函数隐零点问题的探究.pdf

郑州市第十一中学 李小斌 导数隐零点问题是高考函数零点中常见的题型之一,其源自含指数或对数的函数方程无法进行精确求解,我们只能在得到方程解的存在性之后去估计大致的范围,从而进行求解。解决隐零点问题的三部曲通常是:第一步,用零点存在性定理判断导函数的零点存在,列出零点方程f(x)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围;第二步,以零点为分界点,说明导函数f(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式;第三步,将零点方程f(x)=0 适当变形,整体代入f(x)的最值式子进行化简,要么消除f(x)最值式子中的指数或对数项,要么消除其中的参数项,从而对f(x)的最值式子进行化简和证明。一、不含参函数的隐零点问题例1(2 0 2 3年郑州模拟)已知函 数f(x)=ex+1-2x+1,g(x)=l n xx+2。(1)求函数g(x)的极值;(2)当x 0时,证明:f(x)g(x)。解析:(1)g(x)=l n xx+2的定义域为(0,+),g(x)=1-l n xx2。当x(0,e)时,g(x)0,g(x)在(0,e)上单调递增;当x(e,+)时,g(x)0),即证明xex+1-l n x-x-2 0。令h(x)=xex+1-l n x-x-2(x 0)。则h(x)=(x+1)ex+1-1+xx=(x+1)ex+1-1x 。令(x)=ex+1-1x,则(x)在(0,+)上单调递增。而11 0 =e1 11 0-1 0 e2-1 0 0,故(x)在(0,+)上存在唯一零点x0,且x011 0,1 。当x(0,x0)时,(x)0,h(x)0,h(x)0,h(x)在(x0,+)上单调递增。故h(x)m i n=h(x0)=x0ex0+1-l n x0-x0-2。又因为(x0)=0,即ex0+1=1x0,所 以h(x0)=-l n x0-x0-1=(x0+1)-x0-1=0,从而h(x)h(x0)=0。因此,f(x)g(x)。方法探究:已知不含参函数f(x),导函数方程f(x)=0的根存在,却无法求出。(1)利用零点存在性定理,判断零点存在,设方程f(x)=0的根为x0,则有关系式f(x0)=0成立,注意确定x0的取值范围。(2)利用f(x0)=0,换掉f(x0)中的l n x0和ex0,从而证出结果。63 解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2 0 2 4年1月二、含参函数的隐零点问题例2(2 0 2 2年湖北省新高考协作体联考)已知函数f(x)=2 exs i n x-a x(e是自然对数的底数)。若0a 0;当x2,时,h(x)0,f()=-2 e-a 0。当2-a0,即0 0;当x(x0,)时,f(x)0。又f()=-a0,由函数零点存在性定理可得,此时f(x)在(0,)上仅有一个零点。当2 a 6时,f(0)=2-a0,所 以x1 0,2 ,x22,使 得f(x1)=0,f(x2)=0。当x(0,x1)或x(x2,)时,f(x)0。因此,f(x)在(0,x1)和(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增。因为f(0)=0,所以f(x1)2 e2-3 0,所以f(x2)0。又f()=-a0,由零点存在性定理可得,f(x)在(x1,x2)和(x2,)内各有一个零点,即此时f(x)在(0,)上有两个零点。综上所述,当0 a 2时,f(x)在(0,)上仅有一个零点;当2a6时,f(x)在(0,)上有两个零点。方法探究:已知含参函数f(x,a),其中a为参数,导函数方程f(x,a)=0的根存在,却无法求出。(1)设方程f(x)=0的根为x0,则有关系式f(x0)=0成立,该关系式给出了x0,a的关系;要注意确定x0的取值范围,往往和a的取值范围有关。(2)注意利用a的取值范围进行适当放缩,把字母a去掉。求解隐零点问题的难点在于对隐零点所在区间的准确界定,通常有以下三种方法。第一种是二分法,若x0(1,2)选取不合适,可判断f 32 的正负,重新确定在以12为长度的区间,这也是较为基础的方法;第二种是根据题目后面给出的参考数据重新选点,例如l n 2,l n 2.5,l n 3的参考值,通常这种提示就可以大致确定出隐零点的取值范围;第三种既不能用二分法也没有对应的参考数据,此时可直接从f(x0)=0入手,反推x0的取值范围。隐零点问题是指对函数的零点设而不求,通过一种整体代换和过渡,结合题目条件最终解决问题,常常出现在高考数学的压轴题中。这类题往往对思维要求较高,过程较为烦琐,计算量较大。希望同学们在学习时予以高度的重视,能够快速解答此类题目,从而取得优异的成绩。(责任编辑 徐利杰)73解题篇 创新题追根溯源 高二数学 2 0 2 4年1月