自动控制新版系统的数学模型.doc

第二章 自动控制系统数学模型
教学目标：
（1） 建立动态模拟概念，能编写系统微分方程。
（2） 掌握传输函数概念及求法。
（3） 经过本课学习掌握电路或系统动态结构图求法，并能应用各步骤传输函数，求系统动态结构图。
（4） 经过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图求法，并对系统结构图进行变换。
（5） 掌握信号流图概念，会用梅逊公式求系统闭环传输函数。
（6） 经过此次课学习，使学生加深对以前所学知识了解，培养学生分析问题能力
教学要求：
（1） 正确了解数学模型特点；
（2） 了解动态微分方程建立通常步骤和方法；
（3） 牢靠掌握传输函数定义和性质，掌握经典步骤及传输函数；
（4） 掌握系统结构图建立、等效变换及其系统开环、闭环传输函数求取，并对关键传输函数如：控制输入下闭环传输函数、扰动输入下闭环传输函数、误差传输函数，能够熟练掌握；
（5） 掌握利用梅逊公式求闭环传输函数方法；
（6） 掌握结构图和信号流图定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不一样形式数学模型求取系统传输函数方法。
教学关键：
有源网络和无源网络微分方程编写；有源网络和无源网络求传输函数；传输函数概念及求法；由各步骤传输函数，求系统动态结构图；由各步骤传输函数对系统动态结构图进行变换；梅逊增益公式应用。
教学难点：举经典例题说明微分方程建立方法；求高阶系统响应；求复杂系统动态结构图；对复杂系统动态结构图进行变换； 求第K条前向通道特记式余子式。
教学方法：讲授
本章课时：10课时
关键内容：
2.0 引言
2.1 动态微分方程建立
2.2 线性系统传输函数
2.3 经典步骤及其传输函数
2.4系统结构图
2.5 信号流图及梅逊公式

2.0引言：
什么是数学模型？为何要建立系统数学模型？
1. 系统数学模型：描述系统输入输出变量和各变量之间关系数学表示式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系表示式，她通常是时间函数。如：微分方程，传输函数，状态方程等。
２） 静态模型：描述过程处于稳态时各变量之间关系。通常不是时间函数
2. 建立动态模型方法
１） 机理分析法：用定律定理建立动态模型。
２） 试验法：　　利用试验数据提供信息，采取辨识方法建模。
3. 建立动态模型意义：找出系统输入输出变量之间相互关系，方便分析设计系统，使系统控制效果最优。

2.1动态微分方程建立
不管什么系统，输入输出量在暂态过程中全部遵照一定规律，来反应该系统特征。
为了使系统满足暂态性要求，必需对系统暂态过程进行分析，掌握其内在规律，数学模型能够描述这一规律。
一、编写系统或元件微分方程步骤：
1. 依据实际情况，确定系统输入输出变量。
2. 从系统输入端开始，按信号传输次序，以此写出组成系统各个元件微分 方程（或运动方程）。
3. 消去中间变量，写出输入输出变量微分方程。
二、举例
例1 R—L—C电路

依据电路基础原理有:

例2 质量－弹簧－阻尼系统

由牛顿定律：　　　　　

3） 电动机：

电路方程：　　　　　　　　　　(1)
动力学方程：　　　　　　　　　 (2)

(4) (2)　　 得：
(3)(5)(1) 得：

整理并定义两个时间常数
机电时间常数
电磁时间常数
电机方程

假如忽略阻力矩 即，方程右边只有电枢回路控制量，则电机方程是一经典二阶方程
假如忽略（）电机方程就是一阶

小结：本节经过讲授介绍了自动控制系统数学模型，介绍了系统动态和静态数学模型，描述了系统动态微分方程，并经过多个经典实例给出了求自动控制系统动态微分方程步骤。

2.2线性系统传输函数
求解微分方程,可求出系统输出响应,但假如方程阶次较高,则计算很繁,所以对系统设计分析不便,所以应用传输函数将实数中微分运算变成复数中代数运算,可是问题分析大大简化.

