局部环上的三阶J-拟polar矩阵_崔建.pdf

收稿日期 ；修改日期 基金项目安徽省高等学校省级质量工程项目（；）作者简介崔建（），男，博士，教授，从事代数学的教学与研究 ：通讯作者沙玲玉（），女，硕士在读，基础数学专业 ：第 卷第期大学数学 ，年月 局部环上的三阶拟 矩阵崔建，沙玲玉（安徽师范大学 数学与统计学院，安徽 芜湖 ）摘要基于群自同构及矩阵的相关性质，研究了三阶矩阵环的两类特殊子环（）与（）的拟 性，给出了在局部环条件下上述两类矩阵环为拟 环的充分必要条件，证明了若是局部环，则（）是拟 环当且仅当（）是拟 环当且仅当是 环且（）Z.关键词拟 环；局部环；矩阵环 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）引言本文所研究的环均为有单位元的结合环设是一个环，记号（）和（）分别表示中单位的全体和的 根，上的阶上三角矩阵的全体记为（）且其单位元记为.对于元素，定义 （）及 （），（）.令 （），（）.若 ，则称为拟幂零元环中元素称为拟 的，如果存在 （）使得 且（）.拟 元与广义 逆密切相关，即元素是拟 元当且仅当存在元素使得 ，（）且 .文献 中引入并研究了拟 环 称环是拟 环，如果中的每个元素都是拟 元；证明了拟 环是强 环作为拟 元（环）的一类特殊情形，文献 引入了拟 元（环）的概念 称元素是拟 的，如果存在 （）使得（），其中称为的谱幂等元且记为；称环是拟 的，如果中每个元素都是拟 元 文献 证明了拟 元素是拟 元，从而拟 环是拟 环，同时研究了矩阵环的拟 性，证明了任意阶数大于的矩阵环均不是拟 环 受此启发，本文研究矩阵环的两类特殊子环的拟 性 文献 中引入如下两类特殊矩阵环（）和（）.令（），以及（），.易见，（）和（）是三阶矩阵环的子环.设是局部环，证明了（）是拟 环当且仅当（）是拟 环当且仅当是 环且（）Z.对于环（），可得类似的结果.因而得到，（）是拟 环当且仅当（）是拟 环当且仅当是 环且（）Z.三阶矩阵环（）设是局部环，若对于任意的（）以及任意的（），群自同态和是同构的，则称是 环（简称 环），其中和分别表示通过左乘和右乘.根据文献，例.（），元素是拟 的当且仅当是拟 的；且由文献，引理.知，拟 元具有相似不变性，即是拟 元当且仅当对任意可逆元，是 拟 元.引理局部环是拟 的当且仅当（）Z，其中Z为二元域.证假设是局部拟 环.令（），由文献，例.（）知，（）.则（）（）（）.因此，（）（），即（）Z.反之是显然的.引理设是环，且 （）.则 （）当且仅当以下等式成立：，（），（）.（）证直接验证即得.定理设是局部环.则以下命题等价：（）（）是拟 环；（）（）是拟 环；（）是 环且（）Z.证（）（）假设（）是拟 环，令 .直接验证可得，（）（）.由文献，命题.（）知，（）是拟 环.（）（）由文献，命题.（）知，是拟 环.再由引理，（）Z.下证是 环，即证对任意的（）和（），的 群自同态是同构的（类似可证是同构的）.任意给定，令（）（）.记 （），其中.由 可得 ，从而是满射.进一步地，设.下证.令（）（）.显然，有 （）.因为 （），于是 .因此.即由 可推出，故是单射.（）（）令 （）.易得（）当且仅当（），（）当且仅当（），.若（）（对应地，（），显然可得（对应地，）.根据，例.（），是拟 的当且仅当是拟 的.故可分以下三种情形讨论：第期崔建，等：局部环上的三阶拟 矩阵情形，（）；（）.因为是 环，所以存在唯一的 使得 .令 ，则.由于（）Z，故（）.下证 （），即证对任意的 （），均有 ，也即证，.由于 及（）式，再用 替换等式（）中的 得 （）（）（）（）.因为是 环，所以 是单射.因此，.情形（）；，（）.由于是 环，故存在唯一的 满足 .令 .于是（）.由（）Z可得到（）.任给 （），下证 .根据 及（）式，再用 替换等式（）中的，得到 （）（）（）（）.因为 是单射，所以 .