1、大学数学 银杏酒店管理学院第二章 导数与微分第1页大学数学 银杏酒店管理学院教学内容：教学内容：导数定义导数定义 导数几何意义导数几何意义 可导与连续关系可导与连续关系教学要求教学要求 了解导数定义了解导数定义,会应用导数几何意义会应用导数几何意义 处理相关问题处理相关问题,能用定义求简单函数导数能用定义求简单函数导数.第一节第一节 导数概念导数概念第2页大学数学 银杏酒店管理学院一、问题提出一、问题提出1.1.自由落体运动瞬时速度问题自由落体运动瞬时速度问题如图如图,取极限得取极限得第3页大学数学 银杏酒店管理学院2.切线问题切线问题割线极限位置割线极限位置切线位置切线位置第4页大学数学 银
2、杏酒店管理学院如图如图,假如割线假如割线MNMN绕点绕点M M旋转而趋向极限位旋转而趋向极限位置置MT,MT,直线直线MTMT就称为曲线就称为曲线C C在点在点M M处处切线切线.极限位置即极限位置即第5页大学数学 银杏酒店管理学院二、导数定义二、导数定义定义定义第6页大学数学 银杏酒店管理学院其它形式即第7页大学数学 银杏酒店管理学院关于导数说明：关于导数说明：第8页大学数学 银杏酒店管理学院注意注意:第9页大学数学 银杏酒店管理学院2.2.导函数导函数(瞬时改变率瞬时改变率)是函数平均改变率迫近是函数平均改变率迫近函数函数.第10页大学数学 银杏酒店管理学院2.2.右导数右导数:单侧导数单
3、侧导数1.1.左导数左导数:第11页大学数学 银杏酒店管理学院第12页大学数学 银杏酒店管理学院第13页大学数学 银杏酒店管理学院三、由定义求导数三、由定义求导数步骤步骤:例例1 1解解第14页大学数学 银杏酒店管理学院例1解第15页大学数学 银杏酒店管理学院例2解更普通地比如,第16页大学数学 银杏酒店管理学院例3解第17页大学数学 银杏酒店管理学院例4解第18页大学数学 银杏酒店管理学院例5解第19页大学数学 银杏酒店管理学院四、导数几何意义与物理意义四、导数几何意义与物理意义1.几何意义切线方程为法线方程为第20页大学数学 银杏酒店管理学院第21页大学数学 银杏酒店管理学院2.物理意义:
4、非均匀改变量瞬时改变率.变速直线运动:旅程对时间导数为物体瞬时速度.交流电路:电量对时间导数为电流强度.非均匀物体:质量对长度(面积,体积)导数为物体线(面,体)密度.第22页大学数学 银杏酒店管理学院五、可导与连续关系五、可导与连续关系定理:可导函数 都是连续函数.注:反过来不一定成立.第23页大学数学 银杏酒店管理学院连续函数不存在导数举例0比如,注意:该定理逆定理不成立.第24页大学数学 银杏酒店管理学院01比如比如,第25页大学数学 银杏酒店管理学院比如比如:011/1/第26页大学数学 银杏酒店管理学院第27页大学数学 银杏酒店管理学院例7:解:第28页大学数学 银杏酒店管理学院第2
5、9页大学数学 银杏酒店管理学院六、小结六、小结:1.导数实质:增量比极限;3.导数几何意义:切线斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本方法:由定义求导数.6.判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.第30页大学数学 银杏酒店管理学院作业 :P44 7第31页大学数学 银杏酒店管理学院第二节第二节 函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则教学内容：教学内容：函数和、差、积、商求导法则函数和、差、积、商求导法则教学要求教学要求:掌握函数和、差、积、商求导法则掌握函数和、差、积、商求导法则,能应能应 用其求函数导数用其求函数导数.第
6、32页大学数学 银杏酒店管理学院一、和、差、积、商求导法则一、和、差、积、商求导法则定理定理第33页大学数学 银杏酒店管理学院推论:第34页大学数学 银杏酒店管理学院例题分析例题分析:例1解:例2解:第35页大学数学 银杏酒店管理学院例3解:同理可得第36页大学数学 银杏酒店管理学院例4解:同理可得例5解:同理可得第37页大学数学 银杏酒店管理学院例6解:第38页大学数学 银杏酒店管理学院第39页大学数学 银杏酒店管理学院二、反函数导数二、反函数导数定理即:反函数导数等于直接函数导数倒数.第40页大学数学 银杏酒店管理学院证证于是有于是有第41页大学数学 银杏酒店管理学院例7解同理可得第42页
7、大学数学 银杏酒店管理学院例8解尤其地第43页大学数学 银杏酒店管理学院三、三、复合函数求导法则复合函数求导法则定理:即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)第44页大学数学 银杏酒店管理学院证第45页大学数学 银杏酒店管理学院推广例9解第46页大学数学 银杏酒店管理学院例10解:例11解:第47页大学数学 银杏酒店管理学院例12解例13解第48页大学数学 银杏酒店管理学院四、初等函数求导问题四、初等函数求导问题1.1.常数和基本初等函数导数公式常数和基本初等函数导数公式第49页大学数学 银杏酒店管理学院2.函数和、差、积、商求导法则函数和、差、
