见微知著 因微而深——以“分段函数中的含参问题”为例.pdf

投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）见微知著因微而深以“分段函数中的含参问题”为例孙承辉江苏省天一中学214101咱摘要暂 文章以微专题野分段函数中的含参问题冶为例袁介绍在高三一轮复习中渗透数学思想袁精准地突破难点袁多角度提升学生的数学学科核心素养援关键词分段函数曰微专题曰核心素养作者简介院孙承辉（1981），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学与研究工作援为了回应高中新课标尧新高考模式的改革袁谋划现代学校办学的新样态袁江苏省常州高级中学举办了野耶大教育爷引领下的品质课堂冶公开教研活动袁笔者应邀开设了一节高三一轮微专题课野分段函数中的含参问题冶援笔者以此公开课的开设为契机袁对分段函数中的含参问题进行了归类研究袁并粗浅思考如何以微专题的形式提升高中数学一轮复习的有效性援笔者将本节课的教学实录和感悟整理成文袁以期抛砖引玉援基本情况1.学情分析授课班级为重点高中的普通理科班袁学生整体水平高袁大部分学生思维活跃袁有较强的逻辑推理能力和数学运算能力袁能积极参与课堂教学互动援2.教学内容分析分段函数是一种重要的函数形式袁几乎每年都会出现在高考试题中袁可以说是经久不衰的热点问题援 学生对这类问题多少都有些害怕袁主要是其野分段冶的特征决定分类讨论的必要性援 对于含有参数的分段函数袁学生感到最棘手的是探求分类讨论的标准援 因此袁微专题课野分段函数中的含参问题冶恰好给学生提供了集中精力思考这类问题的机会援考虑到以上因素袁本节课的教学目标是院渊1冤会根据分段函数的特点处理含参问题袁发展直观想象尧数学运算等素养.渊2冤能主动运用分类讨论尧数形结合等思想方法分析和解决问题袁发展数学抽象尧逻辑推理等素养.渊3冤在互动交流和互相合作中积累基本活动经验袁提高问题解决能力援3.教学思路这节课的设计思路是院先引领学生回顾含参分段函数的类型袁然后用例题和习题帮助学生突破含参分段函数的单调性及其零点等难题袁着重突出数学思想方法的运用袁最后共同归纳解题方法和注意点援课堂实录与设计意图1.课前热身袁温故知新学生在课前完成以下填空题院渊1冤已知函数f渊x冤=ax+1原2袁x臆1袁2x原1袁x1袁若f渊0冤=3袁则f渊a冤=_援渊2冤若函数f渊x冤=渊2原a冤x+1袁x0袁且函数g渊x冤=f渊x冤原m有3个零点袁则实数m的取值范围是_援渊4冤若函数f渊x冤=x2原4x原5袁x 课例评析16投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月（下旬）问题袁参数可能出现在哪些位置钥生3院参数可能出现在解析式里尧分界点处或目标问题里援师院同学们对分段函数的认识非常清晰浴 这节课袁我们将重点研究含参分段函数问题援设计意图 课前布置四道含参分段函数填空题袁一方面加深学生对分段函数的理解袁明确它是一个函数袁它的定义域是各段函数定义域的并集袁值域也是各段函数值域的并集.另一方面引发学生思考参数出现的位置要要要参数可能出现在解析式里渊如第渊1冤题和第渊2冤题冤袁也可能出现在目标问题里渊如第渊3冤题冤袁还可能出现在分界点处渊如第渊4冤题冤援2.典例指路袁循序渐进笔者展现例题.