高中数学微积分.doc

高中数学 微积分
一、导数
1．导数的定义
定义：设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限值为函数在点处的导数，记为（或）．若令，，则
可改写为．所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为在处关于的变化率．若极限不存在，则称在点处不可导．
2．导函数
若函数在区间上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称为上的可导函数．此时，对每一个，都有的一个导数（或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在上的函数，称为在上的导函数，也简称为导数，记为或，即．
3．导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在点处的切线斜率．曲线在点处的切线方程为．
4．求导法则
（1）基本求导法则
①；
②，（为常数）；
③，；
④反函数导数 ；
⑤复合函数导数 ．
（2）基本初等函数导数公式
①（为常数）；
②（为任意实数）；
③，；
④，，
，；
⑤ ，．
⑥，．
5．导数的应用
（1）判断函数单调性
定理：设函数在区间上可导，则在上递增（减）的充要条件是．
推论：设函数在区间上可导，若，则在区间上严格递增（严格递减）．
（2）函数的极值
定义：若函数在点的某邻域内对一切有，则称函数在点取得极大（小）值，称点为极大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．
（3）最值
对于闭区间上的连续函数，我们只要比较在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值，就能从中找到在区间上的最大值与最小值．
二、定积分
1.定义：设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数．若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在区间上的定积分或黎曼积分，记为，其中称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，分别称为这个定积分的下限和上限．
牛顿—莱布尼茨公式：若函数在上连续，且存在原函数，即，，则在上可积，且，这称为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写为．
2.几何意义：对于上的连续函数，当，，定积分的几何意义就是，，，所围成的曲边梯形的面积；当，时，这时是位于轴下方的曲边梯形面积的相反数，不妨称之为“负面积”；对于一般非定号的而言，定积分的值则是曲线在轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和．
3.性质：
性质1：若在上可积，为常数，则在上也可积，且．
性质2：若、都在上可积，则在上也可积，且．
性质3：若、都在上可积，则在上也可积．
性质4：在上可积的充要条件是：任给，在与上都可积．此时又有等式．
性质5：设为上的可积函数．若，，则．
性质6：若在上可积，则在上也可积，且．
性质7：（积分第一中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得．
性质8：设在上连续，若，则在上处处可导．
4.定积分的应用
①求平面图形的面积：由连续曲线以及直线，，所围成的曲边梯形的面积为，如果在上不都是非负的，则所围成图形的面积为．一般地，由上、下两条连续曲线与以及两条直线，所围成的平面图形的面积为．
三、例题选讲
例1　求下列函数的导数．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解析：根据求导法则及四则运算进行求解．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
例2 求过曲线上点处的切线方程．
解析：利用导数的几何意义得到切线斜率是解题关键．，由导数的几何意义，曲线在点处的斜率，故所求的切线方程为，即．
例3 求的单调区间．
解析：令，得，，，列表如下：

单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
所以在区间，上单调递增；在区间，上单调递减．
例4 已知函数．
（1）若有极值，求的取值范围；
（2）若在处取得极值，当时，恒成立，求的取值范围；
（3）若在处取得极值时，证明：对内的任意两个值，，都有．
解析：（1），令，由，得，即；
（2）因为在处取得极值，故，即，得，令，得，，当的取值为，，，时，经比较，当时，，所以，解得或；
（3）可以计算得，，所以对内的任意两个值，，都有．
例5 计算：
（1）；
（2）；
（3），其中，为实数．
解析：（1）；
（2）；
（3）．
例6 计算由曲线与所围成的图形的面积．
解析：如图，所求面积为图中阴影部分的面积．

解方程组得交点横坐标为及．