矩形的极体及其相关结论_蓝一涵.pdf

100 第 25 卷第 1 期遵义师范学院学报2023 年 2 月1 预备知识及主要结论记 Rn（n2）为 n 维欧氏空间，设 C 为 Rn中的点集，若对于任意两点x,yC，都有线段 x,y 包含在点集C内，即对于x,yC，0 1，都有 x+(1-)yC，则称点集 C 为凸集。含有非空内点的紧凸集称为凸体。若 C 是 Rn中的紧凸集，文献7中给出了它的支持函数 h(C,x):RnR，定义为：h(C,x)=maxx y：yC。设 M 为 Rn中的一个子集，zM，若过点 z 的每一条直线与M的交均为一条直线段，则称M是关于点 z 的星集。含有非空内点的紧星集称为星体。若M 为 Rn中关于 z 的紧星集，文献中给出它的径向函数=(M,z,)Rn/0R，定义为(M,z,x)。当径向函数的自变量是具有方向的单位向量时，其几何意义为：从原点到 方向边界点的直线段的长度是(M,)。若 D 为 Rn中的一个子集，则集合D*=xRn：x y1,yD叫做 D 关于原点 O(0,0)的极集。含有非空内点的紧极集称为极体。极集是 Minkowski 几何中重要的一部分7，在几何不等式中也有着重要的地位8。文献1通过构建仿射等周不等式，给出了极体体积的一个下界。文献2讨论了差分体的极体。文献3讨论了凸体体积与其极体体积之间的关系，给出了凸体体积与其极体体积乘积的一个上界。文献 4 在平面上进行讨论，凸体及其极体的混合面积最小为。文献5讨论了平面凸体周长与面积之间的关系。文献6在探索支持函数与径向函数的性质上提供了帮助。我们将探究矩形极体的具体形状，并探究矩形关于其不同内点的极体的面积，尝试寻找矩形极体面积与内点位置之间联系。我们得到了如下结论：定理 1 若 M 为 R2中的矩形，则 M 关于其任一内点的极体 M*是四边形。定理 2 若M为R2中长与宽分别为a、b的矩形，则 M 关于其内点 O(x，y)。的极体 M*的面积S(x，y)=8ab（a24x2）（b24y2），收稿日期：2021-09-20基金项目：2019 年度贵州省基础研究计划(黔科合基础20191228 号)作者简介：蓝一涵，男，湖北潜江人，贵州师范大学硕士研究生。研究方向：积分几何与凸几何分析。*通讯作者：罗淼，男，贵州正安县人，贵州师范大学副教授，硕士生导师。研究方向：积分几何与凸几何分析。矩形的极体及其相关结论蓝一涵,周小静,罗淼*（贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025）摘要：研究了矩形关于矩形内点的极体、以及其极体面积与内点位置之间的关系，运用支持函数与径向函数的联系，得到该极体以及极体面积与该点位置之间的结论。关键词：凸体；极体；支持函数；径向函数中图分类号：O186.5文献标识码：A文章编号：1009-3583（2023）-0100-04The Polar Body of a Rectangle and Its Related ConclusionsLAN Yi-han,ZHOU Xiao-jing,LUO Miao（School of Mathematical Sciences,Guizhou Normal University,Guiyang 550025,China）We study the polar body of a rectangle with respect to its inner point,and the relationship between area of the polar body andthe location of the inner point,by using the connection between support function and radial function.We have obtained the results be-tween the area of polar body and the location of this point.convex body;polar body;support function;radial function第 25 卷第 1 期2023 年 2 月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityVol.25,No.1Feb.2023 101 其中-a2 x a2，-b2 y b2。定理 3 若M 为R2长与宽分别为a、b 的矩形，则M 关于其内点的极体 M*的面积存在最小值,且为8ab。2 定理的证明为了证明定理 1，需要如下引理：引理 19若 C 为 Rn中包含原点在其内部的凸体，C*是 C 关于原点的极集，且h(C,x)为C 的支持函数，(C*,x)为 C*的径向函数，则(C*,x)=h(C,x)-1。