因此 ，即得 （）.情形，（）；（）.假设存在，使得 ，.记 .则（），且（）.此外，令 （），下证 .类似情形和情形，用 和 分别替换等式（）和等式（）里的 与，得到（）（）和（）（）.因为是 环，故有 与 ，从而 .综上，结论得证.推论若是交换局部环且（）Z，则（）是拟 环.证根据文献，例 ，是 环.再由定理，（）是拟 环.推论设是局部环.则以下命题等价：（）是 环且（）Z；（），是拟 环.证（）（）设，令 ，则有 （）.根据定理，（）是拟 环.大学数学第 卷记（）（），令 ，下证.注意到，且（）（）（）.下证 （）设且满足 ，那么有 又因为（）（），则 ，从而可得 即得（）（）因此，（），故是拟 环.（）（）与（）（）的讨论类似，是拟 可推出（）是拟 .再根据定理，是 环且（）Z.定理令是局部环.则（）是拟 环当且仅当（）（）Z；（）对任意的（）（），当，（）且（）时，存在（）（）使得 为对角拟 矩阵.证假设（）是拟 环.由定理知，是 环且（）Z.令（）（），其中，（），（）.由于是 环，则存在使得 .因此有 .同理，是同构的，故存在使得 .于是有 .令 ，则（）.由文献，引理.，是对角拟 矩阵.反之，假设（）和（）成立.对于任意的（），（）及.令 （），则存在（）（）使得 是拟 的，其中（），（）.特别地，有.记 .因为（）Z且（），故 有 ，.注 意 到，（）且 （），由此可得 ，即 .再根据文献，引理.，也是拟第期崔建，等：局部环上的三阶拟 矩阵 且 .因此，由 可得（）（），即证是满射.下证是单射.假设，则是拟 的，且类似的讨论可得其谱幂等元 .假设存在使得 .令 ，则有 （）又由于 （），从而，即证是单射.注意到，（）且 （）.类似如上证明可得，存在使得（）（），从而有 .进一步地，当时有.所以既是满射也是单射.因此，是 环.根据定理，证明完成.在定理中，条件“（），（）和（）”是必不可少的.如，令 （Z）.显而易见，（Z）是拟 且（）Z.然而，直接验证可知在（）中不能相似对角化.三阶矩阵环（）本节将研究三阶矩阵环（）的拟 性.引理设是环，（）.则 （）当且仅当以下条件成立：，（）.（）证直接验证可得.定理令是局部环.则以下命题等价：（）（）是拟 环；（）（）是拟 环；（）是 环且（）Z.证（）（）假设（）是拟 环.令 .则（），且易证（）（）根据文献，命题 ，（）是拟 环.（）（）由定理可得.（）（）令 （）.易知（）当且仅当（），且（）当且仅当（），.若（）（对应地，（），则（对应地，）.类似于定理中证明（）（），分以下三种情形讨论：情形（）；，（）.因为是 环，存在唯一的使得 .令大学数学第 卷 .则（），（）.下证 （）对于任意的 （），欲证 ，亦即证 .由（）式及 ，再用 替换等式（）里的，得到（）（）（）（）.因为是 环，是单射.因此，得证.情形（）；，（）.令 .则（）.由（）Z，可得（）.对任意的 （），均有 ，故 （）.情形（）；，（）.则存在使得 .记 ，则（）且（）.令 （），下证 .类似于情形和情形的证明，用 替换等式（）中的，得到（）（），（）（）.因为 是单射，则 .故 ，即证 （）.结合定理和定理，立即可得如下结论：推论设是局部环，则（）是拟 环当且仅当（）是拟 环.结论本文考虑了两类特殊的三阶矩阵环（）和（）的拟 性.通过矩阵构造，证明了是局部环时，（）是拟 环当且仅当（）是拟 环当且仅当是 环且（）Z.相关结果丰富了环论的研究内容，对环的矩阵性质研究具有参考意义.致谢作者非常感谢文献 对本文的启发以及 大学数学 审稿专家的指导意见.参考文献 ，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：陈建龙，张小向矩阵分解与广义逆矩阵大学数学，（）：崔书英，陈卫星 一般环的几个结果大学数学，（）：第期崔建，等：局部环上的三阶拟 矩阵 ，（，）：，（）（），（）（），（）（）（）Z.：；大学数学第 卷