计算机算法设计与分析专业课程设计.doc

成 绩 评 定 表
学生姓名
吴旭东
班级学号

专 业
信息与计算科学
课程设计题目
分治法解决棋盘覆盖问题；回溯法解决数字拆分问题
评

语

组长签字：

成绩

日期

20 年 月 日

课程设计任务书
学 院
理学院
专 业
信息与计算科学
学生姓名
吴旭东
班级学号

课程设计题目
分治法解决棋盘覆盖问题；回溯法解决数字拆分问题
实践教学规定与任务:
规定：
1．巩固和加深对基本算法理解和运用，提高综合运用课程知识进行算法设计与分析能力。
2．培养学生自学参照书籍，查阅手册、和文献资料能力。
3．通过实际课程设计，掌握运用分治法或动态规划算法，回溯法或分支限界法等办法算法基本思想，并能运用这些办法设计算法并编写程序解决实际问题。
4．理解与课程关于知识，能对的解释和分析实验成果。

任务：
按照算法设计办法和原理，设计算法，编写程序并分析成果，完毕如下内容：
1. 运用分治算法求解排序问题。
2. 运用回溯算法求解N后问题。

工作筹划与进度安排:
第12周：查阅资料。掌握算法设计思想，进行算法设计。
第13周：算法实现，调试程序并进行成果分析。
撰写课程设计报告，验收与答辩。

指引教师：

201 年 月 日
专业负责人：

201 年 月 日
学院教学副院长：

201 年 月 日

摘要
算法分析是对一种算法需要多少计算时间和 存储空间作定量分析。算法（Algorithm）是解题环节，可以把算法定义成解一拟定类问题任意一种特殊办法。在 计算机科学中，算法要用 计算机算法语言描述，算法代表用计算机解一类问题精准、有效办法。
分治法字面上解释是“分而治之”，就是把一种复杂问题提成两个或更多相似或相似子问题，再把子问题提成更小子问题……直到最后子问题可以简朴直接求解，原问题解即子问题解合并。在一种2^k*2^k棋盘上，恰有一种放歌与其她方格不同，且称该棋盘为特殊棋盘。
回溯法基本做法是深度优先搜索，是一种组织得井井有条、能避免不必要重复搜索穷举式搜索算法。数字拆分问题是指将一种整数划分为各种整数之和问题。运用回溯法可以较好地解决数字拆分问题。将数字拆分然后回溯，从未解决问题。
核心词：分治法，回溯法，棋盘覆盖，数字拆分
目录
1分治法解决期盼覆问题 1
1.1问题描述 1
1.2问题分析 1
1.3算法设计 1
1.4算法实现 2
1.5成果分析 3
1.6算法分析 4
2回溯法解决数字拆分问题 6
2.1问题描述 6
2.2问题分析 6
2.3算法设计 7
2.4算法实现 7
2.5成果分析 8
参照文献 9

1分治法解决期盼覆问题
1.1问题描述
在一种2k×2k（k≥0）个方格构成棋盘中，恰有一种方格与其她方格不同，称该方格为特殊方格。显然，特殊方格在棋盘中浮现位置有4k中情形，因而有4k中不同棋盘，图（a）所示是k=2时16种棋盘中一种。棋盘覆盖问题规定用图（b）所示4中不同形状L型骨牌覆盖给定棋盘上除特殊方格以外所有方格，且热河亮哥L型骨牌不得重复覆盖
1.2问题分析
用分治方略，可以设计解决棋盘问题一种简介算法。
当k>0时，可以将2^k *2^k棋盘分割为4个2^k-1 * 2^k-1子棋盘。由棋盘覆盖问题得知，特殊方格必位于4个较小子棋盘中，别的3个子棋盘中无特殊方格。为了将3个无特殊方格子棋盘转化为特殊棋盘可以将一种L型骨牌覆盖这3个较小棋盘会合处，因此，这3个子棋盘上被L型覆盖方格就成为给棋盘上特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模棋盘覆盖问题。递归使用这种分割，直至棋盘简化为1*1棋盘为止。
。
1.3算法设计
将2^k x 2^k棋盘，先提成相等四块子棋盘，其中特殊方格位于四个中一种，构造剩余没特殊方格三个子棋盘，将她们中也假一种方格设为特殊方格。如果是：

左上子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右下角那个方格假设为特殊方格
右上子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左下角那个方格假设为特殊方格
左下子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘右上角那个方格假设为特殊方格
右下子棋盘（若不存在特殊方格）----则将该子棋盘左上角那个方格假设为特殊方格
固然上面四种，只也许且必然只有三个成立，那三个假设特殊方格刚好构成一种L型骨架，咱们可以给它们作上相似标记。这样四个子棋盘就分别都和本来大棋盘类似，咱们就可以用递归算法解决。
。

