山西建筑职业技术学院数学教研室市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

山西建筑职业技术学院数学教研室应用数学基础第1页第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节 函数第二节 反函数与初等函数第三节 极限定义第四节 无穷小量与无穷大量第五节 极限运算第六节 函数连续性与间断点第七节 初等函数连续性 闭区间上连续函数性质第2页第一节第一节 函数函数区间、邻域函数概念函数几个特征单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性有界性有界性第3页区间区间定义：区间是用得较多一类数集，它是介于某两个实数之定义：区间是用得较多一类数集，它是介于某两个实数之间全体实数。这两个实数又称为区间端点，比如：设间全体实数。这两个实数又称为区间端点，比如：设a、b都是都是实数，且实数，且ab,数集数集xax0)；y=x2(x任意）任意）第12页u确定反函数步骤确定反函数步骤：（1）从）从函数函数y=f(x)中解出中解出x，得到，得到x=g(y)（2）交换变量）交换变量x与与y，得到反函数为得到反函数为y=g(x)例例3 求函数求函数 反函数反函数例例2 求以下函数反函数求以下函数反函数（1）(2)二、基本初等函数（略）第13页三、复合函数n引例引例 某汽车每公里耗油量为某汽车每公里耗油量为0.20.2公升公升/公里，速度为公里，速度为6060公里公里/小时，求耗油量与时间关系。小时，求耗油量与时间关系。n注意注意：（1）u=g(x)值域与值域与y=f(u)定义域交集要非空，这是两定义域交集要非空，这是两个函数能够复合前提条件。称为外函数，个函数能够复合前提条件。称为外函数，u=g(x)为内函数。为内函数。（2）复合函数定义域有时与内函数定义域相同，有时是其一部）复合函数定义域有时与内函数定义域相同，有时是其一部分。分。n定义定义 设设y是是u函数函数y=f(u)，u是是x函数函数u=g(x)，且，且g(x)函数值全函数值全体或部分在体或部分在f(u)定义域内，那么定义域内，那么y也是也是x函数，记作函数，记作y=fg(x)。称。称这个函数为由这个函数为由y=f(u)，u=g(x)复合而成函数。其中复合而成函数。其中u是中间变是中间变量。量。第14页n复合函数分解复合函数分解n标准：由整体到局部，由外层到内层，逐层分解。标准：由整体到局部，由外层到内层，逐层分解。四、初等函数l定义：由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及有限定义：由基本初等函数及常数经过有限次四则运算及有限次复合步骤组成，而且能够用一个式子表示函数，称为初等次复合步骤组成，而且能够用一个式子表示函数，称为初等函数。函数。例例10 y=cos2x+ln5x例例11 y=ln(arctan(5+x)-3x2第15页五、建立函数关系式举例例例12 12 有一个底半径为，高为圆锥形量杯，为了在它侧面刻上表有一个底半径为，高为圆锥形量杯，为了在它侧面刻上表示容积刻度，需要找出溶液容积与其对应高度之间函数关系，试写示容积刻度，需要找出溶液容积与其对应高度之间函数关系，试写出表示式，并指明定义域。出表示式，并指明定义域。例例14 建筑一个容积为建筑一个容积为8000m8000m3 3，深为，深为6m6m长方体蓄水池，池壁每平方长方体蓄水池，池壁每平方米造价为米造价为1515元，池底每平方米造价为元，池底每平方米造价为3030元，把总造价元，把总造价y（元）表示（元）表示为水池长为水池长 x(m)(m)函数，并求出函数定义域。函数，并求出函数定义域。l建立函数关系式普通步骤：建立函数关系式普通步骤：（1）区分问题中变量与常量，并给出变量表示字母）区分问题中变量与常量，并给出变量表示字母（2）画出简图或依据详细问题包括到学科知识建立变量之间关系式。）画出简图或依据详细问题包括到学科知识建立变量之间关系式。（3）尽可能确定函数定义域。）尽可能确定函数定义域。