第四讲热学部分...doc

成都七中嘉祥外国语学校物理竞赛 zhangling
第四讲 热 学 部 分
一． 基础知识
1． 分子运动论的基本内容
2． 物态的微观解释
3． 理想气体的压强
设任意分子a的速度为v，在x、y、z三个方向的分量为vx、vy、vz，所以分子a在单位时间里与左右壁碰撞的冲量为：

4． 分子平均动能：
(k=R/NA,为玻尔兹曼常数)
5． 阿伏伽德罗定律：(n为单位体积的分子数)
① 分子的平均速率：(μ为mol质量，可分子平均自由程推导)
② 分子的方均根速率：
二． 物体的内能
1． 自由度：即确定一个物体的位置所需要的独立坐标参数，如自由运动的质点需要三个独立坐标来描述其运动，故它有三个自由度。
2． 例：He 三个平动自由度 H2 三个平动自由度，二个转动自由度
CO2三个平动自由度，二个转动自由度，一个振动自由度。
3． 理想气体的内能：
(i=3或i=5)
4． 物体的势能
三． 外界对气体做功的计算
1． 微元功：
2． 等压过程的功：
3． 等温过程的功：
4． 一般情况下，外界对气体做功，就先画P—V图，再根据图象求功
等温过程 绝热过程
P
V
P
V

等压过程 等容过程
P
V
P
V

四． 热量的计算：
(1) 热容、比热容、摩尔热容
A. 热容C表示系统升高单位温度吸收的热量：

B. 单位质量的物质的热容称为物质在该过程的比热容，即(m为质量)

C. 1mol物质的热容称为物质在该过程中的摩尔热容，即(为摩尔数)

D. 系统热容与变化过程有关，同一系统从同一状态出发按不同过程变化，其热容不同。但对固体、液体而言，一般认为定压热容与定容热容相等，统一用比热容表示。而对气体，其定压摩尔热容Cp与定容摩尔热容CV则不相等，可以证明：

(2) 热量的计算
在定容过程中，摩尔气体温度变化(T2-T1)所需的热量为：

在定压过程中，摩尔气体温度变化(T2-T1)所需的热量为：

质量为m的固体、液体变化(T2-T1)所需的热量为：

五． 热力学第一定律
1． 定律内容：
2． 热力学第一定律对理想气体特殊变化过程的分析
① 等温过程：，
② 等容过程：
③ 等压过程：
④ 绝热过程：
⑤ 循环过程(热机工作过程)：

六． 例题分析：
例1． 使装着理想单原子气体的箱子骤然以速度v运动起来，求气体温度的变化。已知一个气体原子的质量为m0，箱子的热容量和导热忽略不计。

例2． 水平放置一个边长为l =10cm的正方形扁盒子，在盒内不规则地放着N=1000个很小的钢球，每个钢球的质量m=0.5mg，盒子以恒定的速度v0=10m/s沿水平方向运动，经一段时间后，假定这些钢球的运动变得杂乱无章，与气体分子的运动相似。
(1) 以地球为参照系，试计算这些球的平均能量为多少？
(2) 估算钢球作用到侧壁的力多大？设钢球与盒壁及钢球之间的碰撞是完全弹性的。

例3． 一密闭容器内盛有水(未满)处于平衡状态，已知水在140C时的饱和蒸汽压为12mmHg，设水蒸汽分子碰到水面时都变成水，气体分子的平均速率与气体的热力学温度T的平方根成正比，试近似计算在1000C和140C时，单位时间内通过单位面积水面的蒸发变为水蒸汽的分子数之比n100/n14等于多少？

例4． 横截面积为S和αS(α>1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬质相连的活塞，如图所示。这时舱Ⅰ内气体的压强为P1，舱Ⅲ内气体的压强为βP1，活塞处于平衡状态，整个系统吸收热量Q，温度上升，使各舱温度相同。试求舱Ⅰ内气体压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)圆筒和活塞热容量很小，摩擦不计。
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
l
l

l
x
例5． （17届复）如图所示，在一个大水银槽中竖直插有一根玻璃管，管的上端封闭，下端开口，已知槽中水银液面以上的哪部分玻璃管的长度为l=76cm，管内封闭有μ=1.0×10－3mol的空气。保持水银槽与玻璃管都不动，而设法使玻璃管内空气的温度缓慢地降低100C，问在此过程中空气放出的热量为多少？已知管外大气压为76cmHg水银柱，每摩尔空气的内能U=CVT，其中T为绝对温度，常量CV=20.5J/mol·K，普适气体恒量R=8.31J/mol·K。

