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第三章 圆
一．与圆相关的概念
1.圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径.【圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆心和半径确定了，圆就确定了】
2.①圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧，等于半圆的弧叫半圆.
②等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.
等弧也可以通过它所对的圆心角、圆周角、弦来进行判断，具体地说：
a.在同圆或等圆中，所对的圆心角相等的两段弧是等弧。
b.在同圆或等圆中，所对的圆周角相等的两段弧是等弧。
c.在同圆或等圆中，所对的弦相等的两段弧是等弧。
【温馨提示：半圆是弧，半圆形不是弧；弧的度数等于弧所对的圆心角的度数.】
3. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆中最长的弦是直径.
【温馨提示：一条弦对着两条弧，对着两个圆心角（选择题），一般让求“弦所对的圆心角的度数”，指的是“弦所对的小于180°的那个圆心角”（填空题）；一条弧对着一条弦，对着一个圆心角】

4.圆心角：顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.【圆心角∠AOB的取值范围是0°＜∠AOB＜360°】
5.圆周角：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
6.外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做圆的内接三角形.三角形外接圆的圆心（外心）到三角形三个顶点的距离相等.
【温馨提示：三角形三边垂直平分线的交点叫三角形外接圆的圆心;三角形有且只有一个外接圆，但圆有无数个内接三角形】
以下图为例O为外接圆的圆心，即外心.

温馨提示：锐角三角形外接圆的圆心（外心）在它的内部； 直角三角形外接圆的圆心（外心）在它斜边的中点上(R=)；钝角三角形外接圆的圆心（外心）在它的外部.
7. 内心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形内切圆的圆心（内心）到三角形三边的距离相等.
【温馨提示：三角形三条角平分线的交点叫内切圆的圆心;三角形有且只有一个内切圆，但圆有无数个外切三角形】
附注：①等边三角形的内切圆和外接圆

设等边△ABC的边长为a，内切圆的半径为r，则有，外接圆半径R=a
②直角三角形内切圆
设Rt△ABC两直角边分别为a、b，斜边为c，内切圆半径为r，则有或，其中四边形IDCB为正方形，边长ID=r.
三角形的外接圆和内切圆比较
名称
确定方法
图形
性质

外心：三角形外接圆的圆心

三角形三边中垂线的交点.

1. OA=OB=OC(即圆心到三角形三个顶点的距离相等).
2. 外心不一定在三角形的内部.

内心：三角形内切圆的圆心

三角形三条内角平分线的交点.

1. 圆心到三边的距离相等.
2. OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB.
3.内心在三角形内部.

等边三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为2:1（如图1）
直角三角形的外接圆半径与它的内切圆半径之比为=（如图2）

等腰三角形的内心和外心虽然不同，但都在底边的垂直平分线上.
三角形外接圆半径的求法
【即三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商】
三角形内切圆半径r的求法
∵
∴
二．圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点作圆的做法：

三．与圆相关的位置关系
1.点与圆的位置关系
（1）点在圆内 点在圆内；
（2）点在圆上 点在圆上；
（3）点在圆外 点在圆外；

2.直线与圆的位置关系
（1）直线与圆相离 无交点；
（2）直线与圆相切 有一个交点；
（3）直线与圆相交 有两个交点；

三． 与圆相关的性质和定理
1.圆的对称性：圆是轴对称图形,对称轴是任意一条经过圆心的直线（或直径所在的直线）,它有无数条对称轴.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
圆的旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.
★★★2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3.圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

4.圆周角定理
（1）圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
（2）圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径.

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

（3）圆心角、弧、弦、弦心距关系定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（补充）平行弦定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.
5.圆内接四边形
（1）性质定理：
性质定理1：圆内接四边形的对角互补
即：在⊙中，
∵四边形是内接四边形
∴

性质定理2：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角
（2）判定定理：（很重要）
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.
附注：圆的内接平行四边形是矩形； 圆的外切平行四边形是菱形.