例例13 13 已知水渠横断面为等腰梯形，倾斜角已知水渠横断面为等腰梯形，倾斜角=40=40，如图，如图ABCDABCD叫叫做过水断面（即垂直于水流断面），做过水断面（即垂直于水流断面），L L=AB+BC+CD AB+BC+CD 叫做水渠温周，叫做水渠温周，当过水断面面积为定值时当过水断面面积为定值时S0S0时，求湿周时，求湿周L L与水渠深与水渠深h h之间函数关系式，之间函数关系式，并指明定义域。并指明定义域。第16页第三节第三节 极限定义极限定义一、数列极限定义二、函数极限定义第17页一 数列极限定义（一）问题引入（一）问题引入例例1 1，1，1，1，例例2 1，-1，1，-1，1，-1，1，-1例例3 战国时期庄子战国时期庄子天下篇：天下篇：“一尺之棰，日取其一尺之棰，日取其半，万世不竭。半，万世不竭。”例例4 1，2，3，n，例例5（二）数列极限描述定义（二）数列极限描述定义定义定义1：当：当n无限增大时，一个数列无限靠近于某一个常无限增大时，一个数列无限靠近于某一个常数数a，则称此数列以，则称此数列以a为极限，或称此数列收敛于为极限，或称此数列收敛于a。记作：。记作：第18页（三）数列极限严格定义（三）数列极限严格定义xn与与a距离用绝对值来刻划距离用绝对值来刻划n无限增大用无限增大用N以后全部项来描述以后全部项来描述假如数列没有极限假如数列没有极限,则称该数列是发散则称该数列是发散.第19页第20页(技巧技巧:不等式放大不等式放大)(四四)数列极限几何意义数列极限几何意义第21页二 函数极限（一）（一）问题引入问题引入第22页（二）（二）函数极限定义函数极限定义 函数极限是研究在自变量某一改变过程中函数改变趋函数极限是研究在自变量某一改变过程中函数改变趋势。依据自变量改变过程，可分以下两种情形：势。依据自变量改变过程，可分以下两种情形：1）当）当x时，函数极限时，函数极限 描述定义：假如描述定义：假如|x|无限增大时，函数无限增大时，函数f(x)总能与某常数总能与某常数A无限无限靠近，则称常数靠近，则称常数A是是x趋于无穷时，函数趋于无穷时，函数f(x)极限极限.准确定义：设函数准确定义：设函数y=f(x)，若对任意给定正数，若对任意给定正数0，总存在，总存在正数正数X，当，当|x|X时，恒有时，恒有|f(x)-A|0，总存，总存在正数在正数X，当，当|x|X时，函数时，函数f(x)图形位于直线图形位于直线y=A和和y=A+所夹横条区域内。所夹横条区域内。类似可定义：类似可定义：三者关系：三者关系：第23页2）xx0时，函数时，函数f(x)极限极限u三者关系：函数三者关系：函数f(x)当当xx0时极限存在充分必要条件是时极限存在充分必要条件是f(x)在在x0点左极限，右极限分别存在且相等。点左极限，右极限分别存在且相等。u定义定义1：设函数：设函数y=f(x)在在x0某个邻域内有定义，假如对于任某个邻域内有定义，假如对于任意给定正数意给定正数（不论它多么小），总存在正数（不论它多么小），总存在正数，使得当，使得当0|x-x0|时，总有时，总有|f(x)-A|恒成立，则称常数恒成立，则称常数A为函数为函数y=f(x)在在xx0时极限，记为时极限，记为 或或u定义定义2：，只需把，只需把 0|x-x0|改为改为 u定义定义3：，只需把，只需把 0|x-x0|改为改为 (左极限）左极限）(右极限）右极限）第24页例例1：求：求 当当x0时左、右极限，并说明当时左、右极限，并说明当x0时极限是否存在时极限是否存在 例例2：讨论函数：讨论函数 当当x1，x2时极限是否存在时极限是否存在 第25页第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量二、无穷大量三、无穷小性质四、无穷小与无穷大关系五、无穷小比较 第26页第四节第四节 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量一、无穷小量定义：假如函数定义：假如函数f(x)当当xx0（或（或x)时极限为零，则称函时极限为零，则称函数数f(x)为为xx0（或（或x)时无穷小量，简称为无穷小。即时无穷小量，简称为无穷小。即 注注：（：（1 1）无穷小量是一个变量，并非常数。常函数中只无穷小量是一个变量，并非常数。常函数中只有有y=0=0能够看作无穷小量。