利用法布里-珀罗腔开展激光模式的实验教学研究_赵健.pdf

第 卷第 期大学物理实验 年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；基础学科拔尖学生培养计划 研究课题（）通讯联系人文章编号：（）利用法布里珀罗腔开展激光模式的实验教学研究赵 健，吴翰钟，翟雨欣，孙博轩，文桂晗，张 洁（湖北商贸学院 人工智能学院，湖北 武汉；华中科技大学 物理学院，湖北 武汉）摘要：将激光束耦合进入法布里珀罗（）腔，这一物理过程相当于对传输光场施加周期性边界条件，导致 腔的输出光束为一系列具有离散分布特点的激光模式。一般来说，激光模式可以分为横模与纵模（也称作轴向模）。为使本科生更加直观地理解光束在 谐振腔内传输这一边值条件问题，本文详尽地描述了基于 腔开展激光模式教学的实验课程。该课程由三个小实验组成，分别是：（）测量基模光斑的束腰半径来研究激光的横模；（）测量 腔的自由光谱区表征激光的纵模；（）通过探测 腔的透射信号与反射（）信号，并基于两种独立的方法测量 腔的腔线宽和腔精细度进一步表征纵模。作为一门针对高年级本科生的创新物理实验课程，通过本实验的训练有助于理解光学、激光原理、光电子学等相关物理课程内容，也有助于启发学生掌握基于 腔实现激光稳频的相关技术。关键词：法布里珀罗腔；激光模式；边值条件问题中图分类号：文献标志码：大学物理实验投稿网址：模式，这一基本概念是理解物理系统量子化特征的重要基础，表现为系统具有一系列离散的取值。激光模式是将激光耦合进入谐振腔内，所形成电磁驻波的一种可能状态。一种使用最为广泛进行光场约束的谐振腔是法布里珀罗（）腔。入射光场一旦在 腔内建立稳态振荡，光束输出将表现为一系列离散的激光模式。腔是一个由两面相对平行放置高反射镜所组成的多光束干涉仪。关于 腔的基本理论在许多教科书以及文献中进行了详细介绍，。此外，也有一些文章报道了基于 腔开展光谱分析实验教学的研究。但基于 腔开展激光模式教学研究的文章尚不多见。激光模式本质上是光场在谐振腔内传输的本征解，而边界条件是由组成 腔的两面腔镜所施加。对于 腔输出的激光模式，可由横模和纵模这两类本征模式分别进行独立描述。横模用于描述垂直于光场能量传输方向的空间模场分布，横模输出的空间图样主要受 腔两面腔镜的几何参数影响，包括腔镜面形（圆形或方形）、腔镜的曲率半径等。纵模用于描述沿着光场能量传输方向的光强分布，它通常由本征频率所表征。由于 腔内光子的高相干性，腔输出的纵模线宽通常比入射激光线宽要窄得多，这一优势导致 腔被广泛用于开展激光稳频、精密光谱学、光学原子钟、以及引力波探测等研究领域。为实现对激光模式直观且全面的理解，本文在实验上使用一面平面镜和一面凹面镜组成一个具有半对称结构，且满足稳定性条件的 腔。通过精细调节激光频率使入射激光与 腔发生共振，可在实验上观察到各阶拉盖尔高斯横模。基于所观察到的激光模式，我们对激光光斑的束腰半径、自由光谱区、相邻横模的频率间隔、腔线宽等光学参数分别进行了测量，用于全面表征激光的横模与纵模特性。这些实验测量得到的光学参数也与由 腔的腔长、两面腔镜的反射率以及曲率半径等实验设计参数给出光学参数的理论参考值进行了对比。本实验课程的特色在于作为针对本科生的创新物理实验，实验内容全面涵盖了光学、激光技术、光电子学、反馈控制学等大学物理相关课程内容。