甘肃省兰州一中2013高二数学上学期期末考试试题-理含解析新人教B版.doc

甘肃省兰州一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 理（含解析）新人教B版

说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）
第I 卷（选择题）
一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上)
1．若点M到定点、的距离之和为2，则点M的轨迹为
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.直线的垂直平分线
【答案】C
【解析】因为，所以点M的轨迹为线段。
2．若ab，且ab0，则曲线bx-y+a=0和的形状大致是下图中的

【答案】A
【解析】直线方程，圆锥曲线方程：
当时，圆锥曲线方程表示椭圆，此时直线方程的斜率为正，在y轴上的截距为正，因此选项BD错误；
当时，圆锥曲线方程表示焦点在y轴上的双曲线，此时直线方程的斜率为负，在y轴上的截距为正，因此选项C错误，因此选A。
3．下列命题中正确的是
A.若 ，，则与所在直线平行
B.向量、、共面即它们所在直线共面
C.空间任意两个向量共面
D.若，则存在唯一的实数，使
【答案】C
【解析】A.若 ，，则与所在直线平行，错误。当时不成立；
B.向量、、共面即它们所在直线共面，错误。因为空间平行的向量也是共面的；
C.空间任意两个向量共面，正确；
D.若，则存在唯一的实数，使，错误，当时不成立。
4．已知椭圆:与双曲线:有公共的焦点，那么双曲线的渐近线为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为椭圆:与双曲线:有公共的焦点，所以，所以双曲线的渐近线为，即。
5．直线y=kx+2与双曲线有且只有一个交点，那么k的值是
A. B. C. 或 D.
【答案】C
【解析】联立直线y=kx+2与双曲线，消元，得：，当，此时方程只有一解；
当，要满足题意，须：，
综上知：k的值是或。
6．斜率为1，过抛物线的焦点的直线截抛物线所得的弦长为
A. 8 B. 6 C. 4 D.10
【答案】A
【解析】设弦的端点为，，易知直线方程为：，直线方程与抛物线方程联立，消元得：，所以所以弦长。
7．在正四面体ABCD中，点E、F分别为BC、AD的中点，则AE与CF所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】连接ED，取ED的中点O，连接OC、OF，因为FO//AE，所以∠CFO即为异面直线AE与CF所成角。设正四面体ABCD的棱长为a，则，，，所以在∆OFC中，由余弦定理得：cos∠CFO=.
8．已知O是坐标原点，点，的顶点C在曲线 上，
那么的重心G的轨迹方程是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，，则，又因为顶点C在曲线 上，所以，即。
9．设、是椭圆C: (a>b>0) 的左右焦点，P为直线上
一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为是底角为的等腰三角形，所以设直线与x轴的焦点为A，则在中，，所以，即。
10．过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且，那么直线l的斜率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设，，作AM、BN垂直准线于点M、N，则|BN|=|BF|，|AF|=|AM|，又，所以∠MAB=30°或150°，即直线l的斜率为。

第II卷（非选择题）
二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上）
11．双曲线上一点P到一个焦点的距离是10，那么点P到另一个焦点的距离是____________________.
【答案】2或18
【解析】设点P到另一个焦点的距离为x，则。
12．以下列结论中：

(1)
(2)
(3) 如果,那么与的夹角为钝角
(4) 若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量
(5) 是的必要不充分条件

正确结论的序号是______________________.
【答案】
【解析】(1) 正确，因为 ；
(2) ，错误。 ；
(3) 如果,那么与的夹角为钝角 ，错误，有可能是夹角是；
(4) 若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量，错误，时不成立；
(5) 是的必要不充分条件 ，正确。若，即，所以或或垂直。
13．求下列函数的导数
_________________，_________________，
_________________.
【答案】
【解析】；；
。
14．已知点，若抛物线上任一点Q都满足，则a的取值范围是_____________________.
【答案】
【解析】对于抛物线上任一点Q都满足，若a≤0，显然适合
若a＞0，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|就是，解得。
综上知：实数a的取值范围是。
三、解答题（本题共5小题，共52分）
15．（8分）已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，函数的导数的图像关于直线对称，求函数的解析式．

16．（10分）如图，直三棱柱中，，
是棱的中点，，
（1）证明：；
（2）求二面角的大小.

17．(10分) 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，， AD=AC=2，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点,
(1) 证明： AD⊥平面PAC;
(2) 求直线AM与平面ABCD所成角的正弦值.

18．(12分) 已知过椭圆M： (a＞b＞0)右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C、D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

19．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心,为半径的圆交于B、D两点.
（1）若，的面积为,求的值及圆的方程；
（2）若A、B、F三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.

参考答案
第I 卷（选择题）

三、解答题（本题共5小题，共52分）

16．（10分）如图，直三棱柱中，，
是棱的中点，，
（1）证明：；
（2）求二面角的大小.
解：（1）在中，
得：
同理：
得：面
（2）面
取的中点，连接
， 面
是二面角的平面角
设，则，
即二面角的大小为
18．(12分) 已知过椭圆M： (a＞b＞0)右焦点的直线交M于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C、D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．

19．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，，已知以为圆心,为半径的圆交于B、D两点.
（1）若，的面积为,求的值及圆的方程；
（2）若A、B、F三点在同一直线上，直线与平行，且与只有一个公共点，求坐标原点到距离的比值.
解：（1）由对称性知：是等腰直角，斜边
点到准线的距离

圆的方程为

切点
直线
坐标原点到距离的比值为.