高中数学直线和圆的方程试卷考点解析版.doc

高中数学组卷直线和圆的方程1一选择题（共21小题）1（2014青浦区一模）直线（a2+1）x2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （）A0，B，C，D0，）2（2014上海模拟）直线l的法向量是若ab0，则直线l的倾斜角为（）ABCD3（2014银川校级模拟）斜率为2的直线l过双曲线=1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）AeB1eC1eDe4（2014包头一模）已知函数f（x）=ln（x+1），x（0，+），下列结论错误的是（）Ax1，x2（0，+），（x2x1）f（x2）f（x1）0Bx1（0，+），x2（0，+），x2f（x1）x1f（x2）Cx1（0，+），x2（0，+），f（x2）f（x1）x2x1Dx1，x2（0，+），5（2014丰台区二模）过抛物线y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A5B4C3D26（2012贵州校级模拟）过点（2，3），且到原点的距离最大的直线方程是（）A3x+2y12=0B2x+3y13=0Cx=2Dx+y5=07（2010唐山二模）过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若的倾斜角等于（）ABCD8（2010济宁一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）ABCD9（2005湖北）在函数y=x38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A3B2C1D010（2003天津）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A0，B0，C0，|D0，|11（2015福州校级模拟）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点若a为无理数，则在过点P（a，）的所有直线中（）A有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B恰有n（n2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点C有且仅有一条直线至少过两个有理点D每条直线至多过一个有理点12（2015春宁德期末）直线l经过点（1，2），且倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，则以下各点在直线l上的是（）A（1，1）B（2，2）C（2，1）D（2，0）13（2015秋长葛市期末）已知点A（2，3）、B（3，2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A或k4B或CD14（2015秋甘南州校级期末）已知两点A（1，0），B（2，1），直线l过点P（0，1）且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A1，1B（，11，+）C1，0）（0，1D1，0）1，+）15（2015春揭阳校级期末）已知点A（2，3），B（3，2），直线l方程为kx+yk1=0，且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为（）Ak或k4BkC4kDk416（2015秋钦州期末）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A3x2y=0Bx+y5=0C3x2y=0或x+y5=0D2x3y=0或x+y5=017（2015秋舟山校级期中）已知直线l过点P（1，2），且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）Axy3=0Bx+y+1=0或2x+y=0Cxy3=0或2x+y=0Dx+y+1=0或xy3=0或2x+y=018（2015秋兴宁市校级期中）过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A2x3y=0B3x2y=0或x+y5=0Cx+y5=0D2x3y=0或x+y5=019（2015秋运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）Ax+y=2Bx+y=1Cx=1或y=1Dx+y=2或xy=020（2015秋九江月考）直线xytana5=0（0，）的倾斜角的变化范围是（）A（，）B（）C（）D（21（2015秋保定校级月考）已知直线3x+4y5=0的倾斜角为，则=（）ABCD二填空题（共4小题）22（2012北京模拟）若实数x、y满足（x2）2+y2=3，则的最大值为23（2011南通三模）定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1|x3|若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=24（2008温州学业考试）过点A（1，2），B（3，5）的直线方程是25（2012甘肃一模）过点的直线l将圆（x2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=三解答题（共5小题）26（2010沛县校级模拟）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标27（2010上海二模）已知椭圆，常数m、nR+，且mn（1）当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若，求直线PQ的斜率；（2）过原点且斜率分别为k和k（k1）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；（3）求S的最大值28（2005江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程29（2013徐州模拟）过直线y=1上的动点A（a，1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值（2）求证：直线PQ过定点30（2010海淀区校级模拟）在ABC中，已知BC边上的高所在直线的方程为x2y+1=0，A的平分线所在直线的方程为y=0若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标高中数学组卷直线和圆的方程1参考答案与试题解析一选择题（共21小题）1（2014青浦区一模）直线（a2+1）x2ay+1=0的倾斜角的取值范围是 （）A0，B，C，D0，）【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系，即可得到结论【解答】解：当a=0时，斜率不存在，即倾斜角为；当a0时，直线的斜率k=，k1，即直线的倾斜角的取值范围为）当a0时，直线的斜率，k1，即直线的倾斜角的取值范围为（综上，直线的倾斜角的取值范围为，故选：C【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，利用基本不等式求出斜率的取值服务是解决本题的关键2（2014上海模拟）直线l的法向量是若ab0，则直线l的倾斜角为（）ABCD【分析】设直线l的倾斜角为，由于直线l的法向量是，可得直线l的斜率k=即由ab0，判定为锐角利用反三角函数即可得出【解答】解：设直线l的倾斜角为，直线l的法向量是，直线l的斜率k=ab0，即为锐角=arctan（）故选：B【点评】本题考查了直线的法向量与直线的斜率之间的关系、反三角函数，属于基础题3（2014银川校级模拟）斜率为2的直线l过双曲线=1（a0，b0）的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（）AeB1eC1eDe【分析】根据已知直线的斜率，求出渐近线的斜率范围，推出a，b的关系，然后求出离心率的范围【解答】解：依题意，结合图形分析可知，双曲线的一条渐近线的斜率必大于2，即2，因此该双曲线的离心率e=故选D【点评】本题考查直线的斜率，双曲线的应用，考查转化思想，是基础题4（2014包头一模）已知函数f（x）=ln（x+1），x（0，+），下列结论错误的是（）Ax1，x2（0，+），（x2x1）f（x2）f（x1）0Bx1（0，+），x2（0，+），x2f（x1）x1f（x2）Cx1（0，+），x2（0，+），f（x2）f（x1）x2x1Dx1，x2（0，+），【分析】利用函数y=f（x）在（0，+）上为增函数，且增长越来越缓慢，横坐标越大的点与原点连线的斜率越小，ln（x+1）x为减函数，曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，可得：A、B、C正确，D不正确【解答】解：因为函数y=f（x）在（0，+）上为增函数，所以（x2x1）f（x2）f（x1）0，故A正确由于，将视为曲线y=f（x）上的点与原点连线斜率，结合函数图象特征可知横坐标越大，斜率越小，x1（0，+），x2x1满足条件，故B正确当x（0，+）时，y=f（x）x=ln（x+1）x为减函数，x1（0，+），x2x1，f（x2）x2f（x1）x1，故C正确由于曲线y=f（x）图象上连接任意两点线段中点在曲线下方，x1，x2（0，+），故D错误 故选D【点评】本题考查函数的单调性，函数的图象特征，直线的斜率公式的应用5（2014丰台区二模）过抛物线y2=2px（p0）的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A5B4C3D2【分析】设出A、B坐标，利用焦半径公式求出|AB|，结合，求出A、B的坐标，然后求其比值【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），又，可得，则，故选C【点评】本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题6（2012贵州校级模拟）过点（2，3），且到原点的距离最大的直线方程是（）A3x+2y12=0B2x+3y13=0Cx=2Dx+y5=0【分析】先求出直线的斜率，再用点斜式求的所求直线的方程【解答】解：点A（2，3）与原点连线的斜率等于KOA=，由题意可得，所求直线与OA垂直，且过点A，故所求直线的斜率等于=，由点斜式求得所求直线的方程为 y3=（x2），即 2x+3y13=0，故选B【点评】本题主要考查用点斜式求直线方程，求出直线的斜率，是解题的关键，属于基础题7（2010唐山二模）过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若的倾斜角等于（）ABCD【分析】设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出，再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案【解答】解：由题意可得：F（，0）设A（x1，y1），B（x2，y2）因为过抛物线y2=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，所以|AF|=，|BF|=又因为，所以|AF|BF|，即x1x2，并且直线l的斜率存在设直线l的方程为y=k（x），联立直线与抛物线的方程可得：，所以，因为，所以整理可得，即整理可得k42k23=0，所以解得k2=3因为，所以k=，即故选B【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面8（2010济宁一模）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）ABCD【分析】分别分析乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况，即直线的斜率的变化问题便可解答【解答】解：对于乌龟，其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，其路程不断增加；到终点后等待兔子这段时间路程不变，此时图象为水平线段对于兔子，其运动过程可分为三段：开始跑得快，所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快分析图象可知，选项B正确故选B【点评】本题考查直线斜率的意义，即导数的意义9（2005湖北）在函数y=x38x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）A3B2C1D0【分析】根据倾斜角求出斜率的范围，设出切点坐标，利用导数的函数值就是该点的斜率，求出切点横坐标的范围，即可推出坐标为整数的点的个数【解答】解：切线倾斜角小于，斜率0k1设切点