在 个的设计学时内，通过三个相互联系的小实验全面理解 腔和激光模式的基本概念。通过本实验教学后希望 腔对于学生而言，不再是一个“黑盒子”，而是能够促进对激光稳频等技术进行理解，并培养学生的创新能力，为下一阶段的科研训练打好基础。腔的基本理论模型 传递函数法分析 腔输出的纵模 腔由两面高反射率腔镜 和 所组成，其示意图如图 所示。两面腔镜的间距是，对应于腔长。每面腔镜（，）的反射系数是，透射系数是，而损耗系数是。不考虑腔镜的损耗，这些系数之间满足能量守恒关系：（）将振幅为（）的单频光耦合进入 腔，光场会在两个腔镜之间来回多次反射与透射，产生多光束干涉效应，形成透射光场（）与反射光场（）输出。为了简化分析，可将 腔视为一个线性时不变的频率响应系统，它具有一个输入端口（）以及两个输出端口（）与（）。腔的输出特性可由传递函数法进行分析表征。图 腔的工作原理示意图对于腔内任意一点处（图 中绿色点位置）的循环光场（），它是入射光场（）经前腔镜 透射的光场与循环光场经过一次腔内往返后光场的干涉叠加，即：（）（）（），（）其中 是光在腔内往返一周引入的相位延迟。由此可得腔内循环光场（）与入射光场（）的函数关系为：（）（）（）腔内循环光场经后腔镜 透射输出，形成透射光场（），透射光场的传递函数（）可表示为：（）（）（）（）对于两片反射系数相同腔镜（）所组成的 腔，入射光的光强透射函数可化简为：（）（）（），（）它具有典型的洛伦兹分布线型，这里反射率。对于不同反射率腔镜，光强透射函数随激光频率 变化的线型如图 所示。由图可知，透射光强与入射激光频率密切相关，且具有等频率间隔分布的透射峰，每一个透射峰对应 腔的一个纵模。相邻纵模之间的频率间隔为 腔的自由光谱区：，（）图 腔的光强透射函数这里正整数 是纵模数。当入射激光频率是自由光谱区的整数倍，即满足 时，激光与 腔共振，可达到最大透射率为；当偏离共振频率时，透射光强迅速降低。定义透射峰光强下降为峰极大值一半所对应的频谱宽度为 腔线宽，对于一般情形由具有不同反射率的两腔镜所组成的 腔，其腔线宽为：（）假设两面反射镜表面完全平整且平行放置，腔的腔精细度 （），它是自由光谱区与腔线宽的比值。腔精细度由两面腔镜的反射率决定，反映了 腔内光场的相干性。大 学 物 理 实 验 年 腔输出的横模 腔通常也被视为一个谐振器，它的两面腔镜不仅在传输方向上限制光场，导致沿着光轴方向的纵模输出，也会在垂直于光轴传输方向的平面上形成一系列特定的空间图样。每一种空间图样对应于光场的一个本征解，形成一个横模。为了将入射光场限制在 谐振腔内，两面腔镜在几何尺寸上需要满足稳定性条件，即：，（）这里，谐振腔的 参数是由腔镜曲率半径 与腔长 共同确定的参数，只有满足稳定性条件的谐振腔才能实现稳定的激光模式输出。横模的产生可通过“孔阑传输线”进行直观地理解，光场每次通过腔镜，相当于周期性通过有限孔径的孔阑，将由于衍射导致空间光场分布发生变化。来回往返多次通过腔镜，经过多次衍射过程最终将实现稳定的空间横模输出。横模输出的空间光场分布可由迭代算法求解基尔霍夫 菲涅尔公式得到，即：（，）（，）（），（）这里线元 是孔阑上一点到观察平面上某一点之间的距离，角度因子 取决于线元 与面积微元 之间的夹角，传输常数 ，而表示传输过程引入的轴向相移。对于圆形孔径，光场更倾向于以柱对称形式的模式振荡。