高中物理简谐运动的图像和公式导学案教科版选修解析.doc

简谐运动的图像和公式
[目标定位]　1.知道所有简谐运动的图像都是正弦(或余弦)曲线.2.会根据简谐运动的图像找出物体振动的周期和振幅，并能分析有关问题.3.理解简谐运动的表达式，能从该表达式中获取振幅、周期(频率)、相位、初相等相关信息．

一、简谐运动的图像
1．坐标系的建立：以横坐标表示时间，纵坐标表示位移，描绘出简谐运动中振动物体离开平衡位置的位移x随时间t变化的图像，称为简谐运动的图像(或称振动图像)．
2．图像形状：严格的理论和实验都证明所有简谐运动的运动图像都是正弦(或余弦)曲线．
3. 由简谐运动图像，可找出物体振动的周期和振幅．
想一想　在描述简谐运动图像时，为什么能用薄板移动的距离表示时间？
答案　匀速拉动薄板时，薄板的位移与时间成正比，即x＝vt，因此，一定的位移就对应一定的时间，这样匀速拉动薄板时薄板移动的距离就能表示时间．

二、简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)
其中ω＝，f＝，综合可得
x＝Asin(t＋φ)＝Asin(2πft＋φ)．
式中A表示振动的振幅，T和f分别表示物体振动的周期和频率．物体在不同的初始位置开始振动，φ值不同．
三、简谐运动的相位、相位差
1．相位
在式x＝Asin(2πft＋φ)中，“2πft＋φ”这个量叫做简谐运动的相位．
t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．
2．相位差
指两振动的相位之差．

一、对简谐运动图像的认识
1．形状：正(余)弦曲线
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律．
3．获取信息
(1)简谐运动的振幅A和周期T，再根据f＝求出频率．
(2)任意时刻质点的位移的大小和方向．如图1－3－1所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2.

图1－3－1

图1－3－2
(3)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图1－3－2中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a此刻质点向x轴正方向振动．
(4)判断质点的速度、加速度、位移的变化情况：若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大；若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小．
注意：振动图像描述的是振动质点的位移随时间的变化关系，而非质点运动的轨迹．比如弹簧振子沿一直线做往复运动，其轨迹为一直线，而它的振动图像却是正弦曲线．

图1－3－3
【例1】　如图1－3－3所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
A．由P→Q，位移在增大
B．由P→Q，速度在增大
C．由M→N，位移先减小后增大
D．由M→N，加速度先增大后减小
解析　由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝＝－可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．
答案　AC
借题发挥　简谐运动图像的应用
(1)可以从图像中直接读出某时刻质点的位移大小和方向、速度方向、加速度方向、质点的最大位移．
(2)可比较不同时刻质点位移的大小、速度的大小、加速度的大小．
(3)可以预测一段时间后质点位于平衡位置的正向或负向，质点位移的大小与方向，速度、加速度的大小和方向的变化趋势．
针对训练1　一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系图像如图1－3－4所示，由图可知(　　)

图1－3－4
A．质点振动的频率是4 Hz
B．质点振动的振幅是2 cm
C．t＝3 s时，质点的速度最大
D．在t＝3 s时，质点的振幅为零
解析　由题图可以直接看出振幅为2 cm，周期为4 s，所以频率为0.25 Hz，所以选项A错误，B正确；t＝3 s时，质点经过平衡位置，速度最大，所以选项C正确；振幅等于质点偏离平衡位置的最大位移，与质点的位移有着本质的区别，t＝3 s时，质点的位移为零，但振幅仍为2 cm，所以选项D错误．
答案　BC
二、简谐运动的表达式与相位、相位差
做简谐运动的物体位移随时间t变化的表达式
x＝Asin(2πft＋φ)
1．由简谐运动的表达式我们可以直接读出振幅A，频率f和初相φ.可根据T＝求周期，可以求某一时刻质点的位移x.
2．关于两个相同频率的简谐运动的相位差Δφ＝φ2－φ1的理解
(1)取值范围：－π≤Δφ≤π.
(2)Δφ＝0，表明两振动步调完全相同，称为同相．
Δφ＝π，表明两振动步调完全相反，称为反相．
(3)Δφ>0，表示振动2比振动1超前．
Δφ<0，表示振动2比振动1滞后．
【例2】　一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5sincm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．
(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5sincm，求它们的相位差．
解析　(1)已知ω＝8π rad/s，由ω＝得T＝ s，
f＝＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1得，Δφ＝π－＝π.
答案　(1) s　4 Hz　5 cm　　(2)π
针对训练2　有两个振动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是 (　　)
A．它们的振幅相同
B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定
D．它们的振动步调一致
解析　由简谐运动的公式可看出，振幅分别为4 cm、5 cm，故不同；ω都是100π rad/s，所以周期(T＝)都是 s；由Δφ＝(100πt＋)－(100πt＋)＝得相位差(为)恒定；Δφ≠0，即振动步调不一致．
答案　BC

