随机数的生成方法.ppt

随机数的随机数的产产生生 对对随机系随机系统进统进行模行模拟拟，需要，需要产产生服从某种分生服从某种分布的一系列布的一系列随机数随机数.?定定义义 设设随机随机变变量量X（总总体）服从某种随机体）服从某种随机分布，分布，对对其其进进行了行了n次独立次独立观观察察,得到一得到一组组简单简单随机随机样样本本 X1，X2，Xn,满满足足1）X1，X2，Xn相互独立；相互独立；2）每一个）每一个X1，X2，Xn都与都与总总体体X 同分布同分布.利用某种方法得到一串利用某种方法得到一串数列数列r1,r2,rn一随机数的概念一随机数的概念1.在一定的在一定的统计统计意意义义下可作下可作为为随机随机样样本本X1，X2，Xn的一的一组样组样本本值值，称，称r1,r2,rn一一组组具有与具有与X相相同分布的同分布的随机数随机数.例例1 设设随机随机变变量量XB(1,0.5),模模拟该拟该随机随机变变量量X的一的一组样组样本本值值.一种一种简单简单的方法是的方法是 抛一枚均匀硬抛一枚均匀硬币币，观观察出察出现现正反面的情况，正反面的情况，出出现现正面正面记为记为数数值值“1”,”,否否则记为则记为“0”“0”得：得：0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0，0，1，1，0，1，0,可看成可看成总总体体X 的一系列的一系列样样本本值值,或称或称产产生了生了一系列一系列具有两点分布的随机数具有两点分布的随机数.2.需要需要寻寻求一种求一种简简便、便、经济经济、可靠、可靠,并能在并能在计计算机上算机上实现实现的的产产生随机数的方法生随机数的方法.数学数学软软件有件有产产生常用分布随机数的功能生常用分布随机数的功能对对特殊分布特殊分布需要数据需要数据量很大量很大时时 不太有效不太有效3.二二.均匀分布随机数的均匀分布随机数的产产生生最常用、最基最常用、最基础础的随的随机数是在（机数是在（0,1）区）区间间内均匀分布的随机数内均匀分布的随机数(简记为简记为RND)理解理解为为：随机：随机变变量量XU(0,1)的的一一组组样样本本值值的模的模拟拟值值 一般采用某种数一般采用某种数值计值计算方法算方法产产生随机数序列，生随机数序列，在在计计算机上运算来得到算机上运算来得到.通常是利用通常是利用递递推公式：推公式：给给定定k个初始个初始值值1,2,k,利用利用递递推公式推公式递递推出推出一系列随机数一系列随机数1 1,2 2,，n n,4.乘同余法乘同余法混合同余法混合同余法常常用用方方法法具有具有较较好的好的统计统计性性质质 1乘同余法乘同余法 递递推公式推公式为为用用M 除除xn后后得到的余数得到的余数记记为为xn+1其中其中是乘因子是乘因子,M为为模数模数(modulus),第一式是以第一式是以M为为模数模数的的同余式同余式.给给定初定初值值x0(称称为为种子种子),递递推推计计算出算出5.r1，r2，即在即在(0,1)上均匀分布的随机数序列上均匀分布的随机数序列.例例2 取取x0=1，=7，M=103，有，有x0=71=7，x1=7，r1=7/1000=0.007x1=77=49，x2=49，r2=49/1000=0.049x2=749=343，x3=343，r3=343/1000=0.343x3=7343=2401,x4=401,r4=401/1000=0.401x4=7401=2807,x5=807,r5=807/1000=0.807其余其余类类推推.6.2混合同混合同余法余法 递递推公式推公式为为用模用模 M 去除去除xn+C的余数的余数其中，其中，C是非是非负负整数整数.例例3 ：选选=97，C=3，M=1000，得，得递递推公式推公式取定种子取定种子x0=71，得，得97x03=6890，x1=890，r1=0.89097x13=86333，x2=333，r2=0.3337.97x23=32304，x3=304，r3=0.30497x33=29491，x4=491，r4=0.49197x43=47830，x5=630，r5=0.630 余余类类推，接下来的随机数是：推，接下来的随机数是：0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050，0.853有下述有下述问题问题：1.