在圆柱坐标系下，用近轴波动方程近似可求得具有拉盖尔 高斯函数形式的光场：（，）（）（）（）（）（）()（），（）式中 和 分别是径向与角向的横模数，是径向、角向和轴向坐标，光场振幅的归一化常数！()！()，是缔合拉盖尔多项式。高斯光束参数（），它用来表征光束的复曲率半径，而附加相位项与轴向位置有关即（）（）（）。瑞利距离 由高斯光束腰斑半径 确定且 ，（）是高斯光束在观察平面的光斑半径。理论计算的低阶盖拉尔 高斯模式的光强分布如图 所示。图 理论计算的拉盖尔高斯光束光强分布调谐激光频率与 腔发生共振时，共振腔输出不同的横模。对于具有拉盖尔高斯函数形式分布的横模，其共振频率是：，（）对于纵模数为 的各阶模式，它们都聚集在轴向纵模 的高频一侧。相邻横模之间的频率间隔是由附加相移所引起，它取决于拉盖尔高斯光束径向与角向方向的模式数。为了定量表征 腔输出的横模，可由高斯光束的束腰半径（光场强度的 ）进行描述，对于平凹面镜组成的 腔，高斯光束的束腰位置位于前腔镜表面处，对应的束腰半径是：（）实验装置介绍为实现对 输出激光模式的可视化理解，本文设计了如图 所示的实验装置，腔的实物照片如插图中所示。实验中满足稳定性条件的 腔采用半对称结构的平凹腔设计，可避免要求 第 期赵 健，等：利用法布里珀罗腔开展激光模式的实验教学研究精细调节两腔镜的光轴对准。前腔镜 为平面镜，镜面直径为 ，厚度为 。后腔镜 为平凹面镜，镜面直径为 ，凹面曲率半径 为 ，镜子中心厚度为 。由于实验课程面向本科生，为便于教学，选用的激光中心波长为 ，可由裸眼直接观察。（图中黄线代表耦合进入 腔的激光光束；绿线代表反射光线用于探测 信号；蓝线代表耦合进入波长计用于波长测量的激光光束），插图中为 腔的照片。）图 实验装置照片 组成 腔的两面腔镜都在工作波长 处进行了镀高反膜处理，平面镜与凹面镜的反射率都是 （由分光光度计 测量给出）。两面腔镜之间通过特氟龙塑料进行支撑连接，腔镜之间的间距约为。由表达式（）可知，因子乘积，满足 腔稳定性条件，可实现稳定模式输出。实验原理图如图 所示。实线代表光路，而虚线代表电路图 实验装置原理图光源是外腔半导体激光器发射光束的中心波长为 且最大输出功率约为 。激光器的自由运行线宽约为数百。激光器的输出频率可由驱动电流旋钮粗调节，也可由压电陶瓷精细调节。激光器后放置一个光隔离器（）以避免回返光信号干扰激光器的稳定运行。激光器输出的自由空间激光随后通过一个非球面透镜耦合进入保偏单模光纤（）用于空间模式整形。经过光斑整形后具有衍射极限输出的激光束通过另一个非球面透镜准直进入自由空间，随后由一个偏振分束棱镜（）分为两束。其中一束经电光调制器（）施加 的相位调制，然后经由一对反射镜 和 耦合进入 腔（角反射）。另一束激光耦合进入波长计用于激光频率测量。为了达到光束进入 腔最大的模式耦合效率，在 腔前放置有一个 的球面镜。反射的 误差信号由光电探测器 所探测，反射光功率由一个 波片进行调节。腔后透射光信号部分由 相机成像用于横模模式监测，另一部分由另一个光电探测器 所探测。由于 腔后透射功率很低，相机与光电探测器 需要工作在暗室环境中，这也是图 中没有展示这一部分光路的原因。实验中的电学信号产生以及测量都由可编程硬件平台（：，）来完成，它集成有射频信号发生器、示波器、频谱分析仪，以及锁相放大器等。考虑到本实验用于本科生教学，实验器材的成本也是一个需要考虑的重要因素。对于本实验所用的三套实验设备，除波长计外（借用于其他实验室），每套实验器材总成本不超过 万元人民币。