十五讲格林公式及其应用一连通区域市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

一、连通区域一、连通区域二、格林公式二、格林公式三、曲线积分与路径无关条件三、曲线积分与路径无关条件四、二元函数全微分求积四、二元函数全微分求积第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用第1页复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD一、连通区域一、连通区域第2页二、格林公式二、格林公式第3页边界曲线边界曲线 L L 正向正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域 总在观察者左边总在观察者左边.第4页证实证实:yxO abDcdCE第5页同理可证同理可证yxO abDcdCE第6页D两式相加得两式相加得第7页D第8页GDFCEAB由由(2)知知第9页GDFCEAB格林公式实质格林公式实质：沟通了沿闭曲线曲线积分与沟通了沿闭曲线曲线积分与二重积分之间联络二重积分之间联络.格林公式也能够写成格林公式也能够写成第10页xyOLAB 解解（取正向边界曲线取正向边界曲线）引入辅助曲线：引入辅助曲线：第11页解解则则应用格林公式应用格林公式,有有 xyO第12页解解第13页xyOLyxo由格林公式知由格林公式知应用格林公式应用格林公式,得得第14页xyo(注意格林公式条件注意格林公式条件)(其中其中 l 方向方向取逆时针方向取逆时针方向)第15页利用格林公式计算平面图形面积利用格林公式计算平面图形面积第16页解解第17页GyxOBA三、曲线积分与路径无关条件三、曲线积分与路径无关条件第18页证实证实 充分性由格林公式直接得证充分性由格林公式直接得证.第19页下面证实条件下面证实条件(1)是必要是必要.用反证法用反证法.第20页由格林公式及二重积分性质有由格林公式及二重积分性质有这与假设相矛盾，即条件这与假设相矛盾，即条件(1)是必要是必要.所以所以第21页四、二元函数全微分求积四、二元函数全微分求积第22页证实证实 则必有则必有从而有从而有由定理条件，有由定理条件，有即条件即条件(2)是必要是必要.先证必要性先证必要性.第23页再证充分性再证充分性.下面证实下面证实第24页由偏导数定义，有由偏导数定义，有由由(3)式，得式，得第25页所以所以由定积分中值定理，得由定积分中值定理，得所以得到所以得到第26页同理可证同理可证即条件即条件(2)是充分是充分.第27页解解所以原积分与路径无关，所以原积分与路径无关，原式原式=第28页解解由积分与路径无关可知由积分与路径无关可知 故故第29页