数列数列rn是有周期的，是有周期的，周期周期LM（模数）；（模数）；因因0 xnM，数列，数列xn最多有最多有 M个相异个相异值值,从而从而rn也同也同样样如此如此.8.2.数列数列rn本本质质上是上是实实数列数列,给给定初始定初始值值由由递递推推 公式公式计计算出的一串确定的数列算出的一串确定的数列.不能不能简单简单等同于真等同于真正意正意义义的的随机数随机数.解决方法与思路：解决方法与思路：1.选择选择模模拟拟参数参数2.对对数列数列进进行行统计检验统计检验 从从计计算机中直接算机中直接调调用用某种分布的随机数同某种分布的随机数同样样存存在在类类似似问题问题.9.x。=1，=513，M=236 （L=23421010）1）周期的周期的长长度取决于参数度取决于参数x0,入入,M的的选择选择；2）通通过过适当适当选选取参数可以改善随机数的取参数可以改善随机数的统计统计性性质质.几几组组供参考的参数供参考的参数值值：x。=1，=7，M=1010 （L=5107）1.选择选择模模拟拟参数参数 在在计计算机上算机上编编程程产产生随机数生随机数还应还应注意注意浮点运算浮点运算对对周期的影响周期的影响x。=1，=517，M=212 （L=2401012）10.2.对对数列数列进进行行统计检验统计检验 无无论论用哪一种方法用哪一种方法产产生的随机数序列生的随机数序列(实实数数列列)RND,都存在都存在问题问题：能否将其能否将其看着是在看着是在(0,1)上均匀分布的上均匀分布的连续连续型随机型随机变变量量X 的独立的独立样样本本值值？对应对应的的样样本是否可以看成本是否可以看成X的的简单简单随机随机样样本：本：1）X1，X2，Xn相互独立；相互独立；2）Xi U(0,1),(i=1,2，n)需判断是否具有需判断是否具有较较好的好的统计统计性性质质：独立性独立性 均匀性均匀性进进行行统计检验统计检验 11.三三.任意分布随机数的模任意分布随机数的模拟拟l离散型随机数的模离散型随机数的模拟拟 设设随机随机变变量量X 的分布律的分布律为为 将将P(n)作作为为区区间间(0,1)的分点的分点:P(0)P(1)P(2)P(3)0112.若随机若随机变变量量 RU(0,1),有有产产生生X的随机数的的随机数的算法步算法步骤骤：(1)产产生一个生一个(0,1)区区间间上均匀分布随机数上均匀分布随机数r(RND);(2)若若 P(n1)rP(n)，则则令令X 取取值为值为xn.例例3 离散型随机离散型随机变变量量X的分布律如下的分布律如下 X=x P(x)0 1 2 0.3 0.3 0.4 13.设设r1，r2，rN是是RND随机数，令随机数，令x1，x2，xN 即具有即具有X 的分布律的随机数的分布律的随机数.从理从理论论上上讲讲,已解决了已解决了产产生具有任何离散生具有任何离散型分布的随机数型分布的随机数的的问题问题.具体具体执执行仍有困行仍有困难难,如如X的取的取值值是无是无穷穷多个的多个的情况情况.可利用分布的自身特点可利用分布的自身特点,采用其他的模采用其他的模拟拟方法方法.14.例例4 随机随机变变量量XB(n,p)，其分布律，其分布律为为 随机随机变变量量X是是 n 次独立次独立贝贝努里努里试验试验中中,事件事件A发发生的生的总总次数次数,其中其中p=P(A).在在计计算机上模算机上模拟拟 n 重重贝贝努里努里试验试验来来产产生二生二项项分布分布的随机数的随机数.当当p 较较大而大而计计算精度要算精度要求求较较高高时时 15.2）统计统计ri（i=1，2，n）中使得）中使得 重复循重复循环环得到得到:n1，n2，nk即所求随机数列即所求随机数列.01p练习题练习题：(1)生成生成100个服从个服从B(20,0.3)的随机数的随机数(2)如何模如何模拟拟参数参数为为的泊松分布随机数？的泊松分布随机数？ri p的个数的个数ni.