适当选取锐角三角函数等 去解直角三角形去解直角三角形;3.得到数学问题答案得到数学问题答案;4.得到实际问题答案得到实际问题答案.(有有“弦弦”用用“弦弦”;无无“弦弦”用用“切切”)第17页已知斜边求直边，已知斜边求直边，已知直边求直边，已知直边求直边，已知两边求一边，已知两边求一边，已知两边求一角，已知两边求一角，已知直边求斜边，已知直边求斜边，计算方法要选择，计算方法要选择，正弦余弦很方便正弦余弦很方便；利用正切理当然利用正切理当然；函数关系要选好；函数关系要选好；勾股定理最方便；勾股定理最方便；用除还需正余弦用除还需正余弦；能用乘法不用除能用乘法不用除.优优选选关关系系式式CABabc第18页 9.9.如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏西北偏西45450 0方向，灯塔方向，灯塔C C在在B B正东方向，正东方向，且相距且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，海里，请你测算灯塔请你测算灯塔C C处于观察站处于观察站A A什么方向？什么方向？12北A A B BC C1010F第19页 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0方向，灯塔方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处于观察站处于观察站A A什么方向？什么方向？解：过点解：过点C C作作CD AB,CD AB,垂足为垂足为D D北A A B BC CD D10510F灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45方向方向 B=45sinB=CD=BCsinB=10sin45=10 =在在RtDAC中，中，sin DAC=DAC=30CAF=BAF-DAC=45-30=154545灯塔灯塔C处于观察站处于观察站A北偏西北偏西15方向方向第20页 如图，在小岛上有一观察站如图，在小岛上有一观察站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0方向，灯塔方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察站与观察站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处于观察站处于观察站A A什么方向？什么方向？北A BC解：过点解：过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E,E,E1010设CE=x在在RtBAERtBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtCAERtCAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2x2+(10+x)2=(10)2即：x2+10 x-50=0(舍去)灯塔灯塔C C处于观察站处于观察站A A北偏西北偏西1515 方向方向sin CAE=CAE1545第21页1.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知a，A值，则值，则c值为值为 A.atanA B.asinA C.D.（）2.在在Rt ABC中，中，C90，已知，已知 ，BC6，则则AC ，AB .3.在在RtABC中，中，C90，依据以下条件解直角三角形；，依据以下条件解直角三角形；(1)A45,a=3;(2)c=8,b=4;思索：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元思索：解直角三角形时，必须已知几个元素，才能求得其余元素呢？素呢？D810一个直角三角形中，若一个直角三角形中，若已知五个元素中两个元已知五个元素中两个元素（其中必须有一个元素（其中必须有一个元素是边），则这么直角素是边），则这么直角三角形可解三角形可解.第22页在山脚在山脚C处测得山顶处测得山顶A仰角为仰角为45问题以下问题以下:沿沿着水平地面向前着水平地面向前300米抵达米抵达D点在点在D点测得山顶点测得山顶A仰角为仰角为600,求山高求山高AB.DABC4560第23页沈阳中考沈阳中考16如图，市政府准备修建一座高如图，市政府准备修建一座高AB6m过街天桥，过街天桥，已知天桥坡面已知天桥坡面AC与地面与地面BC夹角夹角ACB正正弦值为弦值为 ，则坡面，则坡面AC长度为长度为 m 沈阳中考沈阳中考14如图所表示，某河堤横断面是梯形如图所表示，某河堤横断面是梯形ABCD，BCAD，迎水坡，迎水坡AB长长13米，且米，且tanBAE ，则，则河堤高河堤高BE为为 米米 BCDEA第24页第25页要想使人安全地攀上斜靠在墙面上梯子顶端要想使人安全地攀上斜靠在墙面上梯子顶端,梯梯子与地面所成角子与地面所成角普通要满足普通要满足50 75.