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2010届高三数学专题——概率与统计测试卷A（理科）
一、 选择题（共10题，每小题均只有一个正确答案，每小题5分，共50分）
1.设随机变量X的分布列由P（X=i）＝C·确定，i＝1、2、3，则C的值为（ ）
A. B. C. D.
4
a
9
P
0.5
0.1
b
2.已知某一随机变量的概率分布列如下，且E=6.3，
则a的值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
3.若X～B（5，0.1），则P（X≤2）等于（ ）
A.0.072 9 B.0.008 56 C.0.918 54 D.0.991 44
4.设随机变量服从正态分布N（2，9），若P（＞c+1）＝P（＜c－1），则c等于（ ）A.1 B.2 C.3 D.4
5.一射手射击时其命中率为0.4，则该射手命中的平均次数为2次时，他需射击的次数为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
6.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则
P（X=0）等于（ ）
A.0 B. C. D.
7.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.在100张奖券中，有4张有奖，从这100张奖券中任意抽取2张，则2张都中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.已知随机变量和，其中=12+7，且E=34，若的分布列如下表，则m的值为 （ ）
1
2
3
4
P
m
n
A. B. C. D.
10.若随机变量的分布列为：P（=m）=，P（=n）=a，若E=2，则D的最小值等于（ ）
A.0 B.2 C.4 D.无法计算
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 .
12.两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士得胜希望大的是 .
13.在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，）（＞0）.若在（0，1）内取值的概率为0.4，则在（2，+∞）上取值的概率为 .
14.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设为取得红球的次数，则的期望E= .
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15.（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求：
（1）该顾客中奖的概率；
（2）该顾客获得奖品总价值（元）的概率分布列和期望E.
16.（12分）某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是.
（1）求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率；
（2）求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率；
（3）求这支篮球队在6场比赛中胜场数的期望和方差.
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
17.（14分）假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料，若由资料知y对x呈线性相关关系。试求：
（1）线性回归方程=bx+a的回归系数a，b；
（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
18（14分）为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳.各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望E为3，标准差为.
（1）求n和p的值，并写出的分布列；
（2）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种.求需要补种沙柳的概率.
19.（14分）某中学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为0.08，选修甲和乙而不选修丙的概率是0.12，至少选修一门课的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.
（1）记“函数f（x）＝x2＋·x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（2）求的分布列和数学期望.
20.（14分）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）.现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：
方案1：运走设备，此时需花费4000元；
方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56 000元；
方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元.
（1）试求方案3中损失费（随机变量）的分布列；
（2）试比较哪一种方案好.
高三数学专题——概率与统计测试卷A（理科）
试题评分标准及参考答案
一、选择题(共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
B
D
C
C
C
A
A
二、 填空题(共20分)
11. ； 12. 乙； 13. 0.1； 14. ；
三、 解答题（共80=12+12+14+14+14+14分）
15. 解：（方法一）（1）P=1-=1-=，即该顾客中奖的概率为.
(2) 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
且P（=0）==，P（=10）==，P（=20）==，P（=50）==.
P（=60）==，故的分布列为：
0
10
20
50
60
P
从而期望E=0×+10×+20×+50×+60×=16.
（方法二）（1）P===.
（2）的分布列求法同方法一。由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值E=2×8=16（元）.
16. 解：（1）P=·=.
（2）6场胜3场的情况有种.
∴P==20××=.
（3）由于服从二项分布，即～B(6,) ,
∴E=6×=2,D=6××(1-)=.
答：（1）这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为；
（2）这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为；
（3）在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为.
i
1
2
3
4
5
合计
xi
2
3
4
5
6
20
yi
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
25
xi yi
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
112.3
4
9
16
25
36
90
17. 解：（1）制表如右图所示：
于是，
（2）回归直线方程为=1.23x+0.08,
当x=10年时，
y=1.23×10+0.08=12.3+0.08=12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元.
18. 解：由题意知，服从二项分布B（n，p），
P（=k）=（1－p）n-k，k=0，1，…，n.
（1）由E=np=3，()2=np（1－p）=，得1－p=，从而n=6，p=，故的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
P
（2）记“需要补种沙柳”为事件A，则P（A）=P（≤3），得
P（A）＝＝，或P(A)=1-P(＞3)＝1-＝.
19. 解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x、y、z.
依题意得，解得
（1）若函数f(x)=x2+·x为R上的偶函数，则=0.
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
∴P（A）＝P（=0）＝xyz+（1-x）（1-y）（1-z）＝0.4×0.5×0.6+(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.24.
∴事件A的概率为0.24.
（2）依题意知的取值为0和2，由（1）所求可知
P（=0）=0.24，P（=2）=1-P（=0）=0.76，则的分布列为
0
2
P
0.24
0.76
∴的数学期望为E=0×0.24+2×0.76=1.52.
20. 解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A·+·B）=P（A）·P（）+P（）·P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A·B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（·）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量，则的分布列为：
10 000
60000
0
P
0.34
0.045
0.615
（2）对方案1来说，花费4000元；
对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045.所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3 520（元）.
对于方案来说，损失费的数学期望为：E=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），
比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差.
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