★★★6.切线的判定定理与性质
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵且过半径外端
∴是⊙的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
7. 切线长及切线长定理
（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
(2)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线 ∴ 平分

（3） 圆外切四边形两组对边的和相等.

10. 圆的内正多边形
（1） 正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
（2）正多边形与圆的有关定理
把圆分成n(n≥3)等份：
①依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；
③任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆.
注意：①依据正多边形与圆的有关定理①、②，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形.
(3)正多边形的其它性质
①正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
②边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆.
(4) 正多边形的有关计算
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.

正n边形的有关计算公式
每个内角；每个外角
正n边形边长，内切圆半径，正n边形周长
正n边形面积
注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n边形边心距与它的半径之比. 这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比
②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
附注：
（1）正三角形
在⊙中△是正三角形（如图1），有关计算在中进行：
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在中进行（如图2），
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在中进行（如图3），

11.扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
（1）扇形：①弧长公式：； ②扇形面积公式：
：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积

（2）圆柱：
①圆柱侧面展开图：=
②圆柱的体积：

（2） 圆锥侧面展开图:
①= ②圆锥的体积：

一．选择题
1.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )
A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)
2.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )
A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm
3.⊙O的半径为5,圆心O的坐标为(0,0),点P的坐标为(4,2),则点P与⊙O 的位置关系是( )
A.点P在⊙O内； B.点P的⊙O上； C.点P在⊙O外； D.点P在⊙O上或⊙O外
4.下列命题：①直径所对的角是900 ；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（ ）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5.下列语句中，正确的是（ ）
①直径是弦；②弧是半圆； ③长度相等的弧是等弧；④经过圆内任一定点可以作无数条直径；⑤两个半圆是等弧；⑥优弧比劣弧长；⑦面积相等的圆是等圆；⑧菱形的四个顶点在同一个圆上；⑨能够互相重合的弧是等弧；⑩直径是圆中最大的弦，也就是过圆心的直线，其中正确的是（ ） A. ①⑦ B.③④⑦ C. ①②③ D.①③⑤⑦
6.下列语句中，不正确的是（ ）
A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形
B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C．当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
7.如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
8.下列语句中，正确的是（ ）
A. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等
B.如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等
C.如果两条弧相等，那么它们所对的圆周角相等
D.如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等
9.下列命题中错误的命题有（ ）
（1）弦的垂直平分线经过圆心；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）垂直于弦的直径平分弦；（4）圆的对称轴是直径． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10.下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
11．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
12.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
13.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点 B.三条边的中垂线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点
14.若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的外部，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B. 直角角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
15.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
16.一个三角形的外心在它一边的中点上,则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B. 直角角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
17.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（ ）
A.三角形三条角平分线的交点 B. 三角形三边垂直平分线的交点
C. 三角形中位线与高线的交点 D. 三角形中位线与中线的交点
18.如图1，在半径为2cm的圆O内有长为2cm的弦AB，则此弦所对的圆心角∠AOB为（）
A．60° B．90° C．120° D．150°
19.如图2,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条
20.如图3,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
21.如图4，∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°

22. 如图5,A、B、C三点都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°
23. 如图6,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用（ ）次就可以找到圆形工件的圆心. A.1 B.2 C.3 D.4
24.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
25.给出下列命题:①任意三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形;③任意一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆;④任意一个圆一定有一个外切三角形, 并且只有一个外切三角形,其中真命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
26.设⊙O的直径为m,直线L与⊙O相离,点O到直线L的距离为d,则d与m的关系是( )
A.d=m B.d>m C.d> D.d<
27.在平面直角坐标系中,以点(-1,2)为圆心,1为半径的圆必与( )
A.x轴相交 B.y轴相交 C.x轴相切 D.y轴相切
28.如图7,AB、AC为⊙O的切线,B、C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD,如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于( ) A.70° B.64° C.62° D.51°
29.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ） A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:5
30.如图8，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ） A.450 B.550 C.650 D.700

31.如图9，已知⊙O过边长为2的正方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，则圆的半径( )
A． B． C． D．1
32.一个扇形的弧长是20cm,面积是240cm2,那么扇形的圆心角是( )
A.120° B.150° C.210° D.240°
33.如图10,在平面直角坐标系中,已知⊙D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两点,B点坐标为(0,2),OC与⊙D相交于点C,∠OCA=30°,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C.; D.
34.如图11,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,以BC为直径的圆交AC于点D, 则图中阴影部分的面积为( ) A.2 B. C.1 D.