结果与讨论 观测 腔输出的横模在本实验中，学生首先被教导如何采用大 学 物 理 实 验 年“”方法，将激光束耦合进入 腔来观察横模。具体原理是通过调节一对平衡放置反射镜（图 中反射镜 和）的四个旋钮，控制入射光束以任意角度从 腔镜的任意位置入射。而实验过程中，要求入射光束尽可能以正入射的方式从 腔前腔镜的中心位置入射。一旦完成光束耦合，调谐激光频率与 腔共振，可以由 相机观察到如图 所示的各个横模图样。图 实验所观察到的各阶横模图样这些横模图样都呈现出径向与角向对称性，具有典型的拉盖尔高斯模式特征。对于高阶模式，可以很明显的看到在径向有 个波节，而角向有 个波节。通常，高阶角向模式很难通过频率调谐直接观察到，而在实验过程中，可以通过由其频率简并的模式微调耦合进入 腔的光束角度获得。除了径向方向的光强分布之外，这些实验观察的空间模式与图 理论计算的空间横模图样基本一致。实验中观察的高阶横模光强的空间分布的整体轮廓呈现椭圆形且在径向方向光强不均匀，而并非理论预期的圆形，这是由于腔镜的有限菲涅尔数所引起。在实验过程中通过测量 腔输出光束的束腰半径来对横模进行定量描述。由表达式（）可知，基模光束的束腰半径 只与谐振腔的 因子有关。虽然实验所用 腔的光束束腰位置位于前腔镜 的表面，无法直接测量，但在实验过程中可由远场光束进行间接测量。这里，将 相机固定在一个一维位移台上，能够测量腔后不同位置的基模 光斑的尺寸。图 为实验测量结果，这里横轴代表 相机到 腔前腔镜表面的距离。经数据拟合后，基模光斑的束腰半径 为（）。相比于表达式（）给出的理论参考值，间接测量光斑束腰半径偏大 ，这是由于实验所观察基模的轮廓并非完美的圆形导致光束质量。图 腔后不同位置测量的基模 光斑尺寸 观测 腔的自由光谱区第二个小实验的实验目的在于测量 腔的自由光谱区，它是通过大频率范围连续扫描激光频率来实现。通过给激光头的压电陶瓷控制器施加一个三角波信号，能够连续调谐激光的频率，因而可扫描观察到 腔输出的透射共振峰。在连续扫描激光器频率过程中，由腔后光电探测器 所记录的透射信号频谱如图 所示，它由数字示波器所记录。横模的模式数可由 相机进行辨认。图 对压电陶瓷施加扫描信号所观察到腔后透射信号不同共振模式的频率 随后由波长计进行测量，结果如表 所示。第 期赵 健，等：利用法布里珀罗腔开展激光模式的实验教学研究表 不同模式的频率（单位，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）对于纵模数 相同的两个相邻角向模，其频率间隔 是（）；而两个相邻径向模，其频率间隔 是（）。根据表达式（），腔的自由光谱区 是两个相邻轴向模式之间的频率差。因此，在实验上可以通过对横模数相同的多个相邻纵模的输出频率进行线性拟合得到。图 是由、，以及 等各阶横模测量得到的自由光谱区，其结果是（）。图 腔的自由光谱区 观测 腔的腔线宽最后一个小实验的任务是测量 腔的腔线宽，并进而给出 腔的腔精细度。通过对电光调制器施加 的正弦调制信号，同时对激光器的驱动电流施加锯齿波扫描电压信号，当调谐激光频率与 腔发生共振时，可在：显示屏上同时观察到由反射光信号探测的 信号以及由透射光信号探测的透射信号，实验结果截图如图 所示。在激光频率扫描的一个周期内，可以观察到一对 信号和一对透射信号，它们在扫描时间上呈镜像对称关系。