能够看作无穷小量。（2 2）说一个变量是无穷小，必须指明自变量改变趋势。）说一个变量是无穷小，必须指明自变量改变趋势。第27页二、无穷大量定义：假如当定义：假如当xx0（或（或x)时函数时函数f(x)绝对值无限增大绝对值无限增大，则称函数则称函数f(x)为为xx0（或（或x)时无穷大量，简称为无穷大。时无穷大量，简称为无穷大。可记为可记为 或或注注：（：（1 1）无穷大量是一个变量，不能无穷大量是一个变量，不能把绝对值很大数与无穷大混为一谈。把绝对值很大数与无穷大混为一谈。（2 2）说一个变量是无穷大，必须指明自）说一个变量是无穷大，必须指明自变量改变趋势。变量改变趋势。（3 3）在自变量某种改变趋势下，假如）在自变量某种改变趋势下，假如f(x)f(x)取值无限增大，取值无限增大，绝对值无限增大，绝对值无限增大，则可称函数为正无穷大；若则可称函数为正无穷大；若f(x)f(x)取值无取值无限减小，限减小，绝对值无限增大，绝对值无限增大，则可称函数则可称函数为负无穷大。分别记为为负无穷大。分别记为第28页三、无穷小性质v在自变量同一改变过程中，无穷小含有以下性质在自变量同一改变过程中，无穷小含有以下性质（1）有限个无穷小代数和为无穷小）有限个无穷小代数和为无穷小（2）有限个无穷小乘积是无穷小。）有限个无穷小乘积是无穷小。（3）有界函数与无穷小乘积为无穷小。）有界函数与无穷小乘积为无穷小。注：假如将性质中有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论注：假如将性质中有限个无穷小换为无限个无穷小，则结论不一定成立。如不一定成立。如v函数极限与无穷小关系函数极限与无穷小关系定理：在自变量同一改变过程定理：在自变量同一改变过程xx0（或（或x)中，含有极限中，含有极限函数等于它极限与一个无穷小之和；反之，假如函数能够表函数等于它极限与一个无穷小之和；反之，假如函数能够表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数极限。示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这个函数极限。关于性质（）应用关于性质（）应用第29页四、无穷大与无穷小关系 在自变量同一改变过程中，假如在自变量同一改变过程中，假如f(x)为无穷大，则为无穷大，则 为无穷小。反之为无穷小。反之f(x)假如为无穷小，且不为零则假如为无穷小，且不为零则 为无穷大。为无穷大。如若如若f(x)5是是x3时无穷小，则时无穷小，则 ；反；反之，之，则，则f(x)5一定一定是是x3时无穷小时无穷小第30页n等价无穷小可替换定理等价无穷小可替换定理三、渐近线三、渐近线五、无穷小阶比较第31页第五节第五节 极限运算极限运算一、四则运算法则二、两个主要极限第32页一、四则运算法则设设limf(x)=A，limg(x)=B，则，则(1)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=A B(3)第33页求以下极限：求以下极限：例例解：解：例例 2解：解：例例 3解：解：例例 4解：解：第34页例例 5解：解：例例 6解：解：例例 7例例 8例例 9 已知已知 ，求，求a值值解：解：，即即 所以所以第35页小结：求极限惯用方法小结：求极限惯用方法四则运算法则无穷小量性质分子分母同除以最高次幂分解因式，约去奇异因子有理化一个公式：第36页二、两个主要极限第37页第六节第六节 函数连续性与间断点函数连续性与间断点一、函数改变量二、函数连续性三、函数间断点第38页一、函数改变量变量改变量：变量改变量：变量变量t从它初值从它初值t1变到它终值变到它终值t2，终值与初值之差，终值与初值之差t2-t1称为变量称为变量t改变量，记作改变量，记作t=t2-t1,t可正可负。可正可负。函数改变量：函数改变量：对于函数对于函数y=f(x)，当自变量，当自变量x从从x0变到变到x0+x(自自变量改变量为变量改变量为x),必定引发必定引发y有对应增量，我们把它记作有对应增量，我们把它记作 y,y=f(x0+x)-f(x0)。例例1：当正方形边长：当正方形边长x产生一个改变量产生一个改变量 x时，问面积时，问面积y改变多少改变多少？