算法步算法步骤骤：1）产产生生n个个RND r1，r2，rn；16.2连续连续型随机数的模型随机数的模拟拟 利用在利用在(0,1)区区间间上均匀分布的随机数来模上均匀分布的随机数来模拟拟具有具有给给定分布的定分布的连续连续型随机数型随机数.两种方法两种方法反函数法反函数法 舍舍选选法法 1)反函数法反函数法 设连续设连续型随机型随机变变量量Y的概率函数的概率函数为为 f(x),需需产产生生给给定分布的随机数定分布的随机数.算法算法:1）产产生生n个个RND 随机数随机数r1，r2，rn；所得所得yi,i=1,2,n 即所求即所求.17.基本原理：基本原理：设设随机随机变变量量Y的分布函数的分布函数F(y)是是连续连续函函数，而且随机数，而且随机变变量量XU(0,1)，令，令Z=F1(X)。则则Z与与Y有相同分布有相同分布.18.例例5 模模拟拟服从参数服从参数为为的指数分布的随机数，其的指数分布的随机数，其概率密度函数概率密度函数为为 若随机若随机变变量量)XU(0,1)1X U(0,1)19.(1ri)与与ri 均均为为RND 随机数随机数 模模拟拟公式可改写公式可改写为为问题问题：请请考考虑虑如何利用此公式模如何利用此公式模拟拟泊松流？泊松流？优优点：点：一种普通而适用的方法；一种普通而适用的方法；缺点缺点:当反函数不存在或当反函数不存在或难难以求出以求出时时,不宜于使不宜于使 用用.练习练习：生成生成100服从参数服从参数为为10的指数分布的随机的指数分布的随机数。数。20.2）舍）舍选选法法 基本思想：基本思想：实质实质上是从上是从许许多多RND随机数中随机数中选选出一部分出一部分,使之成使之成为为具有具有给给定分布的随机数定分布的随机数.算法步算法步骤骤：(1)选选取常数取常数，使，使f(x)1，x(a,b)；(2)产产生两个生两个RND 随机数随机数r1、r2，令，令 y=a(ba)ri；(3)若若 r2f(y)，则则令令x=y,设设随机随机变变量量X的概率密度函数的概率密度函数为为f(x)，存在，存在实实数数 ab，使，使 PaXb=1，否否则则剔除剔除 r1和和r2,重返步重返步骤骤(2).21.重复循重复循环环,产产生的随机数生的随机数x1，x2，xN的的分布由概率函数分布由概率函数 f(x)确定确定.舍舍选选法算法原理分析：法算法原理分析：设设PaZb=1，Z的概率密度的概率密度为为f(z),1.选选常数常数，使，使f(z)1，z(a，b)；2.随机随机变变量量X1，X2相互独立相互独立XiU(0,1),令令 Y1=a+(ba)X1U(a,b);3.若若X2f(Y1)，则则令令 X=Y1，否，否则则剔除剔除X1，X2重复到重复到(2)。则则随机随机变变量量X的分布与的分布与Z相同。相同。22.注注可可选选取有限区取有限区间间(a1,b1)，使得使得 是很小的正数是很小的正数.例如取例如取 a1=3,b1=3，有，有 在区在区间间(a1,b1)上上应应用舍用舍选选法法,不会出不会出现较现较大大的系的系统误统误差差.23.3正正态态随机数的模随机数的模拟拟产产生正生正态态分布分布随机数的方法随机数的方法反反函函数数法法舍舍选选法法坐坐标标变变换换法法 中中心心极极限限定定理理1）坐）坐标变换标变换法法设设r1，r2 是是RND随机数，令随机数，令则则 x1,x2是相互独立的是相互独立的标标准正准正态态分布的随机数分布的随机数.练习练习：用舍：用舍选选取法生成取法生成100个服从以期望个服从以期望=20，标标准差准差=10的正的正态态分布的随机数。分布的随机数。24.2）利用中心极限定理利用中心极限定理 产产生服从生服从N(,2)的算法步的算法步骤骤：(1)产产生生n 个个RND 随机数：随机数：r1，r2，rn，一般一般 n10若取若取n=12，简简化化为计为计算算 x 是服从是服从标标准正准正态态分布分布的随机数的随机数(3)计计算算 y=x+.25.y 是服从是服从 N(,2)分布的随机数分布的随机数.原理分析原理分析 设设1，2，n是是n个相互独立的随机个相互独立的随机变变量量,且且iU(0,1),i=1,2,n,由中心极限定理知由中心极限定理知 渐渐近服从正近服从正态态分布分布N(0,l).26.