当透射信号的载波或边带的幅度最大时，误差信号的幅度为零。图 由：记录 信号与透射信号的屏幕截图这里先给出一种腔线宽测量的直接方法。通过利用电光调制器的调制频率作为频率标尺，可以测量给出载波透射峰的线宽，即为 的腔线宽。图 记录了在激光器驱动器电流随时间扫描过程中，由数字采样示波器记录的 信号以及透射信号。对于透射信号，对其载波信号进行洛伦兹拟合，得到时间宽度 是（），而两个调制边带的时间宽度 是（），由比例关系可知，腔线宽是（）。（）（）图 实验记录的 信号和透射输出信号（图），以及载波附近的局部放大图（图）大 学 物 理 实 验 年为了加强学生们的理解，我们也鼓励提出不同的方法测量腔线宽。比如，也可以由反射的 信号测量出腔线宽。根据 等人的建议，对于 腔的反射信号，其光场虚部的两个幅度极值点接近与 腔透射光强信号的半高宽位置在频域上重叠。因此，可以由 腔反射的 信号提取出光场的虚部信号，进而直接由 信号测量给出腔线宽，这种方案的具体推导过程见附录。这里对于所探测的 信号，其两个边带幅度过零点之间的时间间隔 是（），而载波信号一对幅度极值点之间的时间间隔 是（）。这一测量结果也证实透射峰的半高宽的频率间隔与 信号的一对幅度极值点频率间隔相当。由 信号测量给出的 腔线宽是（）。表 测量的 腔典型光学参数物理量测 量 值参 考 值w（）（）（）（）（）（）（）说明：参考值由下列参数计算：；曲率半径；反射率 ；腔线宽由透射信号给出；腔线宽由反射的 信号给出；腔精细度由透射信号计算给出。一旦测量给出 腔的自由光谱区和腔线宽，腔精细度可由表达式（）给出，是（）。这一结果比直接由腔镜反射率计算给出的腔精细度偏小约。可能的原因包括腔体内存在微尘杂质、镜面污染、镜面放置不平行等原因。结 语本文描述了一套基于 腔开展激光模式教学的实验装置，并设计了三个小实验作为一个整体对激光的模式展开分析研究，这三个实验包括：（）通过测量 腔的基模束腰半径来表征所观察的横模；（）测量自由光谱区表征纵模；以及（）利用两种独立的方法测量腔线宽以及腔精细度来表征纵模。相关的实验测量结果如表 所示，也将这些测量结果与根据 腔设计参数给出的参考值进行了对比。通过本实验的教学，希望能够提高本科生的实验动手能力，以及加强他们对光学、激光原理等相关课程的理解。这一课程有助于理解激光束在谐振腔内传输这一典型的边值条件问题。参考文献：吕亮，胡俊，张耒，等基于多纵模自混合效应的激光器腔体温度测量实验教学研究大学物理实验，（）：，著，陈鹤鸣等译光子学现代通信光电子学 版，北京：电子工业出版社，喻力华，刘书龙，项林川多光束法布里珀罗干涉实验的计算机模拟大学物理实验，（）：，（）：赵健，翟雨欣，职佳文，等基于法布里珀罗腔的激光模式分析物理实验，（）：王彬宇，王南朝，刘东基于法布里珀罗干涉仪的激光谱线特性测量研究物理实验，（）：，（）：周胜，李劲松，张磊，等气体吸收光谱数据处理的实验教学设计大学物理实验，（）：张宇，陆欣雨，王凯杰，等可见光波长的测量大学物理实验，（）：邓科，张洁，石晓辉，等基于量子逻辑技术的铝离子光频标研究进展中国科学：物理学，力学，天文学，（）：，周炳琨，高以智，陈倜嵘，等 激光原理 版北京：国防工业出版社，：，（）：第 期赵 健，等：利用法布里珀罗腔开展激光模式的实验教学研究 ，（）：，（，；，）：，（），（），：（）；（）；（），：；大 学 物 理 实 验 年