为（x0，x038x0），则k=y|x=x0=3x028，03x2081，x023又x0Z，x0不存在故选D【点评】本题考查直线的斜率、导数的运算，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题10（2003天津）设a0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（）A0，B0，C0，|D0，|【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围【解答】解：过P（x0，f（x0）的切线的倾斜角的取值范围是0，f（x0）=2ax0+b0，1，P到曲线y=f（x）对称轴x=的距离d=x0（）=x0+x0，d=x0+0，故选：B【点评】本题中是对导数的几何意义的考查，计算时，对范围的换算要细心11（2015福州校级模拟）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点若a为无理数，则在过点P（a，）的所有直线中（）A有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点B恰有n（n2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点C有且仅有一条直线至少过两个有理点D每条直线至多过一个有理点【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可【解答】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），由于也在此直线上，所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；当x1x2时，直线的斜率存在，且有，又x2a为无理数，而为有理数，所以只能是，且y2y1=0，即；所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；所以，正确的选项为C故选：C【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目12（2015春宁德期末）直线l经过点（1，2），且倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，则以下各点在直线l上的是（）A（1，1）B（2，2）C（2，1）D（2，0）【分析】由已知得到直线y=x倾斜角为45，所以直线l倾斜角为90，由此得到直线方程【解答】解：因为直线l倾斜角是直线y=x倾斜角的2倍，而这些y=x的倾斜角为45，所以直线l的倾斜角为90，又直线l经过点（1，2），所以直线l 的方程为x=1；故选：A【点评】本题考查了直线的斜率与直线的倾斜角；如果直线倾斜角为90，直线斜率不存在13（2015秋长葛市期末）已知点A（2，3）、B（3，2）直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A或k4B或CD【分析】画出图形，由题意得 所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，用直线的斜率公式求出kPB 和kPA 的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 kkPB 或 kkPA，即 k或 k4故选：A【点评】本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想14（2015秋甘南州校级期末）已知两点A（1，0），B（2，1），直线l过点P（0，1）且与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（）A1，1B（，11，+）C1，0）（0，1D1，0）1，+）【分析】由题意画出图形，求出P与AB端点连线的斜率，则答案可求【解答】解：如图，KAP=1，KBP=1，过P（0，1）的直线l与线段AB始终有公共点时，直线l的斜率k的取值范围是k1或k1故选：B【点评】本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题15（2015春揭阳校级期末）已知点A（2，3），B（3，2），直线l方程为kx+yk1=0，且与线段AB相交，求直线l的斜率k的取值范围为（）Ak或k4BkC4kDk4【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，从而得出l的斜率k的取值范围【解答】解：直线l的方程kx+yk1=0可化为k（x1）+y1=0，直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，如图所示；则直线PA的斜率是kPA=4，直线PB的斜率是kPB=，则直线l与线段AB相交时，它的斜率k的取值范围是k或k4故选：A【点评】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题目16（2015秋钦州期末）过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A3x2y=0Bx+y5=0C3x2y=0或x+y5=0D2x3y=0或x+y5=0【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程【解答】解：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即所以直线l的方程为：3x2y=0；当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，设直线l的方程为：把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5所以直线l的方程为：x+y5=0故选C【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题17（2015秋舟山校级期中）已知直线l过点P（1，2），且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为（）Axy3=0Bx+y+1=0或2x+y=0Cxy3=0或2x+y=0Dx+y+1=0或xy3=0或2x+y=0【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程当直线不过原点时，设方程的解析式，把点P（1，2）代入可得a的值，从而得到直线方程综合以上可得答案【解答】解：当直线过原点时，由于斜率为=2，故直线方程为 