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北北北北 师师师师 大大大大 九年九年九年九年 级级级级 数数数数 学学学学 (上上上上 )第一章第一章 证实证实第1页06 六月 20242等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形 知知知知 识识识识 回回回回 顾顾顾顾ABC等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高 相互重合。相互重合。相互重合。相互重合。等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等.简称简称简称简称:等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角.顶角顶角顶角顶角ABC底边底边底边底边腰腰腰腰腰腰腰腰底角底角底角底角 底角底角底角底角【定义定义定义定义】【性质性质性质性质定理定理定理定理】【性质定理性质定理性质定理性质定理 推论推论推论推论】有两边相等三角形叫做等腰三角形有两边相等三角形叫做等腰三角形有两边相等三角形叫做等腰三角形有两边相等三角形叫做等腰三角形;D高高高高(简称简称简称简称:“:“三线合一三线合一三线合一三线合一”)第2页06 六月 20243如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,AB=AC,1=1=2 (2 (已知已知已知已知).).BD=CD,ADBD=CD,ADBC(BC(三线合一三线合一三线合一三线合一).).左边方框中格式左边方框中格式左边方框中格式左边方框中格式,以以以以后能够直接利用后能够直接利用后能够直接利用后能够直接利用.A AC CB BD D1 12 2如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,BD=CD(AB=AC,BD=CD(已知已知已知已知).).1=1=2,AD2,ADBC(BC(三线合一三线合一三线合一三线合一).).如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,ADAB=AC,ADBC(BC(已知已知已知已知).).BD=CD,BD=CD,1=1=2(2(三线合一三线合一三线合一三线合一).).轮换条件轮换条件轮换条件轮换条件1=1=2 2,BD=CD,BD=CD,ADADBCBC可得可得可得可得三线合一三线合一三线合一三线合一三种不三种不三种不三种不一样形式利用一样形式利用一样形式利用一样形式利用.”三线合一三线合一“三种语言三种语言 及及 条件轮换条件轮换【性质定理性质定理性质定理性质定理推论推论推论推论】等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高底边上中线、底边上高 相互重合。相互重合。相互重合。相互重合。(简称简称简称简称:“:“三线合一三线合一三线合一三线合一”)图形语言图形语言图形语言图形语言高线高线高线高线？符号语言符号语言符号语言符号语言中线中线中线中线？符号语言符号语言符号语言符号语言角平分线角平分线角平分线角平分线?符号语言符号语言符号语言符号语言第3页06 六月 20244本节课学些什么？本节课学些什么？等腰三角形还含有哪些主要性质等腰三角形还含有哪些主要性质等腰三角形还含有哪些主要性质等腰三角形还含有哪些主要性质?除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰三除了用定义来判定三角形是等腰三角形外角形外角形外角形外,还有一些什么简单方法来判还有一些什么简单方法来判还有一些什么简单方法来判还有一些什么简单方法来判定三角形是等腰三角形定三角形是等腰三角形定三角形是等腰三角形定三角形是等腰三角形?这就是本节课学习主要内容。这就是本节课学习主要内容。这就是本节课学习主要内容。这就是本节课学习主要内容。第4页06 六月 20245实践实践观察观察猜测猜测证实证实画一画画一画画一画画一画先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形先画一个等腰三角形,A AC CB B 然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线如角平分线、中线、高线)，你能发觉其中一些相等线段吗？你能发觉其中一些相等线段吗？你能发觉其中一些相等线段吗？你能发觉其中一些相等线段吗？你能证实你结论吗？你能证实你结论吗？你能证实你结论吗？你能证实你结论吗？小结小结小结小结 顶角平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；顶角平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较；底角两条平分线相等；底角两条平分线相等；底角两条平分线相等；底角两条平分线相等；两条腰上中线相等；两条腰上中线相等；两条腰上中线相等；两条腰上中线相等；两条腰上高线相等。两条腰上高线相等。两条腰上高线相等。两条腰上高线相等。