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(完整word)阻尼受迫振动
讨论阻尼受迫振动方程的解
物理102 34号 温一鸣
阻尼受迫振动系统的动力学模型如图2。18所示。
在此系统上除了有弹性恢复力kx及阻尼力作用外，还始终作用着一个简谐振力。

若以静平衡位置O-O为坐标原点，取质量块m的振动位移x为广义坐标，且向下为正，则可按牛顿运动定律直接写出该系统的运动微分方程式：
(2。56）
令
上式可改写成以下形式：
(2。57）
这是一个非齐次二阶常数线性微分方程式，其通解应为：

其中，是（2。57）式中右端为零的齐次方程的通解。在弱阻尼状态下，这一通解(见2.49).

是方程（2。57）式的一个特解，因为这一方程的非齐次项为正弦函数，故其特解也为简谐函数，且其频率与非齐次项的正弦函数的频率一致。即:

所以方程（2.57）式的通解为：

上式中,等式右边第一项表示有阻尼的自由振动(即衰减振动），后一项表示有阻尼的受迫振动.因此在开始振动时，运动是衰减振动和受迫振动的叠加，形成振动的暂态过程，这一过程中的振动称为瞬态振动.如图2.19所示，经过一段时间后，衰减振动很快就衰减掉了,而受迫振动则持续下去，形成振动的稳态过程，这一过程中的振动称为稳态振动。
(两个同向简谐振动合成)

一般不研究振动的暂态过程，因为它只是一个过渡现象，而只研究振动的稳态过程。因此我们只分析（2.58)式中的第二项，即：

式中：B ——受迫振动的振幅；
——受迫振动的圆频率；
—-振动体位移x与激振力px之间的相位差。
其中B和是两个特定常数,可用下法求得。
（速度）
（加速度）
将以上两式代入（2。57)式得：

两式加以整理得：

解上列联立方程式,将两式平方相加得:
(2。61)
又 （2.62）
令 ，称为静变位，
, 称为频率比;
， 称为阻尼比
则(2.61）及（2。62）式可改写成下列形式：
（2。63)
（2。64）
振动特性的讨论
（1）受迫振动的运动规律
如前所述，当作用在系统上的干扰力是简谐激振力时，则系统的响应为：
（2.65）
而且只要有激振力存在，这一振动就不会被阻尼衰减掉.
（2）受迫振动的频率
受迫振动的频率与激振力的频率相同。
（3)受迫振动的振幅
受迫振动的振幅大小，在工程实际问题中具有重要意义。若振幅超过允许的限度，机器零件中会产生过大的交变应力,而导致疲劳破坏，或者会影响机器及仪表的精度。
1）自由振动的振幅与初始条件有关，而受迫振动的振幅与初始条件无关.
2）受迫振动的振幅B与静变位B0成正比.而静变位B0表示在与激振力幅值p0相等的静力作用下系统产生的变位。所以振幅B与激振力幅p0成线性关系，p0越大，则B越大。
（4）阻尼的影响:阻尼增大可以有效地降低共振的振幅。当阻尼为零时，共振振幅Bn趋于无穷大。增大阻尼将使Bn相应减小.当ξ＞0。5时，将使Bn＜B。这说明：阻尼增大虽不能使受迫振动停息下来,但却可使它的振幅减小。若阻尼足够大时,则可使共振现象不再出现，而将受迫振动维持在一个不大的振幅上.
（5）受迫振动的相位差
由（2。64）式得知,受迫振动的位移对激振力的相位差与频率比及阻尼比ξ有关。始终是正值，故受迫振动的位移总是滞后于激振力；而且不论阻尼比ξ的大小如何，当=1时，=90°，振动系统的位移对激振力的相位差总是90°。若ξ≠0，则当＜1时,在0°～90°之间;当＞1时，在90°～180°之间.若ξ=0,即系统无阻尼存在时，相位差在=1处有一个突变，即＜1时，=0；＞1时,=180°。就是说，在＜n时，受迫振动的位移与激振力同相；在＞n时,受迫振动的位移与激振力反相。若系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋平缓。

参考文献：
［1］复旦大学物理系，上海师范大学物理系。物理学［M］.上海：上海科学技术出版社,1978。
[2］漆安慎,杜婵英。力学[M］.北京：高等教育出版社,2006。
［3］刘克哲.物理学［M]。北京：高等教育出版社，2003