崇仁县第三中学校2018上学期高二数学12月月考试题含解析.doc

崇仁县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在△ABC中，C=60°，AB=，AB边上的高为，则AC+BC等于（ ）
A． B．5 C．3 D．

2． 用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除
3． 已知i为虚数单位，则复数所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4． 在等差数列{an}中，a1=2，a3+a5=8，则a7=（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
5． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）

A． B． C． D．
6． 与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ）
A． B． C． D．
7． 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ）
A．（1，2） B．[1，2] C．[1，2） D．（1，2]
8． 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2015）=（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣ D．

9． 已知点是双曲线C：左支上一点，，是双曲线的左、右两个焦点，且，与两条渐近线相交于，两点（如图），点恰好平分线段，则双曲线的离心率是（ ）
A. B.2 C. D.

【命题意图】本题考查双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考查运算求解能力.
10．下列命题中的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B．“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”的必要不充分条件
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”
D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆否命题为真命题

11．下列四个命题中的真命题是（ ）
A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过任意两个不同点、的直线都可以用方程
表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
D．经过定点的直线都可以用方程表示
12．已知为的三个角所对的边，若，则（ ）
A．2︰3 B．4︰3 C．3︰1 D．3︰2
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．
二、填空题
13．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数的单调增区间是__________．
14．小明想利用树影测量他家有房子旁的一棵树的高度，但由于地形的原因，树的影子总有一部分落在墙上，某时刻他测得树留在地面部分的影子长为1.4米，留在墙部分的影高为1.2米，同时，他又测得院子中一个直径为1.2米的石球的影子长（球与地面的接触点和地面上阴影边缘的最大距离）为0.8米，根据以上信息，可求得这棵树的高度是　　　　　　米．（太阳光线可看作为平行光线）

15．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C3门课由于上课时间相同，至多选1门，若学校规定每位学生选修4门，则不同选修方案共有　　　　　　种．
16．设某双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为
，则此双曲线的标准方程是 .
17．设，实数，满足，若，则实数的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查二元不等式（组）表示平面区域以及含参范围等基础知识，意在考查数形结合的数学思想与运算求解能力．
18．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论：
①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；
③在x=2时，f（x）取得极大值；
④在x=3时，f（x）取得极小值．
其中正确的是　　　　　　．

三、解答题
19．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞，且当x∈[，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

20．甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲地区：
分组
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
频数
2
3
10
15
分组
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
15
x
3
1
乙地区：
分组
[70，80）
[80，90）
[90，100）
[100，110）
频数
1
2
9
8
分组
[110，120）
[120，130）
[130，140）
[140，150]
频数
10
10
y
3
（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数ξ的数学期望；
（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布列及数学期望．

21．某重点大学自主招生考试过程依次为自荐材料审查、笔试、面试共三轮考核。规定：只能通过前一轮考核才能进入下一轮的考核，否则将被淘汰；三轮考核都通过才算通过该高校的自主招生考试。学生甲三轮考试通过的概率分别为，，，且各轮考核通过与否相互独立。
（1）求甲通过该高校自主招生考试的概率；
（2）若学生甲每通过一轮考核，则家长奖励人民币1000元作为大学学习的教育基金。记学生甲得到教育基金的金额为，求的分布列和数学期望。

22．（本题满分12分） 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）令bn=n（an+1），求数列{bn}的前n项和Tn．

23．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
(不等式选做题)设，且，则的最小值为
（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则

24．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）证明：对于正数，存在正数，使得当时，有；
（3）设（1）中的的最大值为，求得最大值．

崇仁县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D

【解析】解：由题意可知三角形的面积为S===AC•BCsin60°，
∴AC•BC=．由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣3AC•BC，
∴（AC+BC）2﹣3AC•BC=3，
∴（AC+BC）2=11．
∴AC+BC=
故选：D
【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．

2． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．

3． 【答案】A
【解析】解： ==1+i，其对应的点为（1，1），
故选：A．

4． 【答案】B
【解析】解：∵在等差数列{an}中a1=2，a3+a5=8，
∴2a4=a3+a5=8，解得a4=4，
∴公差d==，
∴a7=a1+6d=2+4=6
故选：B．

5． 【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D不正确；
中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C不正确；
而对角线的方向应该从左上到右下，故B不正确
故A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．

6． 【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

7． 【答案】D

【解析】解：A={x|2x≤4}={x|x≤2}，
由x﹣1＞0得x＞1
∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}
∴A∩B={x|1＜x≤2}
故选D．

8． 【答案】B

【解析】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，
所以f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；
又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
即f（2015）=﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2015）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）．