A AC CB BDE EA AC CB BMMN NA AC CB BP PQ Q第5页06 六月 20246“等腰三角形两底角平分线相等”证实【例例1】证实证实:等腰三角形两底角平分线相等等腰三角形两底角平分线相等.AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知),),ABC=ABC=ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角).).ACBDE图形语言图形语言图形语言图形语言已知已知已知已知:求证求证求证求证:BD=CE.BD=CE.如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,AB=AC,BD,CE BD,CE 是是是是ABCABC角平分线角平分线角平分线角平分线.证实证实证实证实:1 12 2=(2=(已知已知已知已知),),又又又又1=1=，1=1=2(2(等式性质等式性质等式性质等式性质).).在在在在BDCBDC与与与与CEBCEB中中中中 DCB=DCB=EBC EBC（已知）（已知）（已知）（已知）,BC=CBBC=CB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）,1=1=2 2（已证）（已证）（已证）（已证）,BDCBDCCEBCEB（ASAASA）.BD=CE(BD=CE(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)第6页06 六月 20247“等腰三角形两腰上中线相等”证实证实证实证实证实:等腰三角形两腰上中线相等等腰三角形两腰上中线相等等腰三角形两腰上中线相等等腰三角形两腰上中线相等.BM=CN.BM=CN.A AC CB BMMN N已知已知已知已知:求证求证求证求证:如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,BM,AB=AC,BM,CNCN是是是是ABCABC两腰上中线两腰上中线两腰上中线两腰上中线.证实证实证实证实:(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知),),ABC=ABC=ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角).).又又又又CM=,BN=CM=,BN=(已知已知已知已知),),CM=BN(CM=BN(等式性质等式性质等式性质等式性质).).在在在在BMCBMC与与与与CNBCNB中中中中 BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）,MCB=MCB=NBCNBC（已知）（已知）（已知）（已知）,CM=BNCM=BN（已证）（已证）（已证）（已证）,BMCBMCCNBCNB（SASSAS）.BM=CNBM=CN第7页06 六月 20248“等腰三角形两腰上高相等等腰三角形两腰上高相等”证实证实证实证实证实证实:等腰三角形两腰上高相等等腰三角形两腰上高相等等腰三角形两腰上高相等等腰三角形两腰上高相等.证实证实证实证实:AB=AC(AB=AC(已知已知已知已知),),ABC=ABC=ACB(ACB(等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角).).又又又又 BP,CQBP,CQ是是是是ABCABC两腰上高两腰上高两腰上高两腰上高(已知已知已知已知),),BPC=BPC=CQB=90CQB=90o o(高意义高意义高意义高意义).).在在在在BPCBPC与与与与CQBCQB中中中中 BPC=BPC=CQBCQB（已证）（已证）（已证）（已证）,PCB=PCB=QBCQBC（已证）（已证）（已证）（已证）,BC=CB BC=CB（公共边）（公共边）（公共边）（公共边）,BPCBPCCQBCQB（SASSAS）.BP=CQ(BP=CQ(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等)已知已知已知已知:如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,AB=AC,BP,CQ AB=AC,BP,CQ是是是是ABCABC两腰上高两腰上高两腰上高两腰上高.求证求证求证求证:BP=CQ.BP=CQ.ACBPQ第8页06 六月 20249等腰三角形中相等线段等腰三角形中相等线段(2)(2)这里是一这里是一这里是一这里是一个由个由个由个由特殊特殊特殊特殊结论归纳结论归纳结论归纳结论归纳出出出出普通普通普通普通结结结结论一个数论一个数论一个数论一个数学思想方学思想方学思想方学思想方法法法法.议一议议一议A AC CB BD DE E1.1.已知已知已知已知:如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,(1)(1)假如假如假如假如ABD=,ABD=,ACE=,ACE=,那么那么那么那么BD=CEBD=CE吗吗吗吗?假如假如假如假如ABD=,ABD=,ACE=ACE=呢呢呢呢?由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论?(2)(2)假如假如假如假如AD=,AE=,AD=,AE=,那么那么那么那么BD=CEBD=CE吗吗吗吗?(3)(3)你能证实得到结论吗？你能证实得到结论吗？你能证实得到结论吗？你能证实得到结论吗？假如假如假如假如AD=,AE=AD=,AE=呢呢呢呢?由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论由此你能得到一个什么结论?