1. 传输函数定义：
传输函数：线性系统,在零初始条件下,输出信号拉氏变换和输入拉氏变换之比，叫做系统传输函数。
线性定常控制系统微分方程通常表示式：
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：

式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，和是和系统结构和参数相关常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s代数方程为：

于是，由定义得系统传输函数为：

式中

2. 相关传输函数几点说明：
1） 传输函数概念只适应于线性定常系统。
2） G(s)即使描述了输出和输入之间关系，但它不提供任何该系统物理结构。因为很多不一样物理系统含有完全相同传输函数。
3） 传输函数只和系统本身特征参数相关，和系统输入量无关。
4） 传输函数不能反应系统非零初始条件下运动规律。
5） 传输函数分子多项式阶次（m）小于等于分母多项式阶次（n）。
6） 传输函数和微分方程之间关系。

假如将置换

7） 脉冲响应（脉冲过渡函数）g(t)是系统在单位脉冲输入时输出响应。 因为

传输函数G(s)拉氏反变换是脉冲响应g(t)
3.传输函数求法：
图 2-6
输入量Xr=u，输出量Xc=i。列回路电压方程：
u=Ri+L （2—27）
即Xr(s)=RXc(s)+LSXc(s) （2-28）
经整理得：= （2—29）
其中 Tl=,为电路时间常数。

思索题：

，什么是零初始条件？
怎样从该框图求得和之间关系？

2.3经典步骤及其传输函数
任何系统全部是由各步骤组成，知道了各经典步骤传输函数就不难求出系统传输函数，从而对系统进行分析。这些经典步骤包含：百分比步骤、惯性步骤、积分步骤、微分步骤、振荡步骤和时滞步骤。下面分别加以介绍：
1． 百分比步骤

式中 K——增益
特点： 输入输出量成百分比，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。
2． 惯性步骤

式中 T——时间常数
特点： 含一个储能元件，对突变输入其输出不能立即复现，输出无振荡。
实例：图2-4所表示RC网络，直流伺服电动机传输函数也包含这一步骤。
3． 微分步骤
理想微分
一阶微分
二阶微分
特点： 输出量正比输入量改变速度，能预示输入信号改变趋势。
实例： 测速发电机输出电压和输入角度间传输函数即为微分步骤。
4．积分步骤

特点： 输出量和输入量积分成正百分比，当输入消失，输出含有记忆功效。
实例： 电动机角速度和角度间传输函数，模拟计算机中积分器等。
5． 振荡步骤

式中 ξ——阻尼比
——无阻尼自然振荡频率

特点：步骤中有两个独立储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例：RLC电路输出和输入电压间传输函数。

6． 纯时间延时步骤

式中 ——延迟时间
特点： 输出量能正确复现输入量，但须延迟一固定时间间隔。
实例：管道压力、流量等物理量控制，其数学模型就包含有延迟步骤。

小结：经过本节讲授使学生掌握了传输函数基础概念及经典步骤传输函数。并了解了经典二阶步骤各参数物理意义。

2．4 系统结构图
一、结构图定义及其组成
1. 结构图：是描述系统各组成元件之间信号传输关系数学图形，它表示了系统输入输出之间关系。
2. 结构图组成：
（1） 信号线：带箭头直线，箭头表示信号传输方向。
（2） 分支点（引出点）：表示信号引出或测量位置。

注意：同一位置引出信号大小和性质完全一样。

（3） 比较点：对两个以上信号加减运算。

（4） 方框：方框图内输入步骤传输函数。

3．动态结构图绘制步骤：
（1）建立控制系统各元件微分方程（传输函数）要标明输入输出量。
（2）对元件微分方程进行拉氏变换，并作出各元件结构图。
（3）按系统各变量传输次序，依次将各元件结构图连接起来。
二、系统动态结构图求法
例图2-9是闭环调速系统

Ud

ST
KS
Ur
n
id
i
C0
R0
R1
ir
Ic
if
C1
Uk
Cr
Uf
-

图2-9

（一） 求各步骤传输函数和方框图
1. 比较步骤和速度调整器传输函数和方框图
，， ,

式中 为滤波常数 为时间常数

为百分比系数 为速度调整器函数
为速度反馈滤波传输函数
方框图如

W1(S)
W2(S)
Ur(S)
UK(S)
-
Uf(S)

图2-10
2. 速度反馈传输函数
为速度反馈系数
KSP
n(S)
Uf(S)

图2-11

3. 电动机及功率放大器装置传输函数
函数： 为功放电压放大系数
KS
Ud(S)
UK(S)