简谐运动的图像

图1－3－5
1．如图1－3－5表示某质点简谐运动的图像，以下说法正确的是(　　)
A．t1、t2时刻的速度相同
B．从t1到t2这段时间内，速度与位移同向
C．从t2到t3这段时间内，速度变大，位移变小
D．t1、t3时刻的回复力方向相反
解析　t1时刻振子速度最大，t2时刻振子速度为零，故A不正确；t1到t2这段时间内，质点远离平衡位置，故速度、位移均背离平衡位置，所以二者方向相同，则B正确；在t2到t3这段时间内，质点向平衡位置运动，速度在增大，而位移在减小，故C正确；t1和t3时刻质点在平衡位置，回复力为零，故D错误．
答案　BC

图1－3－6
2．装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图1－3－6所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是(　　)

解析　试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D.
答案　D
简谐运动的表达式
3．一弹簧振子A的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin 2.5πt，位移y的单位为m，时间t的单位为s.则(　　)
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．若另一弹簧振子B的位移y随时间变化的关系式为y＝0.2 sin，则振动A滞后B
解析　由振动方程为y＝0.1 sin2.5πt，可读出振幅A＝0.1 m，圆频率ω＝2.5π，故周期T＝＝＝0.8 s，故A、B错误；在t＝0.2 s时，振子的位移最大，故速度最小，为零，故C正确；两振动的相位差Δφ＝φ2－φ1＝2.5πt＋－2.5πt＝，即B超前A，或说A滞后B，选项D正确．
答案　CD
4．物体A做简谐运动的振动方程是xA＝3sin m，物体B做简谐运动的振动方程是xB＝5sin m．比较A、B的运动(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位
解析　振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m,10 m，但振幅分别为3 m,5 m，A错；A、B的周期均为T＝＝ s＝6.28×10－2 s，B错；因为TA＝TB，故fA＝fB，C对；Δφ＝φA－φB＝，为定值，D对．
答案　CD

题组一　简谐运动的图像
1．关于简谐运动的图像，下列说法中正确的是(　　)
A．表示质点振动的轨迹是正弦或余弦曲线
B．由图像可判断任一时刻质点相对平衡位置的位移大小与方向
C．表示质点的位移随时间变化的规律
D．由图像可判断任一时刻质点的速度方向
解析　振动图像表示位移随时间的变化规律，不是运动轨迹，A错，C对；由振动图像可判断质点位移和速度大小及方向，B、D正确．
答案　BCD
2．如图1－3－7所示是一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是(　　)

图1－3－7
A．振动周期是2×10－2 s
B．第2个10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
解析　振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10－2 s．又f＝，所以f＝25 Hz，则A项错误，C项正确；正、负最大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D项正确；第2个10－2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B项正确．
答案　BCD

图1－3－8
3．一质点做简谐运动的振动图像如图1－3－8所示，则该质点(　　)
A．在0～0.01 s内，速度与加速度同向
B．在0.01 s～0.02 s内，速度与回复力同向
C．在0.025 s时，速度为正，加速度为正
D．在0.04 s时，速度最大，回复力为零
解析　F、a与x始终反向，所以由x的正负就能确定a的正负．在x－t图像上，图线各点切线的斜率表示该点的速度，由斜率的正负又可确定v的正负，由此判断A、C正确．
答案　AC
4．图1－3－9甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是(　　)

图1－3－9
A．在t＝0.2 s时，弹簧振子可能运动到B位置
B．在t＝0.1 s与t＝0.3 s两个时刻，弹簧振子的速度相同
C．从t＝0到t＝0.2 s的时间内，弹簧振子的动能持续地增加
D．在t＝0.2 s与t＝0.6 s两个时刻，弹簧振子的加速度相同
答案　A

图1－3－10
5．如图1－3－10所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)
A．在第1 s内，质点速度逐渐增大
B．在第1 s内，质点加速度逐渐增大
C．在第1 s内，质点的回复力逐渐增大
D．在第4 s内质点的动能逐渐增大
E．在第4 s内质点的势能逐渐增大
F．在第4 s内质点的机械能逐渐增大
解析　在第1 s内，质点由平衡位置向正向最大位移处运动，速度减小，位移增大，回复力和加速度都增大；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小，动能增大，势能减小，但机械能守恒，选项B、C、D正确．
答案　BCD
6．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(　　)

解析　根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝＝－x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．
答案　A

图1－3－11
7．图1－3－11为甲、乙两单摆的振动图像，则(　　)
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4
解析　由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1；若两摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.
答案　BD
8．如图1－3－12甲、乙所示为一单摆及其振动图像，由图回答：