y=2x，即2x+y=0当直线不过原点时，设方程为+=1，把点A（1，2）代入可得a=3，故直线的方程为xy3=0，故答案为：2x+y=0，或xy3=0，故选：C【点评】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题18（2015秋兴宁市校级期中）过点P（2，3）并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A2x3y=0B3x2y=0或x+y5=0Cx+y5=0D2x3y=0或x+y5=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（2，3）代入所设的方程得：a=5，则所求直线的方程为x+y=5即x+y5=0；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（2，3）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即3x2y=0综上，所求直线的方程为：3x2y=0或x+y5=0故选：B【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题19（2015秋运城期中）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）Ax+y=2Bx+y=1Cx=1或y=1Dx+y=2或xy=0【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为x+y=a，把已知点坐标代入即可求出a的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把已知点的坐标代入即可求出k的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程【解答】解：当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（1，1）代入所设的方程得：a=2，则所求直线的方程为x+y=2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（1，1）代入所求的方程得：k=1，则所求直线的方程为y=x综上，所求直线的方程为：x+y=2或xy=0故选：D【点评】此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为0和不为0分类讨论，是一道基础题20（2015秋九江月考）直线xytana5=0（0，）的倾斜角的变化范围是（）A（，）B（）C（）D（【分析】由直线的方程得到直线的斜率，结合的范围得到直线斜率的范围，再由斜率等于直线倾斜角的正切值求得倾斜角的变化范围【解答】解：由直线xytan5=0，得直线的斜率为k=，（0，），tan（0，1），则（1，+），设直线xytan5=0的倾斜角为（0），tan1，则（，）故选：A【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题21（2015秋保定校级月考）已知直线3x+4y5=0的倾斜角为，则=（）ABCD【分析】先求出tan=，再求出sin=，cos=，代入展开即可【解答】解：由直线3x+4y5=0，得：tan=，则sin=，cos=，=sincos=（）=，故选：A【点评】本题考查直线斜率的意义，同角三角函数关系，倍角公式等三角恒等变换知识的应用，属于基础题二填空题（共4小题）22（2012北京模拟）若实数x、y满足（x2）2+y2=3，则的最大值为【分析】利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值【解答】解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率设=k，则kxy=0由=，得k=，故（）max=，（）min=故答案为：【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题23（2011南通三模）定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1|x3|若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=1或2【分析】由已知中定义在1，+）上的函数f（x）满足：f（2x）=cf（x）（c为正常数）；当2x4时，f（x）=1|x3|我们可得分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，进而根据三点共线，则任取两点确定的直线斜率相等，可以构造关于c的方程，解方程可得答案【解答】解：当2x4时，f（x）=1|x3|当1x2时，22x4，则，此时当x=时，函数取极大值当2x4时，f（x）=1|x3|；此时当x=3时，函数取极大值1当4x8时，24，则，此时当x=6时，函数取极大值c函数的所有极大值点均落在同一条直线上，即点共线，解得c=1或2故答案：1或2【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键24（2008温州学业考试）过点A（1，2），B（3，5）的直线方程是7x4y1=0【分析】根据题中所给出的条件直接根据直线方程的两点式写出直线方程即可【解答】解：所求直线方程过点A（1，2），B（3，5）所求直线方程为即7x4y1=0故答案为：7x4y1=0【点评】本题主要考查了求过两点的直线方程解题的关键是熟记直线方程的两点式：!25（2012甘肃一模）过点的直线l将圆（x2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线lOA，所以【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小三解答题（共5小题）26（2010沛县校级模拟）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log2x的图象交于C、D两点（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标【分析】（1）设