8、积、商求导法则设设)(),(xvvxuu=可导，则可导，则（1）vuvu =)(,（2）uccu=)(（3）vuvuuv+=)(,（4）)0()(2 -=vvvuvuvu.(是常数是常数)第50页大学数学 银杏酒店管理学院3.复合函数求导法则利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全处理.注意:初等函数导数仍为初等函数.第51页大学数学 银杏酒店管理学院六、小结注意注意:分段函数求导时分段函数求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数求导法则（注意成立条件）反函数求导法则（注意成立条件）;复合函数求导法则复合函数求导法则（注意函数复合过程（注意函数复合过程,合理分解正确使用链导
9、合理分解正确使用链导法）法）;第52页大学数学 银杏酒店管理学院任何初等函数导数都能够按常数和基本初等函数求导公式和上述求导法则求出.关键:正确分解初等函数复合结构.已能求导函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数和、差、积、商.第53页大学数学 银杏酒店管理学院作业P47 1、2、3第54页大学数学 银杏酒店管理学院第三节第三节 隐函数、由参数方程所确定隐函数、由参数方程所确定 函数导数、高阶导数函数导数、高阶导数教学内容：隐函数、由参数方程所确定函数导数 求导法则 高阶导数概念教学要求:了解高阶导数概念 初步掌握隐函数、由参数方程所确定函 数导数求导法则第55页大学数学 银杏酒店管
10、理学院一、隐函数导数定义定义:隐函数显化隐函数显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化怎样求导隐函数不易显化或不能显化怎样求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.第56页大学数学 银杏酒店管理学院例例1:1:解解:解得解得第57页大学数学 银杏酒店管理学院例2解所求切线方程为显然经过原点.第58页大学数学 银杏酒店管理学院例3解第59页大学数学 银杏酒店管理学院二、对数求导法二、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.-对数求导法适用范围:第60页大学数学 银杏酒店管理学院例4解:等式两边取
11、对数得第61页大学数学 银杏酒店管理学院例5解:等式两边取对数得第62页大学数学 银杏酒店管理学院普通地第63页大学数学 银杏酒店管理学院三、由参数方程所确定函数导数三、由参数方程所确定函数导数比如比如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参怎样求导消参困难或无法消参怎样求导?第64页大学数学 银杏酒店管理学院由复合函数及反函数求导法则得第65页大学数学 银杏酒店管理学院例6解:第66页大学数学 银杏酒店管理学院 所求切线方程为第67页大学数学 银杏酒店管理学院高阶导数定义高阶导数定义:问题问题:变速直线运动加速度变速直线运动加速度.定义定义第68页大学数学 银杏酒店管理学院记作三阶导数导
12、数称为四阶导数,二阶和二阶以上导数统称为高阶导数.二阶导数导数称为三阶导数,第69页大学数学 银杏酒店管理学院高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1解解1.1.直接法直接法:由高阶导数定义逐步求高阶导数由高阶导数定义逐步求高阶导数.第70页大学数学 银杏酒店管理学院第71页大学数学 银杏酒店管理学院例例2 2解解第72页大学数学 银杏酒店管理学院例3解注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证实)第73页大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4解解同理可得同理可得第74页大学数学 银杏酒店管理学院例5解第75页大学数学 银杏酒店管理学院2
13、.高阶导数运算法则:莱布尼兹公式第76页大学数学 银杏酒店管理学院例6解:第77页大学数学 银杏酒店管理学院3.间接法:惯用高阶导数公式:利用已知高阶导数公式,经过四则运算,变量代换等方法,求出n阶导数.第78页大学数学 银杏酒店管理学院例7解第79页大学数学 银杏酒店管理学院例例8 8解解第80页大学数学 银杏酒店管理学院五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数求导法则求导按隐函数求导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关改变
14、率相关改变率:经过函数关系确定两个相互依赖改变率经过函数关系确定两个相互依赖改变率;解法解法:经过建立二者之间关系经过建立二者之间关系,用链式求导法求用链式求导法求解解.第81页大学数学 银杏酒店管理学院高阶导数定义及物理意义;高阶导数运算法则(莱布尼兹公式);n阶导数求法;1.直接法;2.间接法.第82页大学数学 银杏酒店管理学院作业P60 2、3、6第83页大学数学 银杏酒店管理学院第四节第四节 函函 数数 微微 分分教学内容：微分概念 函数微分求法 微分在近似计算中应用教学要求:了解微分概念，了解微分在近似计算中 应用，掌握求函数微分方法第84页大学数学 银杏酒店管理学院一、问题提出一、
15、问题提出:实例实例:正方形金属薄片受热后面积改变量正方形金属薄片受热后面积改变量.第85页大学数学 银杏酒店管理学院再比如再比如,既轻易计算又是很好近似值既轻易计算又是很好近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量主要部分改变量主要部分)是否全是否全部函数改变量都有部函数改变量都有?它是什么它是什么?怎样求怎样求?第86页大学数学 银杏酒店管理学院二、微分定义二、微分定义定义定义(微分实质微分实质)第87页大学数学 银杏酒店管理学院由定义知由定义知:第88页大学数学 银杏酒店管理学院三、可微条件定理定理证证(1)必要性必要性第89页大学数学 银杏酒店管理学院(2)充分性充分性第90页大学