例1 若函数f渊x冤=原x2+4x+4袁xk袁4x+3袁x逸k袁是R上的增函数袁则实数k的取值范围是_援生4院由于分段函数f渊x冤是R上的增函数袁因此k臆2袁原k2+4k+4臆4k+3袁解得k臆原1或1臆k臆2援师院非常好浴 已知分段函数的单调性求参数的范围时袁要注意两点院一是每一段函数的单调性一致曰二是分界点处的函数值不反超援接下来袁笔者让学生们思考两道变式题援变式题1院若函数f渊x冤=x x原a+2x在R上单调递增袁 则实数a的取值范围是_援生5院可以把变式题1中的函数f渊x冤=x x原a+2x改写为f渊x冤=原x2+渊2+a冤x袁x1袁若存在x1袁x2沂R且x1屹x2袁使得f渊x1冤=f渊x2冤成立袁则实数a的取值范围是_援生6院根据函数f渊x冤的解析式可知袁它的图象在分界点x=1处不间断援另外袁野存在x1袁x2沂R且x1屹x2袁使得f渊x1冤=f渊x2冤成立冶这句话的意思是野f渊x冤在R上不单调冶援我觉得可以先从它的反面来思考袁也就是假设f渊x冤在R上单调院当a臆0时袁f渊x冤=原x2+ax在渊原肄袁1暂上先增后减袁不符合曰当a0时袁需满足对称轴x=a2逸1袁即a逸2袁f渊x冤在R上单调递增援因此袁所求的a的取值范围是渊原肄袁2冤援设计意图 此环节设计了一道例题和两道变式题袁主要用于解决如何根据分段函数的单调性求参数的范围援解决此类问题袁既要注意每一段函数的单调性袁也要关注分界点两侧函数值的大小关系援变式题1里的是含参绝对值函数袁体现了其野分段冶的本质曰变式题2则将函数的单调性问题隐含在题意里援这野一显一隐冶的变式题组体现了转化与化归以及正难则反的数学思想援3.由此及彼袁突破难点解决含参分段函数的单调性问题后袁笔者投影下面一道例题.例2 已知函数f渊x冤=lnx袁0a袁扇墒设设设设缮设设设设若函数f渊x冤的图象与直线y=ae只有一个公共点渊其中e是自然对数的底数冤袁则实数a的取值范围是_援师院请同学们说一说你们的解题思路和流程.生7院当0ae时袁f渊x冤的图象如图1所示袁要使函数f渊x冤的图象与直线y=ae只有一个公共点袁则lnaaeea袁解得0ae时袁f渊x冤的图象如图3所示袁要使函数f渊x冤的图象与直线y=ae只有一个公共点袁则ea臆ae臆lna袁此时无解援 综上所述袁实数a的取值范围是渊0袁e暂援Oayxy=exy=lnxOyay=lnxy=exOayxy=exy=lnx图1图2图3笔者用GeoGebra软件演示上述动态分类讨论过程袁并追问院当0ae时袁你是怎么解不等式lnaae的呢钥生7院设f渊x冤=lnx原xe渊0 x0袁所以f渊x冤在渊0袁e冤上单调递增援 又f渊e冤=0袁所以不等式f渊x冤0的解为0 xe援 因此袁lnaae的解为0a0冤变化时袁y=ae也在变化袁那么直线x=a与y=ae的交点的轨迹有什么特点呢钥生8院直线x=a与y=ae的交点的轨迹方程是y=1ex 渊x0冤袁它是一条不含端点的射线袁正好与函数y=lnx相切于点P渊e袁1冤援生9院如图4所示袁函数y=lnx和y=Oyxy=exy=lnxy=1exP图4课例评析17投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月（下旬）ex的图象相交于点P袁 直线y=1ex与函数y=lnx的图象相切于点P且在点P处穿过函数y=ex的图象援师院两位同学都观察得非常仔细浴野三线交于一点冶正是这道题的命制背景援根据这道题袁请同学们说一说袁在解决分段函数的零点个数问题时袁我们需要注意些什么呢钥生10院解决分段函数的零点个数问题袁关键在于判断每一段函数各有多少个零点袁必要时我们可以画图来数援师院这位同学归纳得相当精准援如果分段函数含有参数渊或目标函数含有参数冤袁那么我们要厘清参数变化时图象的变化规律袁也就是用运动的观点去研究问题援设计意图 设置例2的主要目的是引导学生探讨如何根据分段函数的零点个数求参数的取值范围援分段函数的形式决定解题需要对自变量的范围进行讨论袁如果函数含有参数袁那么讨论的维度就会增加援这种深层次的分类讨论训练对于提升学生的思维品质是大有裨益的援4.