第39页二、函数连续性A1 1、函数在一点、函数在一点 连续性连续性函数在一点连续需满足函数在一点连续需满足三三个条件：个条件：（1 1）函数在）函数在x0处有定义处有定义（2）函数在）函数在x0处有极限处有极限（3 3）极限值等于该点函）极限值等于该点函数值。数值。定义定义1 1：定义定义2 2：第40页例例2 2：设函数：设函数f(x)在在x=-1处不处不连续连续解：解：f(x)在在x=2处处连续连续第41页三、间断点分类第一类：左右极限都存在间断点第一类：左右极限都存在间断点可去间断点：极限存在，但不等于函数值。可去间断点：极限存在，但不等于函数值。跳跃间断点：左右极限不相等。跳跃间断点：左右极限不相等。第二类：不是第一类间断点第二类：不是第一类间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点2 2、函数在区间上连续性、函数在区间上连续性定义：定义：假如函数在区间上每一点都连续，则称函数在假如函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续。它图形是一条连续不间断曲线。该区间上连续。它图形是一条连续不间断曲线。第42页例 题 选 讲第43页第七节第七节 初等函数连续性初等函数连续性闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质一、初等函数连续性二、闭区间上连续函数性质第44页一、初等函数连续性由连续函数和、差、积、商（不为零）由连续函数和、差、积、商（不为零）组成函数仍连续组成函数仍连续由复合函数组成函数仍连续由复合函数组成函数仍连续一个函数在某区间上单值、单调且连续，一个函数在某区间上单值、单调且连续，则它反函数在对应区间上也单值、单调则它反函数在对应区间上也单值、单调且连续且连续结论：初等函数在其定义区间内均连续。结论：初等函数在其定义区间内均连续。第45页应用之一：求极限应用之一：求极限例例1：应用之二：确定函数连续性及间断点应用之二：确定函数连续性及间断点例例2：求函数：求函数 间断点、连续区间，并指间断点、连续区间，并指明间断点类型。明间断点类型。第46页二、闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数在该区间内一定存在最大值与最小闭区间上连续函数在该区间内一定存在最大值与最小值。值。（若函数（若函数y=f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，则它在该区间上连续，则它在该区间上有界）上有界）若若y=f(x)在闭区间上连续，则它在区间在闭区间上连续，则它在区间a,b内能取得内能取得介于最大值与最小值之间任何数。介于最大值与最小值之间任何数。（若（若f(x)在在a,b上连续，且上连续，且f(a)f(b)0，则最少存在一，则最少存在一点点c,使使f(c)=0例例3：证实方程：证实方程x3-3x2-9x+1-0在区间在区间(0,1)内有唯一实根。内有唯一实根。第47页小结与思索极限是数学中一个主要概念，其它主要概念，比如连极限是数学中一个主要概念，其它主要概念，比如连续、导数、定积分都是用极限定义，能够说没有极限续、导数、定积分都是用极限定义，能够说没有极限就没有高等数学严格结构。就没有高等数学严格结构。极限思想是一个处理问题有效方法，在这一方法使用极限思想是一个处理问题有效方法，在这一方法使用过程中，充分表达了从有限到无限，从近似到准确，过程中，充分表达了从有限到无限，从近似到准确，从量变到质变辩证关系，是从改变观点出发研究问题，从量变到质变辩证关系，是从改变观点出发研究问题，从改变中认识处理问题典范。从改变中认识处理问题典范。连续是函数一个主要性态，连续函数含有许多优良性连续是函数一个主要性态，连续函数含有许多优良性质，比如闭区间上连续函数一定有界，一定存在最大质，比如闭区间上连续函数一定有界，一定存在最大值与最小值，连续函数一定可积等，它是反应现实问值与最小值，连续函数一定可积等，它是反应现实问题一个最常见，最简单函数。题一个最常见，最简单函数。第48页