导数经典专题.doc

导数在研究函数中的应用
知识点一、导数的几何意义
函数在处导数是曲线在点处切线的 ，即_______________;相应地，曲线在点处的切线方程是
例1.(1)曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
（2）若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【变式】
（1）曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
（2）若曲线在点处的切线平行于轴，则的值为（ ）
A. B. C. D.
知识点二、导数与函数的单调性
（1）如果函数在定义域内的某个区间内，使得，那么函数在这个区间内为 且该区间为函数的单调_______区间；(2)如果函数在定义域内的某个区间内，使得，那么函数在这个区间内为 ，且该区间为函数的单调_______区间.
例1.（1）函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
（2）函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
例2.求下列函数的单调区间，并画出函数的大致图像.
（1） （2）
(3) （4）

知识点三、导数与函数的极值
函数在定义域内的某个区间内,若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是
（熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点）
例1.（1）求函数的极值
（2）求函数的极值

例2.（1）已知函数，则下列关于说法正确的是（ ）
A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值
C.既有极大值，又有极小值 D.既无极大值，有无极小值
（2）已知函数在处有极值，则的值分别为（ ）
A., B., C., D.,
（3）函数在处取得极小值，则的值为（ ）
A. B. C. D.
知识点四、导数与函数的最值
例1.（1）求函数在的最大值和最小值
（2）求在区间上的最大值和最小值
（3）求函数的最小值

【思考】
（1）三次函数的图像的特征有哪些？
（2）三次函数在定义域是严格单调还是不单调由什么决定？
（3）三次函数的图像与轴的交点个数（或函数的零点个数）由什么决定？
（4）函数有没有极值对其单调性有怎样的影响？
（5）函数的极值点个数与函数的最值有怎样的关系？

【注意】
（1） 在区间内是函数在此区间上为增函数（减函数）的充分不必要条件.
（2） 函数在上是增函数的充要条件是对任意的，恒成立
（3） 函数在上是减函数的充要条件是对任意的，恒成立
（4） 是可导函数在点处有极值的必要不充分条件（即导数值为的点不一定是极值点，但极值点处的导函数值一定等于）
知识点五、有关参数的取值范围问题
例1.（1）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2）若有极大值和极小值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.

(3)若函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
(4)若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例2.（1）函数，若存在唯一的零点，且，则的范围是（  ）
A．   B．    C．   D．  
（2） 函数有两个零点，则的取值范围（ ）
A．   B．    C．   D． 

【经典训练题】
1、设曲线在点（1,）处的切线与直线平行,则( )
A．1 B． C． D．
2、曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3、已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为( ) A. B.0 C.2 D.1
4、直线与曲线相切，则的值为( )
A．－2 B．－1 C．－ D．1
5、 函数的递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6、函数的单调递减区间是( )
A． B． C． D．
7、是可导函数在点处有极值的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
8、函数的极大值，极小值分别是 （ ）
A. 极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
C. 极小值-2，极大值2 D. 极小值-1，极大值3
9、函数，已知在时取得极值，则=（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
10、在区间上的最大值是（ ）
A. B.0 C.2 D.1
11、函数在上的最大值和最小值为（ ）
A. B. C. D.
12、已知函数，下列结论中错误的是（ ）
A.，
B.函数的图象是中心对称图形
C.若是的极小值点，则在区间单调递减
D.若是的极值点，则
13、设函数在定义域内可导，的图象如右图所示，则导函数的图象可能为(　 )

14、设是函数的导函数，的图象如右图所示，则的图象最有可能的是( )

(A) (B) (C) （D）

16、 已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
17、 已知函数在上是增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
18、函数在其定义域的子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
19、 已知函数在上有最小值，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
20、函数与轴只有一个交点，则实数的取值范围（ ）
A. B. C. D.
导数经典解答题
典例1.已知函数，求函数在区间上的最大值和最小值.

【思考】在下列区间上的最大值和最小值
（1）在区间
（2） 在区间
（3） 在区间
（4） 在区间
【注意】

题型1、求函数的单调区间（或讨论单调性）
典例2.
（1） 已知函数，讨论的单调性；
（2） 已知函数，求的单调增区间；
（3） 已知函数，讨论的单调性；

题型二、利用导数求函数的极值和最大（小）值
典例3.已知函数，其中
（1） 求的单调区间
（2） 讨论的极值

典例4.已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的极值.

典例5.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且函数在区间上的最大值为2，求的值.

典例6.已知函数是上的奇函数，当时取得极值.
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意不等式恒成立.

题型三、利用导数求参数的取值范围
典例7.已知
（1） 若在时有极值，求的值；
（2） 若函数的图象与函数的图象恰有三个交点，求实数的取值范围

典例8.设函数.
（1）求函数的单调递增区间;
（2）若函数在内恰有两个零点，求实数的取值范围.

典例9.已知函数在与处都取得极值.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.

典例10.已知函数，其中.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围.

典例11.设函数.
（1） 求的单调区间；
（2） 若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

典例12.已知函数.
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

典例13.已知函数 ．
（1）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；
（2）若函数在区间上不单调，求的取值范围．

典例14.已知函数图像上的点处的切线方程为．
（1） 若函数在时有极值，求的表达式；
（2） 函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

典例15.已知函数,,设．
（1）求函数的单调区间；
（2）若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值。

典例16.已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴.
（1） 确定与的关系
（2） 试讨论函数的单调性

典例17.已知函数.
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程
（2） 当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围

典例18.已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程
（2）若没有零点，求的取值范围

典例19.已知函数，,其中.
（1）求函数的单调区间
（2）若函数在区间内恰有两个零点，求的取值范围

典例20.已知函数图像上的点处的切线方程为
（1） 求函数的解析式
（2） 若函数在上恰有两个零点，求实数的取值范围

典例21.已知函数，.
（1） 若函数在处取得极值，求的值
（2） 若函数的图像在直线图像的下方，求的取值范围

典例22.已知函数，设曲线在点处的切线为.
（I）求实数,的值
（II）设函数
若,求函数的单调区间
‚若，求证：当时，