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等则三点共线（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标【解答】解：（）设点A、B的横坐标分别为x1、x2由题设知，x11，x21则点A、B纵坐标分别为log8x1、log8x2因为A、B在过点O的直线上，所以，点C、D坐标分别为（x1，log2x1），（x2，log2x2）由于log2x1=3log8x1，log2x2=3log8x2OC的斜率，OD的斜率由此可知，k1=k2，即O、C、D在同一条直线上（）由于BC平行于x轴知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2，x2=x13代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1由于x11知log8x10，x13=3x1考虑x11解得x1=于是点A的坐标为（，log8）【点评】本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力27（2010上海二模）已知椭圆，常数m、nR+，且mn（1）当m=25，n=21时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若，求直线PQ的斜率；（2）过原点且斜率分别为k和k（k1）的两条直线与椭圆的交点为A、B、C、D（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S；（3）求S的最大值【分析】（1）求出椭圆的左焦点，设出P、Q坐标，利用若，和P在椭圆上，求出P、Q坐标，推出直线PQ的斜率；（2）写出直线l1：y=kx，l2：y=kx与椭圆方程联立，求出A坐标，然后求出四边形ABCD的面积S；（3）化简S的表达式，利用的单调性，求出函数S的最大值【解答】解：（1）m=25，n=21，（2分）设满足题意的点为P（x0，y0）、Q（0，t），（2，t）=2（x0+2，y0），（4分）（5分）（6分）（2）过原点且斜率分别为k和k（k1）的直线l1：y=kx，l2：y=kx关于x轴和y轴对称，四边形ABCD是矩形（8分）设点A（x0，y0）联立方程组于是x0是此方程的解，故（10分）（12分）（3）设，则g（k）在1，+）上是单增函数（13分）理由：对任意两个实数k1、k21，+），且k1k2，则=（14分）mn0，k2k11，k1k21，mk1k2n0又k1k20，g（k）在1，+）上是单增函数，于是g（k）min=g（1）=m+n（16分）（18分）【点评】本题考查直线的斜率，直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力，是难度较大题目28（2005江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹方程【分析】（1）可用待定系数法设出两直线的方程，用参数表示出两点E，F的坐标，用两点式求了过两点的直线的斜率，验证其是否与参数无关，若无关，则说明直线EF的斜率为定值（2）设出点M的坐标，如（1）用参数表示出点E，F的坐标，再由重心坐标与三角形的三个顶点的坐标之间的关系将其表示出来，消参数即可得重心的方程【解答】解：（1）设M（y02，y0），直线ME的斜率为k（k0），则直线MF的斜率为k直线ME的方程为yy0=k（xy02），由消去x得ky+ky01=0，解得yE=，xE=同理可得yF=，xF=kEF=，将坐标代入得kEF=（定值）所以直线EF的斜率为定值（2）当EMF=90时，MAB=45，所以k=1直线ME的方程为：yy0=xy02，由得E（1y0）2，1y0）同理可得F（1+y0）2，（1+y0），设重心为G（x，y），则有代入坐标得消去参数y0得y2=x（x）【点评】本题考点是直线与圆锥直线的位置关系，待定系数法表示方程，在本题验证直线过定点是先用参数表示出相关的直线方程解出两点的坐标再用斜率公式验证其是否为定值29（2013徐州模拟）过直线y=1上的动点A（a，1）作抛物线y=x2的两切线AP，AQ，P，Q为切点（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值（2）求证：直线PQ过定点【分析】（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，用选定系数法给出切线的方程，与抛物线方程联立消元得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程仅有一根，故其判别式为0，得到关于k的一元二次方程，k1，k2必为其二根，由根系关系可求得两根之积为定值，即k1k2为定值（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐标表示出两个切线的方程，因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程，观察发现P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐标都适合方程2axy+1=0上，因为两点确定一条直线，故可得过这两点的直线方程必为2axy+1=0，该线过定点（0，1）故证得【解答】解：（1）设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k，则切线的方程为y+1=k（xa），与方程y=x2联立，消去y，得x2kx+ak+1=0因为直线与抛物线相切，所以=k24（ak+1）=0，即k24ak4=0由题意知，此方程两根为k1，k2，k1k2=4（定值）（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由y=x2，得y=2x所以在P点处的切线斜率为：，因此，切线方程为：yy1=2x1（xx1）由y1=x12，化简可得，2x1xyy1=0同理，得在点Q处的切线方程为2x2xyy2=0因为两切线的交点为A（a，1），故2x1ay1+1=0，2x2ay2+1=0P，Q两点在直线2axy+1=0上，即直线PQ的方程为：2axy+1=0当x=0时，y=1，所以直线PQ经过定点（0，1）（10分）【点评】本题考查转化的技巧，（I）将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求，（II）中将求两动点的连线