过底边端点且与底边夹角相等两线段相等过底边端点且与底边夹角相等两线段相等过底边端点且与底边夹角相等两线段相等过底边端点且与底边夹角相等两线段相等.两腰上距顶点等距两点与底边顶点连线段相等两腰上距顶点等距两点与底边顶点连线段相等两腰上距顶点等距两点与底边顶点连线段相等两腰上距顶点等距两点与底边顶点连线段相等.第9页06 六月 202410等腰三角形等腰三角形 判判 定定 定定 理理你是怎样思索你是怎样思索你是怎样思索你是怎样思索?请与同伴交流你做法请与同伴交流你做法请与同伴交流你做法请与同伴交流你做法.2.2.前面已经证实了前面已经证实了前面已经证实了前面已经证实了“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”，反，反，反，反过来，过来，过来，过来，“等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边”吗吗吗吗?即即即即有两个角相等三角形是等腰三角形有两个角相等三角形是等腰三角形有两个角相等三角形是等腰三角形有两个角相等三角形是等腰三角形吗吗吗吗?A AC CB B已知已知已知已知:如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,B BC.C.求证求证求证求证:AB=AC.AB=AC.要证实要证实要证实要证实AB=AC,AB=AC,只要能结构出只要能结构出只要能结构出只要能结构出ABAB，ACAC所所所所在两个三角形全等就能够了在两个三角形全等就能够了在两个三角形全等就能够了在两个三角形全等就能够了.如：如：如：如：作作作作BCBC边上中线；边上中线；边上中线；边上中线；作作作作A A平分线或作平分线或作平分线或作平分线或作BCBC边上高边上高边上高边上高.议一议议一议分析分析分析分析:有两个角相等三角形是等腰三角形（有两个角相等三角形是等腰三角形（有两个角相等三角形是等腰三角形（有两个角相等三角形是等腰三角形（等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边）.在在在在ABCABC中中中中B BC C（已知），（已知），（已知），（已知），AB=ACAB=AC（等角对等边）（等角对等边）（等角对等边）（等角对等边）.这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线这又是一个判定两条线段相等依据之一段相等依据之一段相等依据之一段相等依据之一.结论结论结论结论第10页06 六月 202411论证命题新思维与新方法论证命题新思维与新方法 小明说,在一个三角形中，如果两个角不相等,那么这两个角所对边也不相等.即即即即C CA AB B在在在在ABCABC中中中中,假如假如假如假如BBC,C,那么那么那么那么ABAC.ABAC.想一想想一想想一想想一想w w 你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗你认为这个结论成立吗?w w 假如成立假如成立假如成立假如成立,你能证实它吗你能证实它吗你能证实它吗你能证实它吗?小明小明小明小明是这是这是这是这么想么想么想么想:如图如图如图如图,在在在在ABCABC中中中中,已知已知已知已知BBC,C,此时此时此时此时,AB,AB与与与与ACAC要么相等要么相等要么相等要么相等,要么不相等要么不相等要么不相等要么不相等.假设假设假设假设AB=AC,AB=AC,那么依据那么依据那么依据那么依据“等角对等等角对等等角对等等角对等边边边边”定理可得定理可得定理可得定理可得B=B=C,C,但已知条件是但已知条件是但已知条件是但已知条件是 BBC.C.“B=B=C”C”与与与与“BBC”C”相矛盾，相矛盾，相矛盾，相矛盾，所以，所以，所以，所以，ABAC.ABAC.你能了你能了你能了你能了解他证解他证解他证解他证实过程实过程实过程实过程吗吗吗吗?第11页06 六月 202412论证新方法论证新方法-反证法反证法 小明在证实时，先假设命题结论不成立，然后推导小明在证实时，先假设命题结论不成立，然后推导小明在证实时，先假设命题结论不成立，然后推导小明在证实时，先假设命题结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果，从出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果，从出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果，从出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾结果，从而证实便是结论一定成立而证实便是结论一定成立而证实便是结论一定成立而证实便是结论一定成立.这种证实方法称为这种证实方法称为这种证实方法称为这种证实方法称为反证法反证法反证法反证法(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)(reduction to absurdity)你可要认识你可要认识你可要认识你可要认识“反证法反证法反证法反证法”这个新朋友噢这个新朋友噢这个新朋友噢这个新朋友噢!假设假设假设假设AB=AC,AB=AC,那么依据那么依据那么依据那么依据“等角对等边等角对等边等角对等边等角对等边”定理可得定理可得定理可得定理可得B=B=C.C.但已知条件是但已知条件是但已知条件是但已知条件是BBC.C.“B=B=C”C”与与与与“BBC”C”相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾,所以所以所以所以,ABAC.,ABAC.