9． 【答案】A.
【解析】
10．【答案】D
【解析】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误，
B．由x2+5x﹣6=0得x=1或x=﹣6，即“x=﹣1”是“x2+5x﹣6=0”既不充分也不必要条件，故B错误，
C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≤0﹣5，故C错误，
D．若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，即命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的为真命题．则命题的逆否命题也成立，故D正确
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题的关系以及充分条件和必要条件的判断，含有量词的命题的否定，比较基础．

11．【答案】B
【解析】
考点：直线方程的形式.
【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111]
12．【答案】C
【解析】由已知等式，得，由正弦定理，得，则，所以，故选C．
二、填空题
13．【答案】
【解析】 ,所以增区间是
14．【答案】　3.3　

【解析】
解：如图BC为竿的高度，ED为墙上的影子，BE为地面上的影子．
设BC=x，则根据题意
=，
AB=x，
在AE=AB﹣BE=x﹣1.4，
则=，即=，求得
x=3.3（米）
故树的高度为3.3米，
故答案为：3.3．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．

15．【答案】　75　

【解析】计数原理的应用．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】由题意分两类，可以从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，也可以从其他六门中选4门，根据分类计数加法得到结果．
【解答】解：由题意知本题需要分类来解，
第一类，若从A、B、C三门选一门，再从其它6门选3门，有C31C63=60，
第二类，若从其他六门中选4门有C64=15，
∴根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法．
故答案为：75．
【点评】本题考查分类计数问题，考查排列组合的实际应用，利用分类加法原理时，要注意按照同一范畴分类，分类做到不重不漏．
16．【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，故焦点坐标为由双曲线的定义可得,故，，故所求双曲线的标准方程为．故答案为：．
考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．
17．【答案】.
【解析】

18．【答案】　③　．

【解析】解：由 y=f'（x）的图象可知，
x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；
所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确；
②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确；
x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负，
③在x=2时，f（x）取得极大值；
而，x=3附近，导函数值为正，
所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确．
故答案为③．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

三、解答题
19．【答案】

【解析】解：（1）由|2x﹣1|+|2x+2|＜x+3，得：
①得x∈∅；
②得0＜x≤；
③得…
综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为…
（2）∵a＞，x∈[，a]，
∴f（x）=4x+a﹣1…
由f（x）≤g（x）得：3x≤4﹣a，即x≤．
依题意：[，a]⊆（﹣∞，]
∴a≤即a≤1…
∴a的取值范围是（，1]…

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵抽样比f==，
∴甲地区抽取人数==55人，
乙地区抽取人数==50人，
∴由频数分布表知：

解得x=6，y=7．
（Ⅱ）由频数分布表知甲地区优秀率==，
乙地区优秀率==，
现从乙地区所有学生中随机抽取3人，
抽取出的优秀学生人数ξ的可能取值为0，1，2，3，
ξ～B（3，），
∴Eξ=3×=．
（Ⅲ）从样本中优秀的学生中随机抽取3人，
抽取出的甲地区学生人数η的可能取值为0，1，2，3，
P（η=0）==，
P（η=1）==，
P（η=2）==，
P（η=3）==，
∴η的分布列为：
η
0
1
2
3
P

Eη==1．
【点评】本题考查频数分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．

21．【答案】（1）（2）的分布列为
数学期望为--
解析：（1）设“学生甲通过该高校自主招生考试”为事件A，则P（A）＝
所以学生甲通过该高校自主招生考试的概率为-------------4分
（2）的可能取值为0元，1000元，2000元，3000元--------------5分
，，
------------------9分
所以，的分布列为
数学期望为---------------------12分
22．【答案】解：（1）∵an+1=2an+1，
∴an+1+1=2（an+1），
又∵a1=1，
∴数列{an+1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=﹣1+2n； 6分
（2）由（1）可知bn=n（an+1）=n•2n=n•2n﹣1，
∴Tn=1•20+2•2+…+n•2n﹣1，
2Tn=1•2+2•22…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，
错位相减得：﹣Tn=1+2+22…+2n﹣1﹣n•2n
=﹣n•2n
=﹣1﹣（n﹣1）•2n，
于是Tn=1+（n﹣1）•2n．
则所求和为 6分
23．【答案】
【解析】A

B

24．【答案】（1）证明过程如解析；（2）对于正数，存在正数，使得当时，有；（3）的最大值为
【解析】【试题分析】（1）先对函数进行求导，再对导函数的值的
符号进行分析，进而做出判断；（2）先求出函数值
，进而分和两种情形进行
分析讨论，推断出存在使得，从而证得当时，有成立；（3）
借助（2）的结论在上有最小值为，然后分两种情形探求的解析表达式和最大值。
证明：（1）由于，且，
故在上单调递减，在上单调递增．

（3）由（2）知在上的最小值为．
当时，，则是方程满足的实根，
即满足的实根，
所以．
又在上单调递增，故．
当时，，由于，
故．此时，．
综上所述，的最大值为．