1.4算法实现
#include<iostream.h>
int tile=1;
int board[100][100];
void chessBoard(int tr，int tc，int dr，int dc，int size)
{
if(size==1)
return;
int t=tile++;
int s=size/2;
if(dr<tr+s && dc<tc+s)
chessBoard(tr，tc，dr，dc，s);
else
{
board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
chessBoard(tr，tc，tr+s-1，tc+s-1，s);
}
if(dr<tr+s && dc>=tc+s)
chessBoard(tr，tc+s，dr，dc，s);
else
{
board[tr+s-1][tc+s]=t;
chessBoard(tr，tc+s，tr+s-1，tc+s，s);
}
if(dr>=tr+s && dc<tc+s)
chessBoard(tr+s，tc，dr，dc，s);
else
{
board[tr+s][tc+s-1]=t;
chessBoard(tr+s，tc，tr+s，tc+s-1，s);
}
if(dr>=tr+s && dc>=tc+s)
chessBoard(tr+s，tc+s，dr，dc，s);
else
{
board[tr+s][tc+s]=t;
chessBoard(tr+s，tc+s，tr+s，tc+s，s);
}
}

int main()
{
int size;
cout<<"输入棋盘size(大小必要是2n次幂)：";
cin>>size;
int index_x,index_y;
cout<<"输入特殊方格位置坐标：";
cin>>index_x>>index_y;
chessBoard(0,0,index_x,index_y,size);
for(int i=0;i<size;i++)
{
for(int j=0;j<size;j++)
cout<<board[i][j]<<"\t";
cout<<endl; 
} 
}

1.5成果分析

1.6算法分析
设T（n）是算法ChessBoard覆盖一种2^k * 2^k棋盘所需要时间，则从算法
分治方略可知，T(k)满足如下递归方程T(k) = {   O(1)    k=0 
                          4T(k-1)+O（1）    k>0

解得此递归方程可得T(k) = O（4^k）。由于覆盖一种2^k *2^k棋盘所需L型
牌个数为（4^k — 1）/3,故算法ChessBoard是一种在渐进意义下最优算法.
2回溯法解决数字拆分问题
2.1问题描述
整数分划问题。   
如，对于正整数n=6，可以分划为：   
6   
5+1   
4+2, 4+1+1   
3+3, 3+2+1, 3+1+1+1   
2+2+2, 2+2+1+1, 2+1+1+1+1   
1+1+1+1+1+1+1   
顾客从键盘输入 n （范畴1~10）  。
2.2问题分析
很明显这是一道关于数组合问题，但形成组合数是有一定限制。仔细分析一下题目，咱们可以得到如下结论：
  (1)每一组数之和必要等于n；
  (2)每一组数个数是不固定；
  (3)等式中后一种数大小必然不不大于或等于前一种数，由于这样做目有两个：一是 可以避免等式重复，例如
n=2     2=1+1 
n=3     3=1+2   3=1+1+1 
3=2+1  
(
可以看出为与
1+2
是同一种拆分，因而该式子不能算
) 
另一种目是可以减少不必要搜索，提高程序效率。

咱们可以将待拆分数相应途径图中路口，将可拆分数相应分叉编号，这样对于
每个路口而言，它所拥有分叉号是变化，规律是：分叉起始值取决于前一次所取数，
分叉终结值取决于该路口数中值。

2.3算法设计
在进行算法设计时咱们必要要注意两点： 
一是本问题需要解决如何记录某一途径中可取数问题，为理解决这一问题，本程序加入了一种新数组b，用来记录每一步所取数。 
二是当某一条路走完后来，咱们必要回到某一种路口，而路口值始终保持本来数， 因而在递归调用中咱们所使用实际参数应是独立。本例中使用是形式参数m，实际参数是a [ k ]，这样无论在某一级中a[k]值如何变化，m值是始终不变。
2.4算法实现
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void splitN(int n,int m);//n是需要拆分数，m是拆分进度。
int x[1024]={0},total=0 ;//total用于计数拆分办法数，x[]用于存储解
int main()
{
int n ;
printf("please input the natural number n:");
scanf("%d",&n);
splitN(n,1);
printf("There are %d ways to split natural number %d.\n",total,n);
system("PAUSE");
return 0 ;
}

void splitN(int n,int m)
{//n是需要拆分数，m是拆分进度。
int rest,i,j；
for(i=1;i<=n;i++)
{//从1开始尝试拆分。
if(i>=x[m-1])
{//拆分数不不大于或等于前一种从而保证不重复
x[m]=i ;//将这个数计入成果中。
rest=n-i ;//剩余数是n-i，如果已经没有剩余了，并且进度(总拆分个数)不不大于1，阐明已经得到一种成果。
if(rest==0&&m>1)
{
total++;
printf("%d\t",total);
for(j=1;j<m;j++)
{
printf("%d+",x[j]);
}
printf("%d\n",x[m]);
}
else
{
splitN(rest,m+1);//否则将剩余数进行进度为m+1拆分。
}
x[m]=0;//取消本次成果，进行下一次拆分。环境恢复，即回溯
}
}
}

2.5成果分析

参照文献
[1] 张子阳．.NET之美．第一版．机械工业出版社．
[2] Mark Michaelis．C#本质论．第四版．人民邮电出版社．
[3] MoreWindows．白话典型算法之七大排序．第二版
[4] 王晓东．计算机算法设计与分析．第四版．电子工业出版社．