反证法是一个主要数学证实方法反证法是一个主要数学证实方法反证法是一个主要数学证实方法反证法是一个主要数学证实方法.在处理一些问题时经常会有出人意料作用在处理一些问题时经常会有出人意料作用在处理一些问题时经常会有出人意料作用在处理一些问题时经常会有出人意料作用.C CA AB B第12页06 六月 202413反证法证题范例求证求证求证求证:假如假如假如假如a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4,a,a5 5都是正数都是正数都是正数都是正数,且且且且a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1,=1,那么那么那么那么,这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于1/5.1/5.假设这五个数中没有一个大于或等于假设这五个数中没有一个大于或等于假设这五个数中没有一个大于或等于假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,1/5,即都不得小于即都不得小于即都不得小于即都不得小于1/5,1/5,那么这五个数和那么这五个数和那么这五个数和那么这五个数和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5就小于就小于就小于就小于1.1.这与已知这五个数和这与已知这五个数和这与已知这五个数和这与已知这五个数和a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5=1=1相矛盾相矛盾相矛盾相矛盾.所以所以所以所以,这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于这五个数中最少有一个大于或等于1/5.1/5.(用用用用反证法反证法反证法反证法来证来证来证来证)证实证实证实证实:第13页06 六月 202414用反证法证题普通步骤用反证法证题普通步骤w1.1.假设假设假设假设:先假设命题结论不成立先假设命题结论不成立先假设命题结论不成立先假设命题结论不成立;w2.2.归谬归谬归谬归谬:从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发从这个假设出发,应用正确推论方法应用正确推论方法应用正确推论方法应用正确推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾结果相矛盾结果相矛盾结果相矛盾结果;w3.3.结论结论结论结论:由矛盾结果判定假设不正确由矛盾结果判定假设不正确由矛盾结果判定假设不正确由矛盾结果判定假设不正确,从而必定命题结论正确从而必定命题结论正确从而必定命题结论正确从而必定命题结论正确.第14页06 六月 202415牛利刃不费磨刀功牛利刃不费磨刀功1.1.用反证法证实：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证实：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证实：一个三角形中不能有两个角是直角用反证法证实：一个三角形中不能有两个角是直角已知：已知：已知：已知：ABCABC求证：求证：求证：求证：A A、B B、C C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角分析：按反证法证实命题步骤，首先要假定结论分析：按反证法证实命题步骤，首先要假定结论分析：按反证法证实命题步骤，首先要假定结论分析：按反证法证实命题步骤，首先要假定结论“A A、B B、C C中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角中不能有两个角是直角”不成立，即它反面不成立，即它反面不成立，即它反面不成立，即它反面“A A、B B、C C中有两个角是直角中有两个角是直角中有两个角是直角中有两个角是直角”成立，然后，从这成立，然后，从这成立，然后，从这成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾个假定出发推下去，找出矛盾证实：假设证实：假设证实：假设证实：假设A A、B B、C C中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设中有两个角是直角，不妨设A=A=B=90B=90，则，则，则，则A+A+B+B+C=90+90+C=90+90+C C180180这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，这与三角形内角和定理矛盾，A=A=B=90B=90不成立不成立不成立不成立所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角所以一个三角形中不能有两个角是直角w w2.2.用反证法证实：用反证法证实：用反证法证实：用反证法证实：w w在一个三角形中在一个三角形中在一个三角形中在一个三角形中,最少有一个内角小于或等于最少有一个内角小于或等于最少有一个内角小于或等于最少有一个内角小于或等于60600 0.第15页06 六月 202416作作 业业P 9习习习习 题题题题 1.21.21 1、2 2、3 3、4 4。第16页