图1－3－12
(1)单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移x最大的时刻为____________．
(2)若摆球从E指向G为正方向，α为最大摆角，则图像中O、A、B、C点分别对应单摆中的________点．一个周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是________．势能增加且速度为正的时间范围是________．
解析　(1)由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为3 cm.从横坐标可直接读取完成一个全振动的时间即周期T＝2 s，进而算出频率f＝＝0.5 Hz，算出摆长l＝＝1 m.
从题图中看出纵坐标有最大值的时刻为0.5 s末和1.5 s末．
(2)题图中O点位移为零，O到A的过程位移为正，且增大，A处最大，历时周期，显然摆球是从平衡位置E起振并向G方向运动的，所以O点对应E点，A点对应G点．A点到B点的过程分析方法相同，因而O、A、B、C点对应E、G、E、F点．摆动中EF间加速度为正，靠近平衡位置过程中速度逐渐减小且加速度与速度方向相同，即从F到E的运动过程对应题图中C到D的过程，时间范围是1.5 s～2 s．摆球远离平衡位置势能增加，即从E向两侧摆动，又因速度为正，显然是从E到G的过程．对应题图中为O到A的过程，时间范围是0～0.5 s.
答案　(1)3 cm　0.5 Hz　1 m　0.5 s末和1.5 s末
(2)E、G、E、F　1.5 s～2 s　0～0.5 s
题组二　简谐运动的表达式与相位、相位差
9．有一个弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sinm
B．x＝8×10－3sinm
C．x＝8×10－1sinm
D．x＝8×10－1sinm
解析　ω＝＝4π，当t＝0时，具有负向最大加速度，则x＝A，所以初相φ＝，表达式为x＝8×10－3·sin m，A对．
答案　A
10．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asin t，，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移方向相同
D．第3 s末与第5 s末的速度方向相同

解析　根据x＝Asin t可求得该质点振动周期为T＝ 8 s，则该质点振动图像如右图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确．
答案　AD
11．一个质点做简谐运动的图像如图1－3－13所示，下列叙述中正确的是(　　)

图1－3－13
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是 cm
解析　由振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A错误；一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B正确；由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sin m.当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故选项C错误；在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，与振幅的关系是x＝Asin 135°＝A＝ cm，故D正确．
答案　BD

图1－3－14
12．如图1－3－14所示，一弹簧振子在M、N间沿光滑水平杆做简谐运动，坐标原点O为平衡位置，MN＝8 cm.从小球经过图中N点时开始计时，到第一次经过O点的时间为0.2 s，则小球的振动周期为________s，振动方程为x＝________cm .
解析　从N点到O点刚好为，则有＝0.2 s，故T＝0.8 s；由于ω＝＝，而振幅为4 cm，从最大位移处开始振动，所以振动方程为x＝4cos t cm.
答案　0.8　4cos t
13.

图1－3－15
如图1－3－15所示为A、B两个简谐运动的位移－时间图像．请根据图像写出：
(1)A的振幅是________ cm，周期是________ s；B的振幅是________cm，周期是________s.
(2)这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式；
(3)在时间t＝0.05 s时两质点的位移分别是多少？
解析　(1)由图像知：A的振幅是0.5 cm，周期是0.4 s；B的振幅是0.2 cm，周期是0.8 s.
(2)由图像知：t＝0时刻A中振动的质点从平衡位置开始沿负方向振动，φ＝π，由T＝0.4 s，得ω＝＝5π.则简谐运动的表达式为xA＝0.5sin(5πt＋π) cm.t＝0时刻B中振动的质点从平衡位置沿正方向已振动了周期，φ＝，由T＝0.8 s得ω＝＝2.5π，则简谐运动的表达式为xB＝0.2sincm.
(3)将t＝0.05 s分别代入两个表达式中得：xA＝0.5sin(5π×0.05＋π) cm＝－0.5× cm＝－ cm，xB＝0.2sincm＝0.2sinπ cm.
答案　(1)0.5　0.4　0.2　0.8　(2)xA＝0.5sin(5πt＋π)cm，xB＝0.2sincm　(3)xA＝－ cm，
xB＝0.2sinπ cm.
14．有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动，已知B、C间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动．若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t＝0)，经过周期振子有正向最大加速度．

图1－3－16
(1)求振子的振幅和周期；
(2)在图1－3－16中作出该振子的位移—时间图像；
(3)写出振子的振动方程．
解析　(1)xBC＝20 cm，t＝2 s，n＝10，由题意可知：A＝＝＝10 cm，T＝＝＝0.2 s.

(2)由振子经过平衡位置开始计时经过周期振子有正向最大加速度，可知振子此时在负方向最大位移处．所以位移—时间图像如图所示．
(3)由A＝10 cm，T＝0.2 s，ω＝＝10π rad/s，故振子的振动方程为x＝10sin(10πt＋π)cm.
答案　(1)10 cm　0.2 s
(2)如解析图所示
(3)x＝10sin(10πt＋π)cm