16、数学 银杏酒店管理学院例例1 1解解第91页大学数学 银杏酒店管理学院四、微分几何意义MNT）几何意义几何意义:(:(如图如图)P 第92页大学数学 银杏酒店管理学院五、微分求法求法求法:计算函数导数计算函数导数,乘以自变量微分乘以自变量微分.1.1.基本初等函数微分公式基本初等函数微分公式第93页大学数学 银杏酒店管理学院第94页大学数学 银杏酒店管理学院2.函数和、差、积、商微分法则函数和、差、积、商微分法则例例2 2解解第95页大学数学 银杏酒店管理学院例例3 3解解第96页大学数学 银杏酒店管理学院六、微分形式不变性六、微分形式不变性六、微分形式不变性六、微分形式不变性结论：结论：微分
17、形式不变性微分形式不变性第97页大学数学 银杏酒店管理学院例例4 4解解例例3 3解解第98页大学数学 银杏酒店管理学院例例5 5解解在以下等式左端括号中填入适当函数,使等式成立.第99页大学数学 银杏酒店管理学院七、计算函数增量近似值、计算函数增量近似值例例6 6解解第100页大学数学 银杏酒店管理学院计算函数近似值计算函数近似值例例7 7解解第101页大学数学 银杏酒店管理学院第102页大学数学 银杏酒店管理学院惯用近似公式惯用近似公式证实证实第103页大学数学 银杏酒店管理学院例例8 8解解第104页大学数学 银杏酒店管理学院误差预计误差预计因为测量仪器精度、测量条件和测量方法等各种原因
18、影响，测得数据往往带有误差，而依据带有误差数据计算所得结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?第105页大学数学 银杏酒店管理学院方法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.第106页大学数学 银杏酒店管理学院例例9 9解解第107页大学数学 银杏酒店管理学院七、小结七、小结:微分学所要处理两类问题:函数改变率问题函数增量问题微分概念导数概念求导数与微分方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用科学,叫做微分学.导数与微分联络:第108页大学数学 银杏酒店管理学院导数与微分区分:第109页大学
19、数学 银杏酒店管理学院近似计算基本公式第110页大学数学 银杏酒店管理学院作业 P69 4、5第111页大学数学 银杏酒店管理学院求求求求 导导导导 法法法法 则则则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分第二章第二章 习题课习题课第112页大学数学 银杏酒店管理学院1、导数定义定义:第113页大学数学 银杏酒店管理学院2.右导数:单侧导数1.左导数:第114页大学数学 银杏酒店管理学院2、基本导数公式（常数和基本初等函数导数公式）第115页大学数学 银杏酒店管理学院3、求导法则(1)函数和、差、积、商求导法则(2)反函数求导法则第116页大学数学 银杏
20、酒店管理学院(3)复合函数求导法则(4)对数求导法先在方程两边取对数,然后利用隐函数求导方法求出导数.适用范围:第117页大学数学 银杏酒店管理学院(5)隐函数求导法则用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(6)参变量函数求导法则第118页大学数学 银杏酒店管理学院4、高阶导数记作二阶导数导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上导数统称为高阶导数)第119页大学数学 银杏酒店管理学院5、微分定义定义:(微分实质)第120页大学数学 银杏酒店管理学院6 6、导数与微分关系、导数与微分关系:定理定理7 7、微分求法微分求法求法求法:计算函数导数计算函数导数,乘以自变量微分乘以自变量微分.第121页大学数
21、学 银杏酒店管理学院基本初等函数微分公式:第122页大学数学 银杏酒店管理学院 函数和、差、积、商微分法则8、微分基本法则 微分形式不变性第123页大学数学 银杏酒店管理学院二、经典例题例例1 1解解求函数导数第124页大学数学 银杏酒店管理学院例例2 2解解设,求第125页大学数学 银杏酒店管理学院例3解:分析:不能用公式求导.第126页大学数学 银杏酒店管理学院例4:解两边取对数第127页大学数学 银杏酒店管理学院例5解先去掉绝对值:第128页大学数学 银杏酒店管理学院第129页大学数学 银杏酒店管理学院例例6 6解解第130页大学数学 银杏酒店管理学院例例7 7解解第131页大学数学 银杏酒店管理学院测测 验验 题题第132页大学数学 银杏酒店管理学院第133页大学数学 银杏酒店管理学院第134页大学数学 银杏酒店管理学院第135页大学数学 银杏酒店管理学院第136页大学数学 银杏酒店管理学院第137页大学数学 银杏酒店管理学院第138页大学数学 银杏酒店管理学院测验题答案测验题答案第139页大学数学 银杏酒店管理学院第140页大学数学 银杏酒店管理学院 作业：自测题 第141页
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