现有一现有一个长个长6m梯子梯子.问问:(1)使用这个梯子最高能够安全使用这个梯子最高能够安全攀上多高平房攀上多高平房?(准确到准确到0.1m)这个问题归结为这个问题归结为:在在RtABC中中,已知已知A=75,斜边斜边AB=6,求求BC长长角角越大越大,攀上高度就越高攀上高度就越高.ACB第26页要想使人安全地攀上斜靠在墙面上梯子顶端要想使人安全地攀上斜靠在墙面上梯子顶端,梯梯子与地面所成角子与地面所成角普通要满足普通要满足50 75.现有一现有一个长个长6m梯子梯子.问问:(2)当梯子底端距离墙面当梯子底端距离墙面2.4m时时,梯子与地面所成角梯子与地面所成角等于多等于多少少(准确到准确到1)?这时人这时人能否安全能否安全使用这个梯子使用这个梯子?这个问题归结为这个问题归结为:在在RtABC中中,已知已知AC=2.4m,斜边斜边AB=6,求锐角求锐角度数度数?ACB角角是否在是否在50 75内内第27页例例1.如图，为了测量电线杆高度如图，为了测量电线杆高度AB，在离电线，在离电线杆杆22.7米米C处，用高处，用高1.20米测角仪米测角仪CD测得电线测得电线杆顶端杆顶端B仰角仰角a22，求电线杆求电线杆AB高（准确到高（准确到0.1米）米）1.2022.7第28页仰角和俯角仰角和俯角铅铅直直线线水平线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在进行测量时，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线夹角叫做从下向上看，视线与水平线夹角叫做仰角仰角；从上往下看，视线与水平线夹角叫做从上往下看，视线与水平线夹角叫做俯角俯角.第29页例例1.如图，为了测量电线杆高度如图，为了测量电线杆高度AB，在离电线，在离电线杆杆22.7米米C处，用高处，用高1.20米测角仪米测角仪CD测得电线测得电线杆顶端杆顶端B仰角仰角a22，求电线杆求电线杆AB高（准确到高（准确到0.1米）米）1.2022.722E第30页例例2:热气球探测器显热气球探测器显示示,从热气球看一栋高从热气球看一栋高楼顶部仰角为楼顶部仰角为30,看看这栋高楼底部俯角为这栋高楼底部俯角为60,热气球与高楼水热气球与高楼水平距离为平距离为120m,这栋这栋高楼有多高高楼有多高?=30=60120ABCD第31页建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB,由距由距BC 40mD处观察处观察旗杆顶部旗杆顶部A仰角为仰角为50,观察底部观察底部B仰角为仰角为45,求求旗杆高度旗杆高度(准确到准确到0.1m)BACD40(书本书本93页页)第32页例例3.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东北偏东65方向，距离灯方向，距离灯塔塔80海里海里A处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达位处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达位于灯塔于灯塔P南偏东南偏东34方向上方向上B处，这时，海轮所在处，这时，海轮所在B处距处距离灯塔离灯塔P有多远？有多远？（准确到（准确到0.01海里）海里）6534PBCA第33页指南或指北方向线与目标方向线组成小于指南或指北方向线与目标方向线组成小于900角角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O北偏东北偏东30点点B在点在点O南偏西南偏西45（西南方向）（西南方向）3045BOA东东西西北北南南方位角方位角第34页例例3.如图，一艘海轮位于灯塔如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东北偏东65方向，距离方向，距离灯塔灯塔80海里海里A处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达处，它沿正南方向航行一段时间后，抵达位于灯塔位于灯塔P南偏东南偏东34方向上方向上B处，这时，海轮所在处，这时，海轮所在B处处距离灯塔距离灯塔P有多远？有多远？（准确到（准确到0.01海里）海里）6534PBCA80第35页 1.在解直角三角形及应用时经常接触到在解直角三角形及应用时经常接触到一些概念一些概念(仰角仰角,俯角俯角;方位角等方位角等)2.实际问题向数学模型转化实际问题向数学模型转化 (解直角三角形解直角三角形)1.在解直角三角形在解直角三角形第36页1.在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三 角形五个元素角形五个元素.图中图中A，B，a，b，c即为直角三角形即为直角三角形 五个元素五个元素.2.解直角三角形解直角三角形:在直角三角形中，由在直角三角形中，由已知元素已知元素求求未知元素未知元素过程，叫做解直过程，叫做解直角三角形角三角形 ABabcC第37页