适时强化袁练习反馈笔者布置以下两道题作为练习袁请两位学生在黑板上分别展示解题过程渊内容略冤袁然后让同桌点评解题过程是否合理和正确援渊1冤设函数f渊x冤=渊x原a冤2袁x臆0袁x+1x+a袁x0袁扇墒设设设设缮设设设设若f渊0冤是f渊x冤的最小值袁则实数a的取值范围是_援渊2冤若f渊x冤=x2+渊4a原3冤x+3a袁x0且a屹1冤在R上单调递减袁且关于x的方程f渊x冤=2原x恰好有两个不相等的实数根袁则a的取值范围是_援设计意图 当笔者与学生共同解决完难点后袁笔者布置了两道练习题袁一方面通过学生板书展现其思考过程袁对教学来说是现场反馈和即时交流曰另一方面学生通过互相讨论袁集思广益袁对问题的理解会更加深刻援5.反思归纳袁总结提升师院今天我们一起研究了含参分段函数袁请同学说一说这节课你有哪些收获和体会.生11院我们学习了分段函数的概念尧分段函数的图象与性质尧参数的变化对分段函数图象的影响等知识援对于含参分段函数问题袁我们解题时要善于运用分类讨论和数形结合等方法援师院这位同学的知识理论体系非常清晰袁他对数学思想方法的理解也很到位援 我们今天学习了这一微专题袁在解题过程中要注意体会辩证统一的哲学韵味袁比如分渊分类冤与合渊整合冤的统一尧数渊代数冤与形渊图形冤的统一尧静渊静态冤与动渊运动冤的统一袁等等援设计意图 课堂小结的目的是让学生主动回顾这节课的知识要点和解题方法袁帮助学生系统构建知识网络援笔者对学生的归纳进行了补充和完善袁强调解决含参分段函数问题的常用策略袁这对后续学习有一定的指导意义援教学感悟与思考1.借力数学思想袁高效解决含参函数问题函数中的含参讨论一直是高考热点袁从实际教学效果来看袁借助数学思想方法可以迅速找到解题思路袁避免讨论过程片面和盲目的发生援 比如袁本节课例2的难点在于对a和e的大小关系的分类讨论袁这可以采用数形结合思想要要要在同一直角坐标系中画出函数y=lnx和y=ex的图象袁猜想两者交点的横坐标为e袁但对于该交点的存在性和唯一性袁则需要借助函数与方程思想进行论证援 因此袁数学思想方法并不是空中楼阁袁而是蕴含在解题需求里袁也蕴含在逻辑推理中援2.开设微专题课袁 精准突破复习中的阶段难点在一轮复习过程中袁学生会遇到阶段性难点袁如函数中的零点问题袁解析几何中的隐形圆问题袁数列中的通项与求和问题袁等等援 这时袁教师可以在常规教学中灵活地穿插微专题课袁及时系统地提炼题型与方法袁把隐性的解题经验显性化袁从而为学生的知识体系造就新的野生长点冶袁提升学生运用所学知识解决问题的能力援在微专题教学中袁教师要注意使用合乎逻辑的知识链以及层次清晰的问题串援 例如袁本节课的知识链是野含参分段函数的单调性寅含参分段函数的零点冶袁体现了知识的递进关系援 在例2的求解过程中袁又有如下问题串院野问题1院请同学们说一说你们的解题思路和流程寅问题2院当0ae时袁你是怎么解不等式lna0冤变化时袁y=ae也在变化袁那么直线x=a和y=ae的交点的轨迹有什么特点呢钥寅问题4院在解决分段函数的零点个数问题时袁我们需要注意些什么呢钥 冶这四个问题层层深入袁引领学生由浅入深地思考袁并从一道题引发一类题的归纳总结援 由此可见袁微专题课通过微中知著尧以小见大袁精准地突破难点援3.构建灵动课堂袁多角度提升学生的核心素养课堂是师生交流的舞台袁也是思维火花碰撞的能量场援 数学学科核心素养的培养应该融于每一节课的教学过程袁也应该融于每一个教学环节的精心设计援 因此袁教师需要以知识点为中心袁在发展核心素养的视角下设计微专题复习袁引导学生体悟数学本质和思想方法袁并让学生体会思考带来的乐趣援 例如袁本节课以含参分段函数为载体袁选取典型例题和习题袁通过多种方式激发学生思考袁包括课前野热身冶尧师生互动尧学生互评尧学生提炼等袁让学生主动思考如何解决含参分段函数问题袁培养学生直观想象尧数学抽象尧逻辑推理等核心素养援 对于高三微专题课袁教师要抓住其入口微尧选题精尧针对性强等特点袁主动构建自然而灵动的课堂袁不断提升学生的数学学科核心素养援 课例评析18