定理 1 的证明 设矩形M的长与宽分别为a、b，以矩形的中心为原点O(0,0)建立直角坐标系xOy，如图 1 所示。设点 O(x0,y0)在矩形 M 内，将坐标系 xOy的原点从 O(0,0)平移到 O(x0,y0)，得到新坐标系xOy，如图 1。设矩形 M 在新坐标系 xOy下的支持函数为 h(M,)。图 1图 2事实上，当 0,2时，矩形 M 在坐标系 xOy下的支持函数 h1(M,)可通过三角形 OBC 与 OAB三角形的支持函数来表示，如图 2 所示。(1)当 0,arctanb2y0a2x0时，设矩形M在新坐标系xOy的支持函数为h1(M,)，则由图 2 可知，h1(M,)=OI+IJ，且 OI=(a2-x0)s 1+tan2，CI=(a2-x0)tan。令 IJ=m，由于三角形 OIC 与三角形 BIJ 相似，从而有（b2y0）（a2x0）tana2x01+tan2=ma2x0tan，解得（b2y0）（a2x0）tantan1+tan2。所以h(M,)=(a2x0)1+tan2+（b2y0）（a2x0）tantan1+tan2=（a2x0）+（b2y0）tan1+tan2。设矩形M的极体M*在坐标系xOy下的径向函数为(C*,)，由引理 1 中(C*,)=(C,)-1可知，当 0,arctanb2y0a2x0时，则有(M*,)=1+tan2（a2x0）+（b2y0）tan。设极体 M*边界点关于坐标系 xOy的坐标为(x，y)（注：下列所有x，y均在坐标系xOy下讨论）。由，yx=tan，x2+y2=1+tan2（a2x0）+（b2y0）tan2，解得 x2=1（a2x0）+（b2y0）tan，y2=tan（a2x0）+（b2y0）tan。显然 x，y满足 y=-a2x0b2y0 x+1b2y0方程。故当 0,arctanb2y0a2x0时，极体 M*的径向函数(C*,)可转化为极体 M*的边界点的轨迹方程为y=-a2x0b2y0 x+1b2y0，即极体M*的边界点在此直线上。图 3蓝一涵等矩形的极体及其相关结论 102 第 25 卷第 1 期遵义师范学院学报2023 年 2 月(2)当(arctanb2y0a2x0,2时，矩形 M 在新坐标系 xOy的支持函数为1(M,)，则由图 3 可知，1(M,)=OI+IJ 且OI=（b2y0）1+1tan2，OK=b2y0tan，BI=(a2-x0)-b2y0tan。令 IJ=n，由于三角形 OKI 与三角形 IJB 相似，从而有a2x0b2y0tanb2y01+1tan2=nb2y0tan，解得 n=a2x0b2y0tan1+tan2。所以1(M,)=（b2y0）1+1tan2+=a2x0b2y0tan1+tan2=（b2y0）2+tan21tan2a2x0b2y0tan1+tan2。设矩形M的极体M*在坐标系xOy下的径向函数为(C*,)，由引理 1 中(C*,)(C,)-1可知，当(arctanb2y0a2x0,2时，则有(M*,)1+tan2（b2y0）2+tan21tan2a2x0b2y0tan。设极体 M*边界点的坐标为（x，y）。由yx=tan，x2+y2=1+tan2（b2y0）2+tan2+1tan2+（a2x0）b2y0tan2，解得x2=1（b2y0）2+tan2+1tan2+（a2x0）b2y0tan2，y2=tan（b2y0）2+tan2+1tan2+（a2x0）b2y0tan2。显然 xy满足 y=-a2x0b2y0 x+1b2y0方程。故当(arctanb2y0a2x0,2时，极体 M*的径向函数(C*,)可转化为极体M*的边界点的轨迹方程为y=-a2x0b2y0 x+1b2y0，即极体 M*的边界点在此直线上。综上可知当 0,2时，极体M*的边界点在直线 y=-a2x0b2y0 x+1b2y0上，其中 x0,1a2x0,y-0,1b2y0。同理可证，当(2,时，极体 M*的边界点在直线 y=-a2 x0b2y0 x+1b2y0上，其中x-1a2 x0,0,y(0,1b2y0。当 ,32时，极体 M*的边界点在直线y=-a2 x0b2 y0 x+1b2 y0上，其中 x-1a2 x0,0,y(-1b2 y0,0。当 32，2 时，极体 M*的边界点在直线y=-a2x0b2 y0 x+1b2 y0上，其中x-1a2x0,0,y(0,1b2 y0。由于这四条直线的交点分别是（0，1b2y0）、（-1a2+x0，0）、（0，-1b2+y0）、（1a2x0，0），所以矩形 M的极体M*是这四条直线段围成的封闭区域，即M*是以这四个交点为顶点的四边形。