图2-12
电动机电框回路微分方程：
零初始条件下拉氏变换：
—电框回路传输函数
W4(S)
Ce
Ur(S)
Id(S)
-
n (S)

图2-13
电动机带负载时运动方程：
拉氏变换：
（2-47）
（二） 系统动态结构图

KC
KS
Ur(S)
E(S)
Ur(S)
n(S)
-

IZ(S)
Id(S)
-
Ud(S)
Ksf
Ce
Uf(S)
-

图2-14

三、框图等效变换
1．框图多个常见连接方法

(1)步骤串联连接传输函数

W1(S)
Xr(S)
X1(S)
W2(S)
X2(S)
W3(S)
XC(S)

图2-15
证实：

消去中间变量得多个步骤串联传输函数
（2-50）
若有多个步骤串联，则等效函数：
（2-51）
(2)步骤并联传输函数

W1(S)
Xr(S)
W2(S)
W3(S)
XC(S)

W1(S)+ W2(S) + W3(S)
Xr(S)
XC(S)

图2-16

证实：
（2-52）
（2-53）
若有多个步骤并联： （2-54）
(3)反馈连接等效传输函数

W1(S)
W2(S)
Xf(S)
E(S)
Xr(S)
XC(S)
-

图2-17
特点：将输出量返回系统输入形式闭环。有两个通道（正向通道 反馈通道）。
传输函数推导：

（2-55）

2．框图等效变换

(1)相加点从单元输入端移到输出端　

W1(S)
X2(S)
X1(S)
X3(S)
W1(S)
W1(S)
X2(S)
X1(S)
X3(S)
+

图2-18
变换前：
变换后：
(2)相加点从单元输出端移到输入端

W1(S)
X1(S)
X3(S)

W1(S)
X2(S)
X1(S)
Xf(S)
+

图2-19
变换前：
变换后：
(3)分支点从单元输入端移到输出端　
W1(S)
X1(S)
X2(S)
X1(S)
W1(S)
X2(S)

X1(S)

图2-30

(4)分支点从单元输出端移到输入端

W1(S)
X2(S)
X2(S)
W1(S)
X1(S)
W1(S)
X1(S)
X2(S)
X2(S)

图2-31

(5)分支点及相加点能够交换

W1(S)
X1(S)
X2(S)
X2(S)
W1(S)
W1(S)
X2(S)
X1(S)
W2(S)

图2-32
X3(S)
X1(S)
X4(S)
+
X2(S)
+
X1(S)
X4(S)
+
X2(S)
+
X3(S)

图2-33
图2-34 反馈控制系统方框图
四、多个基础概念及术语

R(s)——给定输入
C(s)——输出
B(s)——主反馈量
E(s)——误差
(1) 前向通路传输函数 假设N(s)=0
打开反馈后，输出C(s)和R(s)之比。在图中等价于C(s)和误差之比E(s)。
打开反馈后，输出量拉氏和输入量拉氏之比。

(2) 反馈回路传输函数 （Feedforward Transfer Function）假设N(s)=0
主反馈信号B(s)和输出信号C(s)之比。

(3) 开环传输函数 （Open-loop Transfer Function ）假设N(s)=0
主反馈信号B(s)和误差信号E(s)之比。

(4)只有给定输入作用（N（S）=0）

系统输出：
(5)只有扰动作用 [

系统总输出：

小结：经过本课学习使学生掌握电路或系统动态结构图求法，并能应用各步骤传输函数，求系统动态结构图；掌握等效概念及等效变换基础标准，能够求出复杂结构图传输函数。

2．5 信号流图及梅逊公式
一、信号流图
由系统结构图能够求出系统传输函数，不过系统很复杂时，结构图简化很繁，采取信号流图，无须对信号流图简化，应用统一公式，可求出系统传输函数。
1．绘制方法：
(1)由代数方程绘制：
例： 描述系统方程组为：
X2=aX1+bX2+gX5
X3=cX2
X4=dX1+lX3+fX4
X5=X1+hX4

信号流图是由节点和支路组成信号传输网络，节点表示系统变量或是信号用“O”表示，支路用有向线段表示。
该系统信号流图：
c
a
b
d
h
e
g
X4
X5
f
X3
X2
X1