A
B
例6． 绝热容器A经一阀门与另一容积比A的容积大很多的绝热容器B相连，开始时阀门关闭，两容器中盛有同一种理想气体，温度均为300C，B中气体压强为A中的两倍，现将阀门缓慢打开，直至压强相等时关闭，问此时容器A气体的温度为多少？假设从打开到关闭阀门过程中处在A中的气体与B中的气体之间无热交换，已知每摩尔该气体的内能为U=，式中R为普适气体恒量，T为热力学温度。

2l
n、T
n、T
Q
例7． 长度为2l的水平圆柱形容器，被不导热的薄活塞分成相等的两部分，每个部分内盛有温度为T的μmol单原子理想气体。用两根劲度系数均为K未形变弹簧将活塞与容器两头相连，如图所示。右边部分气体吸收了热量Q，结果使活塞向左移动距离x=l/2。试求在温度T下传给恒温器的热量为Q＇，左边部分气体与恒温器始终保持热接触。

p
p2
p1
V1
V2
V
O
2
1
4
3
例8． 如图所示的循环中，V2=2V1，1→2为等压，气体与外界交换热量104J，做功7×103J；2→3为等容过程，气体与外界交换热量4×103J；3→4过程为等压过程，4→1为等过程。试求：
(1) 在图上标明各过程吸、放热的热量
(2) 该循环的热效率是多少？

例9． 0.1mol的理想气体，历经如图所示的过程由初状态A沿直线段AB膨胀到B状态。求这一过程中：
(1) 气体达到最高温度在何处？
(2) 气体从外界吸收的(不包括放出的)热量是多少？已知CV=1.5R，R=8.31J/mol·K。
p/(105pa)
V/(10-3m3)
1.5
1.0
0.5
O
1.0
2.0
3.0
A
B

第19届预赛
四、（20分）如图预19-4所示，三个绝热的、容积相同的球状容器A、B、C，用带有阀门K1、K2的绝热细管连通，相邻两球球心的高度差．初始时，阀门是关闭的，A中装有1mol的氦（He）,B中装有1mol的氪（Kr）,C中装有lmol的氙（Xe），三者的温度和压强都相同．气体均可视为理想气体．现打开阀门K1、K2，三种气体相互混合，最终每一种气体在整个容器中均匀分布，三个容器中气体的温度相同．求气体温度的改变量．已知三种气体的摩尔质量分别为
在体积不变时，这三种气体任何一种每摩尔温度升高1K，所吸收的热量均为 ，为普适气体常量．

第20届复赛
二、（15分）U形管的两支管 A、B和水平管C都是由内径均匀的细玻璃管做成的，它们的内径与管长相比都可忽略不计．己知三部分的截面积分别为 cm2，cm2，cm2，在 C管中有一段空气柱，两侧被水银封闭．当温度为℃时，空气柱长为＝30 cm（如图所示），C中气柱两侧的水银柱长分别为 ＝2.0cm，＝3.0cm，A、B两支管都很长，其中的水银柱高均为＝12 cm．大气压强保持为 ＝76 cmHg不变．不考虑温度变化时管和水银的热膨胀．试求气柱中空气温度缓慢升高到 ＝97℃时空气的体积．

例10． (1)已知每摩尔单原子理想气体温度升高1K时，内能增加1.5R，现有的单原子理想气体，经历ABCDA循环过程，在P—V图上是一个圆。
① 循环过程中哪一点的温度最高，温度是多少？
② 从C到D，气体内能的增加量、外界对气体所做的功、气体吸收的热量各为多少？
(2) 可否设计一个过程，使nmol单原子理想气体从图(2)的初态A(PA、VA、TA)到终态B(PB = PA、VB = 2VA 、TB)气体净吸热刚好等于内能的增量。