103 定理 2 的证明 由定理 1 知矩形 M 关于其内点O=(x0,y0)的极体M*是四条两两相交的直线段围成的包含其内点 O=(x0,y0)在内部的四边形，所以只要求出每一条直线段与 Ox轴和 Oy轴围成的三角形的面积，即可求出极体 M*的面积。设四条直线与两坐标轴围成三角形的面积分别为 S1、S2、S3、S4，则极体M*的面积 S S1 S2 S3 S4。图 4由于直线 y=-a2x0b2y0 x+1b2y0、y=-a2 x0b2y0 x+1b2y0、y=-a2 x0b2 y0 x+1b2 y0、y=-a2x0b2 y0 x+1b2 y0与轴 Ox和轴 Oy围成的三角形的面积分别为 S112a2x0b2y0、S212a2+x0b2y0、S312a2x0b2+y0、S412a2+x0b2+y0，故极体M*的面积为 S S1 S2 S3 S4=8aba24x02b24y02，其中-a2 x0a2，-b2 y0b2。所以当点O(x,y)变化时，极体 M*的面积也随之发生变化，故极体 M*的面积S(x，y)=8ab（a24x2）（b24y2），其中-a2 x a2，-b2 y b2。为了证明定理 3，需要如下引理。引理 210若二元函数 f(x，y)在点 P0(x0，y0)的某邻域U(P0)内具有二阶连续偏导数，且fx(x0，y0)=fy(x0，y0)=0。则当 fxx(P0)0,(fxxfyy-f2xy)(P0)0 时，二元函数 f(x，y)在点 P0(x0，y0)处取得极小值。定理 3 的证明 因为矩形 M 关于其内点 O(x,y)的极体 M*的面积与 O(x,y)的对应关系为S(x，y)=8ab（a24x2）（b24y2）。由Sx=x64ab（a24x2）2（b24y2）Sy=y64ab（a24x2）（b24y2）2可知二元函数 S(x，y)有唯一驻点(0，0)。又因为Sxx(0,0)=64abb24y2（a24x2）2+64x2（a24x2）（a24x2）4(0，0)=64a3b0。Syy(0,0)=64aba24x2（b24y2）2+64y2（b24y2）（b24y2）4(0，0)=64ab30。Sxy(0,0)=xy8ab（a24x2）2（b24y2）2(0，0)=0。所以(SxxSyy-S2xy)(0，0)=64a3b64ab3 0。由引理 2 及其驻点唯一可知，二元函数 S(x，y)在(0，0)取得最小值，且为 S(0，0)=8ab。故当点 O(x，y)在矩形M内部运动时，其相应的极体M*的面积的最小值是8ab。参考文献：1Lutwak E,Yang D,Zhang G.A volume inequality J.Journalof Differential Geometry,2009,84(10):163-178.2Mara A,Hernndez Cifre,Jess Yepes Nicols.On BrunnMinkowski-Type Inequalities for Polar BodiesJ.The Journalof Geometric Analysis,2014，26(1)：1-13.3Erwin,Lutwak.Extended affine surface areaJ.Advances inMathematics,1991,85(1):39-68.4Firey W J.The mixed area of a convex body and its polar re-ciprocalJ.Israel Journal of Mathematics,1963,1(4):201-202.5戴勇,王萍姝.关于平面 Bonnesen 型不等式的注记J.遵义师范学院学报,2011,13(1):88-89.6向日光.对函数凸性定义的诠释J.遵义师范学院学报,2005(4):49-50.7Guggenheimer H W.The analytic geometry of the unsymme-tric MinkowskiplaneM.Minneapolis:University of Minne-sota,Institute of Technology,School of Mathematics,1967.8Guggenheimer H.Hill equations with coexisting periodic so-lutionsJ.Commentarii Mathematici Helvetici,1969,5(1):159-166.9Ball,K.M.,andV.Milman.CONVEXGEOMETRICANALYSISM.New York:Cambridge University Press,2011.10华东师范大学数学系.数学分析（第四版）M.北京：高等教育出版社,2010.（责任编辑：罗东升）蓝一涵等矩形的极体及其相关结论