HIV病毒动力学模型的稳定性与周期解研究应用报告.doc

HIV病毒动力学模型稳定性和周期解
研 究 报 告

一、研究目标和意义
传染病动力学就是依据疾病发生、发展及环境改变等情况，建立能反应其改变规律数学模型，经过模型动力学性态研究来显示疾病发展过程，估计其流行规律和发展趋势，分析疾病流行原因和关键原因，寻求对其进行预防和控制最优策略，为大家防制决议提供理论基础和数量依据。近几十年来，越来越多学者开始从微观角度对传染病流行条件进行了研究，也就是从宏观关注传染病本身转变到聚焦于造成多种传染病罪魁祸首——病毒。基于生物学相互作用基础上数学模型，能够为宿主针对病原体反应动力学提供非直觉深入了解，对生物学试验研究能启发提出新路径，对了解宿主体内病原复制动力学和由此取得药品诊疗和免疫诊疗最好时间大有裨益。
最近，群体和进化生物学同微生物学、免疫学、流行病学和传染病学等多学科交叉和融合己成为一个趋势，开辟了感染性疾病群体生物学研究.这一崭新领域给相关学科提供了很多研究热点和生长点.宿主体内群体动力学以个体为关键对象，把病原体和宿主非线性相互作用视为一个整体，从多元、综合、定量、动态角度进行讨论，着重考虑决定病原体群体丰度、多样性和分布关键原因和对免疫反应进行定量描述和数学分析，以揭示病原体感染生态演化特征及机制，帮助认识感染和免疫这种非线性相互作用网络造成复杂、通常是非直觉行为。试验技术和数学模型结合开创了病毒群体动力学研究新路，已取得了卓有成效进展。
二、研究内容和方法
1999年Alan. S Perelson 等人建立了病毒感染模型
①
她们分析了模型性质，并用临床数据进行了模拟，证实了数学模型方法对研究病毒感染有效性，对研究病毒动力学提供了基础。
1、HIV病毒在人体内中扩散，被感染个体在整个群体中所占比率，称为被感染率，总是伴随时间推移增加。一个关键问题是，经过足够长时间后，被感染率是否会达成100%？我们知道在部分非洲国家，艾滋病被感染率已经达成了一个很高水平，而且还在缓慢增加，大家很关心在一段时间后被感染率会否变成100%，即全部人全部被感染了。假如情况并没有这么消极，那么最终饱和被感染率会是多少？经过控制哪些原因能够有效地降低最终被感染率？这确实是大家全部关心问题。于是在Alan. S Perelson等人模型基础上我们建立更为合理数学模型——含有饱和感染率病毒动力学模型：

我们研究了该模型平衡点存在性、系统有界性；利用 Routh-Hurwitz判据，我们研究了模型边界平衡点及正平衡点局部性；利用三维Poincare-Bendixson性质证实了正平衡点全局稳定性；并利用三维竞争系统周期解存在性理论，得到了模型周期解存在性。我们还考虑了药品诊疗对病毒影响。经过基础再生数对比，分析了药品诊疗作用。利用MATLAB软件，我们模拟了得到结果。我们结果表明，饱和感染率对病毒感染影响意义重大。从而为诊疗艾滋病提供了一定参考价值。
2、成人Ｔ淋巴细胞白血病（adult T cell leukemia，ATL）是一个和Ｉ型嗜人Ｔ细胞病毒（human T lymphotropic viruse type I，HTLV-1）相关疾病，患者血清中可检验出HTLV-1抗体。ATL细胞形态很特殊，细胞核扭曲、折叠呈花瓣状，细胞显示CD2、CD3、CD4、CD8等成熟Ｔ细胞标志和激活Ｔ细胞标志－CD25（IL-2受体）。HTLV-1关键侵袭CD4细胞，病毒首先和CD4阳性细胞表面CD4抗原结合，所以CD4是HTLV-1受体。因为受损害是CD4阳性细胞，患者Ｔ辅助细胞功效受抑制，患者易患严重感染。我们研究了HTLV-1 感染和成人T淋巴细胞白血病(ATL)病毒动力学模型

我们研究了该模型平衡点存在性、系统有界性；利用 Routh-Hurwitz判据，我们研究了模型边界平衡点及正平衡点局部性；利用三维Poincare-Bendixson性质证实了正平衡点全局稳定性；并利用三维竞争系统周期解存在性理论，得到了模型周期解存在性。结论表明，我们模型对预防成人T淋巴细胞白血病有一定指导价值。
3、我们考虑一类含有非线性感染率病毒动力学模型

因为不知道系统Poincare-Bendixson性质是否存在，我们使用自治收敛定理来证实该系统正平衡点全局渐近稳定性。
4、在病毒扩散初始阶段，新增被感染率，即在单位时间里新增被感染个体在群体中所占比率，是怎样随时间改变？采取药品诊疗后，感染细胞怎样转变为健康细胞？对这些规律了解，有利于在病毒感染早期分析感染趋势和采取有效控制方法。我们考虑了含有治愈率病毒动力学模型

对于以上模型研究，我们将关键采取Li和Muldowncy提出几何方法得到了病毒感染平衡点全局稳定充足条件。我们将利用得到基础再生数表示式，来探讨感染率（或治愈率）对病毒影响。我们结果和Alan. S Perelson 等人结果进行了具体比较，如基础再生数大小对正平衡点全局稳定性影响等。经过和模型①比较，能够可出我们模型更合理。我们结论表明药品诊疗对预防艾滋病是有益处。
5、在研究病毒动力课时,有两类时滞应该考虑。一是药品疗效起作用所需要时间（从服用药品到起到药品能在细胞内清除病毒所需要时间）。二是从健康T细胞和病毒结合到释放出病毒之间时滞。我们把第二种是滞引入到HIV病毒感染动力学，建立了以下模型:
②
我们利用Routh-Hurwitz判据得到系统平衡点局部稳定性；利用Hopf分支定理证实了分支周期解存在性。
6、在②研究之上，我们考虑了从健康T细胞和病毒结合到释放出病毒之间时滞，建立以下病毒动力学方程

我们研究了该模型在时动力学性质，利用Kuang Yang等人稳定性开关理论，研究系统稳定性开关存在性，进而有给出Hopf分支周期解存在条件，和周期解分支方向和周期解稳定性。
7、在Alan S. Perelson等人启发下，我们将建立一类含有时滞和治愈率病毒动力学模型

我们研究了该类时滞病毒动力学模型，给出其平衡点存在性、稳定性、Hopf分支周期解存在条件，和周期解分支方向和周期解稳定性，从而从理论上证实免疫学家从试验和数值计算得到病毒和T淋巴细胞存在低水平共存现象，为了解模型所反应免疫学规律性提供理论依据。
三、总结
本项目是经过由建立不一样微分或时滞微分方程模型，来改善以往建立模型不足之处，方便愈加好了解病毒动力系统对医学指导意义。其次，我经过对系统解持久性，稳定性， Hopf分支，周期解存在性、唯一性，和多种正不变集和吸引子存在性等研究，延伸了数学理论在生态系统尤其在病毒动力学方面研究应用。不过我们研究还是有一定不足之处。如：在建立模型方面，即使我们改善以往模型中不合理生物假设，不过因为我们缺乏临床医学资料，会使我们模型有一定不足。而且我们还能够建立部分大家现在还未研究数学模型等； 在模型分析方面，我们能够将使用脉冲常微分方程理论，建立更为合理、客观数学模型，从理论上发展和完善、改善部分已经有结论。