P
V
PA
VA
2VA
PA /2
图(2)
P(105N/m2)
V(10-3m3)
4
3
2
2
A
D
C
B
3
4

参考答案
例1. 设气体的摩尔数为γ，以箱子为参照系，则有：

式中k为玻尔兹曼常数，NA为阿伏伽德罗常数，且：

所以：
///////////////
///////////////
A
B
结论：机械运动对应的能量与分子平均动能可以发生转化，例如：两个完全相同的球作如图所示的放置，若使两球吸收相同的热量，问两球谁的温度更高？(忽略各种热损失)

例2．(1)因为小球与盒壁和小球与小球之间的碰撞是完全弹性碰撞，最终这些小球在盒底面上的运动类似气体分子的无规则热运动，当盒子匀速运动一段时间后，每个小球相对于盒子的运动速度大小都将达到v0，因而向左右，前后方向运动的小球占总数的1/4，根据运动合成原理，向前运动的小球对地速度大小为2v0，向后运动的小球对地速度为零，向左、向右运动的小球对地速度为，所以这些钢球的平均动能为：

(2)以盒子为参照系，设每个钢球在同一盒壁上连续再次碰撞之间的时间为△t，有：
设此时间内钢球与盒壁之间的平均作用力为，由动量定理：

因为在相对前后壁间和左右壁间的钢球数各为N/2，所以这些钢球对盒壁的撞击力为：
解①②③得：
例3．设n表示单位时间碰到单位面积的分子数：
对于液面上方气体由阿伏伽德罗定律：
解之得：……③
所以：
例4．因为有：，所以：
由平衡条件得：
由题意可得：
及

又因为：，三舱气体压强增加相同倍数，②式仍满足，说明升温过程中活塞不移动，④也仍然成立。
因
说明：利用②③可得：

例5．设玻璃管内空气柱的长度为，大气压强为，管内空气的压强为，水银密度为，重力加速度为，由图复解17-1-1可知
（1）
根据题给的数据，可知，得
（2）
若玻璃管的横截面积为，则管内空气的体积为
（3）
由（2）、（3）式得 （4）
即管内空气的压强与其体积成正比，由克拉珀龙方程得
（5）
由（5）式可知，随着温度降低，管内空气的体积变小，根据（4）式可知管内空气的压强也变小，压强随体积的变化关系为图上过原点的直线，如图复解17-1-2所示．在管内气体的温度由降到的过程中，气体的体积由变到，体积缩小，外界对气体做正功，功的数值可用图中划有斜线的梯形面积来表示，即有
（6）
管内空气内能的变化 （7）
设为外界传给气体的热量，则由热力学第一定律，有 （8）
由（5）、（6）、（7）、（8）式代入得 （9）
代入有关数据得
表示管内空气放出热量，故空气放出的热量为 （10）

评分标准：本题20分
（1）式1分，（4）式5分，（6）式7分，（7）式1分，（8）式2分，（9）式1分，（10）式3分。
例6．解：设A的容积为V，气体的压强为P，打开阀门前气体的质量为M，温度为T
由克拉珀珑方程：
又因为 所以打开阀门后气体压强
此时A中气体质量为：
进入A中气体的质量：
这些气体在B中的体积：
把这些气体压入A中，B中气体所做的功为：
解之得：
A中气体内能的变化：
由热力学第一定律：

解之得：
例7．设右边吸热后，活塞向左移动y，此时右边压强为P2，左边压强为P1，由平衡条件得：

当活塞发生微小位移△y时，气体做元功：

由此可见，到活塞移动

由热力学第一定律：
由平衡条件：
解之得：
例8. 1—2气体膨胀，对外做功，同时内能增大，故吸热：Q1=104J W1=7×103J
2—3气体体积不变，W=0 放热：Q2=4×103J
3—4外界做功，内能减少，气体放热：Q3
1—2过程气体内能的变化：
2—3过程气体内能的变化：
解之得：
3—4过程气体内能的减少：

3—4过程外界对气体做功：
而
3—4过程气体放出热量：
4—1过程中，因
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