广东省汕头市潮南区高三考前训练数学理科试题含答案.doc

2016潮南区高三理科数学考前训练题
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知集合，，则( )
A． B． C． D．
2.若复数（是虚数单位），则( )
A． B． C． D．
3．函数=的最小正周期是 ( )
A． B．2p C．p D．4p
4.程序框图如右图所示，当输入为时，输出的的值为( )
A． B． C． D．
5.给出下列四个结论：
①已知X服从正态分布，且P(-2≤X≤2)=0.6，则P(X>2)=0.2；
②若命题，则；
③已知直线，，则的充要条件是；
④设回归直线方程，当变量x增加一个单位时，y平均增加两个单位.
其中正确的结论的个数为（ ）
A.1 B.2 C. 3 D. 4
6．已知等比数列{an}中，a5+a7=dx，则a6（a4+2a6+a8）的值为（ ）
A．16π2 B．4π2 C．2π2 D．π2
7.若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.现有4名选手参加演讲比赛活动，若每位选手可以从4个题目中任意选1个，则恰有1个题目没有被这4位选手选中的情况有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．288种
9.展开式中不含项的系数的和为（ ）
A． B． C． D． 2
10．如右图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线
画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ ）
A． B． C．1 D．
11．已知数列{}满足a1＝1，a2＝2，－＝3，
则当n为偶数时，数列{}的前n项和＝（ ）
A．－ B．＋ C． D．
12．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 已知平面向量, 满足||=1，||=2，且（+）⊥，则与的夹角为
14.设实数，满足约束条件，则目标函数的最大值为
15.设是半径为4的球面上的四点，且满足,，则的最大值是
16．已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，设，若在数列中，，则实数的取值范围是_____.
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在中，角的对边分别是，满足.
（1） 求
（2） 若的面积为，(其中a<b)，求的角平分线的长度.
18. （本小题满分12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标
[70，76）
[76，82）
[82，88）
[88，94）
[95，100）
芯片甲
8
12
40
32
8
芯片乙
7
18
40
29
6

（1）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；
（2）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（1）的前提下，
（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列；
（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．

19．（本题满分12分）A
B
C
D
M
A
B
C
D
M
在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为.
（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；
（2）若M是AB的中点，求折起后AC与
平面MCD所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）如图所示，设直线与圆、椭圆C同时相切，切点分别为A，B，求|AB|的最大值．

21．（本小题满分12分）已知（为自然对数的底数，）.
（Ⅰ）设为的导函数，证明：当时，的最小值小于0；
（Ⅱ）若恒成立，求符合条件的最小整数.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，过点分别做圆的切线、和割线，弦交于，满足、、、四点共圆.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若圆的半径为5，且，
求四边形的外接圆的半径.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线：和曲线：，以极点为坐标原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点是曲线上一动点，过点作线段的垂线交曲线于点，求线段长度的最小值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）若恒成立，求实数的最大值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数满足，证明：

2016潮南区高三理科数学训练题参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
A
A
B
D
C
B
D
C
D
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13. 14. 4 15. 32 16．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，，
可得，
所以，
所以，
因为， 所以，故； ……………………………………6分
（Ⅱ）解法一：由已知，
所以，……………………………7分
又，解得， ……………………………8分
由余弦定理可知，所以.……………………………9分
所以,为直角三角形，.……………………………10分
因为平分，所以在中，. ………………12分
解法二：在中，因为平分，所以
因为 ，所以，
由已知，所以，
又， 解得. ………………….12分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，
芯片乙为合格品的概率约为． …（3分）
（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.
； ；
； ．
所以，随机变量X的分布列为：
X
90
45
30
﹣15
P

…（8分）
（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．
依题意，得 50n﹣10（5﹣n）≥140，解得 ．所以 n=4，或n=5．………………….10分
设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，
则 ． ………………….12分

19．（本题满分12分）

20．（本小题满分1 2分）
解（1）设F（C，0），则，知a=，……………………………1分
过点F且与x轴垂直的直线方程为x=c，代入椭圆方程有
，解得b＝1，……………………………2分
又，所以椭圆C的方程为…………………………………………………4分
（2）依题意直线l的斜线存在，设直线l：y＝kx＋m
　　 将，…………………………5分
令△＝0，得

………………………………………………………………………………………………………6分
…………………………………………7分
…………………………………8分
由…………………9分
又
＝……………………………………………………………………………………11分
当且仅当时取等号
……………………………………………………………………………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：令,则
因为，令，得
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增--------------------2分
则--------------------3分
令，

当时，，单调递增
当时，，单调递减
所以，所以成立. --------------------5分
（Ⅱ）证明：恒成立，等价于恒成立
令，则
因为，所以，所以单调递增，
又，，所以存在，使得-------------6分
则时，单调递减；
时，单调递增；
所以恒成立.........(1)
且...........(2)
由（1）（2）,即可-----------8分
又由（2），所以---------------------9分
令

，
所以，所以单调递增，
，
---------------------11分
所以，所以符合条件的---------------------12分
法2：令，故符合条件的最小整数.-------------------6分
现证明时， 求的最小值即可
令，则
因为，所以，所以单调递增，
又，，所以存在，使得
则时，单调递减；
时，单调递增；
所以 .(1)
且...........(2)
---------------8分
又由（2），所以---------------9分
现在求函数的范围
，，
所以，所以单调递减，

-------------11分
所以是符合条件的. -------------12分
请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
解：（I）连接AB,
P、B、F、A四点共圆，
．　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
又PA与圆O切于点A, ,．．．．．．．．．．．．．4分

.．．．．．．．．．．．．．5分
（II）因为PA、PB是圆O的切线，所以P、B、O、A四点共圆，
由外接圆的唯一性可得P、B、F、A、O共圆，
四边形PBFA的外接圆就是四边形PBOA的外接圆，
OP是该外接圆的直径. ．．．．．．．．．．．．．7分
由切割线定理可得．．．．．．．．．．．．．9分
.
四边形PBFA的外接圆的半径为. ．．．．．．．．．．．．10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解：（I）的直角坐标方程为， ．．．．．．．．．．．．2分
的直角坐标方程为；．．．．．．．．．．．．4分
（II）设曲线与x轴异于原点的交点为A,
,过点A,
设直线PQ的参数方程为，
代入可得解得，
可知．．．．．．．．．．．．6分
代入可得解得，
可知．．．．．．．．．．．．8分
所以PQ=当且仅当时取等号，
所以线段PQ长度的最小值为.．．．．．．．．．．．．10分
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（I）由已知可得，
所以， ．．．．．．．．．．．．3分
所以只需，解得，
，
所以实数的最大值. ．．．．．．．．．．．．5分
（II）法一：综合法

，当且仅当时取等号，①．．．．．．．．．．．．7分
又
，当且仅当时取等号，②．．．．．．．．．．．．9分
由①②得，，所以.．．．．．．．．．．．．10分
法二：分析法因为,
所以要证，只需证，
即证，
，所以只要证，．．．．．．．．．．．．7分
即证，
即证，因为，所以只需证，
下证，
因为，所以成立，
所以．．．．．．．．．．．．10分