南华大学高数练习册曲线积分与曲面积分习题答案1.doc

南华大学高数练习册第十一章 曲线积分与曲面积分
第一节 对弧长的曲线积分
1. 选择题：
(1) 对弧长的曲线积分的计算公式中要
求 （C） .
（A） （B） （C）
(2) 设光滑曲线的弧长为，则 （B） .
（A） （ B） （C）
2.计算下列对弧长的曲线积分：
(1)，其中为
I） 以为顶点的三角形的边界；
II）上半圆周；

解：I）

II）

(2)，其中为上点与点之间的一段弧；
解：

*(3) ，其中为螺旋线；

解：
*(4) ，其中为；
解：L的极坐标方程为，，则
。

第二节 对坐标的曲线积分
1．填空题
(1) 对坐标的曲线积分的计算公式
=
中，下限对应于的 始 点，上限对应于的 终 点；
(2) 第二类曲线积分化为第一类曲线积分是 ，其中为有向光滑曲线在点处的 切向量 的方向角.

2．选择题：
(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B）
（A）无关， （B）有关；

(2) 若，在有向光滑曲线上连续，则 （A）
（A） ，
（B）.
3．计算下列对坐标的曲线积分：
(1)，其中为从点经上半圆周
到点的一段弧；
解：L的方程为，，则
(2) ，其中为上从点到点的一段弧；
解：。
(3) ，其中为与所围成区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；
解：, , 则

*(4)，其中为从点到点，沿着
I）直线段； II）有向折线，这里的、、、依次为点、、、；
解：I）的参数方程为，，则
原式=
II）OA: , ; AB: ,;
BC: ..
原式=

第五节 对坐标的曲面积分
1. 选择题
(1) 对坐标的曲面积分与曲面的方向 （B）
（A）无关 （B）有关
(2) 已知存在，则
+ （A）
（A） （B）
2. 计算下列对坐标的曲面积分：
(1) ，其中为曲面在第一卦限部分的上侧.
解：由知，在xoy面的投影区域为：
，

(2)，其中为在第一卦限的部分且取法线的方向与z轴的夹角为锐角.
解：由已知得，平面与x,y轴的夹角也为锐角，在三坐标面上的投影为等腰直角三角形，故
原式=。

*3．把化为对面积的曲面积分，其中为平面第一卦限部分的上侧.
解：因取上侧，故法向量与z轴正向夹角为锐角，方向余弦为 从而

第六节 Gauss公式 *通量与散度
1. 利用高斯公式计算下列曲面积分：
(1) ，其中为平面
围成的立方体的表面外侧；
解：由Gauss公式，得
原式=。

(2) ，其中由所围空间闭区域的整个边界曲面的外侧；
解：由Gauss公式，得

*(3) ，其中为上半球面的上侧；
解：设为的下侧，与围成的闭区域为，由Gauss公式，得
，
而，故原式=