二．填空题
35.已知⊙O的周长为8cm,若PO=2cm,则点P在_______;若PO=4cm,则点P在_____;若PO=6cm,则点P在_______.
36.平面上有两点A、B,若线段AB的长为3cm,则以A为圆心,经过点B的圆的面积为_______.
37.点A的坐标为(3,0),点B的坐标为(0,4),则点B在以A为圆心, 6 为半径的圆的_______.
38.在半径为5cm的⊙O上有一点P,则OP的长为________.
39.圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_____cm.
40.如图12,⊙O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_____.
41.如图13,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA,CE⊥OB,CD= CE, 则弧AC 与弧CB弧长的大小关系是_________.
42.如图14,在⊙O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则⊙O的半径为_____cm.
43.如图15，点A、B、C、D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD=_____．

44.如图16,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形;________对相似比不等于1的相似三角形.

45.如图17，A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.

46.如图18,AB是⊙O的直径, 弧BC=弧BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.

47.如图19,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °,则点O 到CD 的距离OE=______.
48.如图20，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝200，则∠P的大小是___度.
49.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
50.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
51.等边三角形ABC的内切圆面积为9π，则△ABC的周长为_________.
52.正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________.
53.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12cm,BC=5cm,以点C为圆心,6cm 的长为半径的圆与直线AB的位置关系是________.毛
54.如图21,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于____度.

55.已知⊙O的半径为4cm,直线L与⊙O相交,则圆心O到直线L的距离d 的取值范围是____.
如图22,PA、PB是⊙O的切线,切点分别为A、B,且∠APB=50°,点C是优弧AB上的一点,则∠ACB的度数为________.
56.如图23,⊙O为△ABC的内切圆,D、E、F为切点,∠DOB=73°,∠DOE=120°, 则∠DOF=_______度,∠C=______度,∠A=_______度.
57.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
58.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
59.若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
60.正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
61.半径为9cm的圆中,长为12cm的一条弧所对的圆心角的度数为______;60°的圆心角所对的弦的长为________.
62.设计一个商标图形(如图24所示),在△ABC中,AB=AC=2cm,∠B=30°,以A 为圆心,AB为半径作弧BEC,以BC为直径作半圆弧BFC,则商标图案面积等于________cm2.

63.扇形的弧长为20cm,半径为5cm,则其面积为_____.
64.如图25,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=,将△ABC绕点B旋转至△A ′BC′的位置,且使点A,B,C′三点在同一直线上,则点A经过的最短路线长是______cm.
65.如图26是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图，围成这个纸帽的纸（圆锥的侧面）的面积为______cm²．若从纸帽的底面圆周上点A处用一条红线绕纸帽的侧面一圈，那么这样的红线至少要______cm．（红线的接头长度忽略不计）
66.如图27所示，草地上一根长5米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端拴着一只小羊R．那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是______㎡．

三． 计算题
67.如图28所示，CE是⊙O的直径，弦AB⊥CE于D，若CD=2，AB=6，求⊙O半径的长．

68.如图29，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．

69.已知：如图30，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若DC=4，DA=2，求⊙O的直径．

70.“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．
（1）经过2min后小雯到达点Q，如图31所示，此时他离地面的高度是多少？
（2）在摩天轮滚动过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？

71.如图32所示，⊙O半径为2，弦BD=2，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，求四边形ABCD的面积．

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