图2-35

(2)由系统结构图绘制
f

-

XC
X2
X1
Xr
X3
X4

d
c
b
a

-

l

g

图2-36

-g
c
d
b
a
-f
-l
X4
Xc
X2
X1
Xr
X3

图2-37
2.信号流图使用术语
源点 ；汇点 ；混合节点 ；闭通路（回环）；回路增益 ；前向通路；自回路 ；不接触回路。
讲法：结合信号流图讲述。
3.梅逊增益公式求传输函数
利用梅逊增益公式，不用对系统结构图变换，一点写出系统传输函数。
（2-65）
X---系统输出量；X---系统输出量；T----系统总传输；T---第K条前向通路传输；
n—从输入节点到输出节点前向通路数；---信号流图特征式。
(2-66)
信号流图中全部不一样回环传输之和。
信号流图中每两个互不接触回环传输乘积之和。
--信号流图中每三个互不接触回环传输乘积之和。
信号流图中每m个互不接触回环传输乘积之和。
第K条前向通路特征式余子式，是在中除去和第K条前向通路相接触各回环传输（立即其置零）。

例1：图求系统总传输。

l
X2
X3
1
1
-g
c
d
b
a
f
X4
Xc
X1
Xr
X5

图2—38
依据梅逊增益公式：T=
此系统有两条前向通路n=2,其传输=abcd,T=fd;三个回环：L=be,L=-abcdg,L=-fdg
三个回环只有L和L互不接触

系统特征方程式 ：
=1-（L
=1-be+(abc+f-bef)dg
为除去（在中）得T特征余子式
在中除去和T接触回环L得特征余子式
系统传输为：T=
=
例2：图求系统传输函数
X’r
Xr
-
X1
X2
+
X2
-
X2
XC
X5
+
-
W2
W3
W4
H2
W5
H1
W1

图2—39
信号流图
X1
X3
W5
1
H2
Xc
X’1
Xr
X5
-H1
-1
-1
W2
W4
W3
W1
X2
X4

图2-40

系统前向通路：T1=W1W3W5，T2=W2W4W5
系统回环及传输： =-W1W3W5H1
=-W2W4W5
=-W3H2
=-W4H2
=-(W1W3W5H1+W2W4W5H1+W3H2+W4H2)
各回环相互接触 =0
各回环和前向通路T1，T2接触
系统传输函数：
W(S)==

小结： 经过本节课学习，使学生掌握信号流图概念，会用梅逊公式求系统闭环传输函数，而且能够求出第K条前向通道特记式余子式。

习题课

1．

J1
J2
1
2
M
θ1
θ2
f1
f2
Z1
M1
Z2
M2

图2-41

图示是一个齿轮传动机构，机构无变形，无间隙求
轴1力矩方程：M-M1-f=J1
轴2力矩方程：M2-f2=J2
齿轮1和齿轮2作功相等：M1=M2
又
经整理后拉氏变换得：
W（s）=
2．已知下列方程组成系统，试绘出由该方程组成方框图，并求传输函数。
Xr(S)-X4(S)=X1(S)
X3(S)=X2(S)-Xc(S)W4(S)
X2(S)=X1(S)W1(S)
X4(S)=W2(S)X3(S)
Xc(S)=X4(S)W3(S)
传输函数：=
X4(S)
X3(S)
X1(S)
X2(S)
W1(S)
Xr(S)
XC(S)
W2(S)
W3(S)
W4(S)
-

图2-42

此题要明确几点：
1） 画框图要从系统输入端入手，按信号传输次序，依次画出。
2） 由框图能够求出步骤传输函数。
3） 求复杂系统传输函数要将变成单回路系统，然后求传输函数。
3．求系统传输函数

W1
Xr
XC
W2
H1
H2
W1
Xr
XC
W2
H1
H2
H2

图2-43 图2-44

传输函数：
4．用5分钟做课上练习，求传输函数。

W1
Xr
XC
H1
W2

图2-45

5．化简结构图，求传输函数

W1
Xr(S)
XC
H2
H1
W2
W3
W4
-
-
-
+

图2-46
结构图化简过程：
W4分支点前移 化简其局部反馈 H2分支点前移 化简其局部反馈 然后化简H1组成局部反馈 单回路
传输函数：

小结： 经过举经典题、具体分析讲解使学生加深对以前所学知识了解，达成培养学生分析问题能力。