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第三章 土体中的应力计算
学习指导
内容简介
建筑物的建造使地基土中原有的应力状态发生了变化，如同其它材料一样，地基土受力后也要产生应力和变形。在地基土层上建造建筑物，基础将建筑物的荷载传递给地基，使地基中原有的应力状态发生变化，从而引起地基变形。
研究地基土中应力的分布规律是研究地基和土工建筑物变形和稳定问题的理论依据，它是地基基础设计中的一个十分重要的问题。
教学目标
掌握土中自重应力计算、基底压力计算以及各种荷载条件下的土中附加应力计算方法。
学习要求
1、掌握土中自重应力计算
2、掌握矩形面积均布荷载、矩形面积三角形分布荷载以及条形荷载等条件下的土中竖向附加应力计算方法
3、掌握基底压力和基底附加压力分布与计算
4、掌握太沙基的饱和土体的有效应力原理要点及完整表达式
5、了解有效应力原理的工程应用
基本概念
自重应力、附加应力、有效应力、孔隙水压力、基底压力、基底附加压力、角点法、附加应力系数
学习内容
第一节 概述
第二节 有效应力原理
第三节 地基中的自重应力
第四节 基底附加压力
第五节 地基中附加应力
第六节 应力路线
学时安排
本章总学时数：12学时
第一节  0.5学时
第二节  3学时
第三节  0.5学时
第四节  2学时
第五节 3.5学时
第六节 1.5
主要内容
第一节 概述
大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：
自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定
真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题
弹性理论要求：受力体是连续介质。而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题
理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题
理想弹性体应是均质的各向同性体。而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。为此进行假设，天然地基作为均质的各向同性体。
二、地基中的几种应力状态
计算地基应力时，一般将地基当作半无限空间弹性体来考虑；即把地基看作是一个具有水平界面、深度和广度都无限大的空间弹性体。
常见的地基中的应力状态有如下三种：
1、三维应力状态
荷载作用下，地基中的应力状态均属三维应力状态。每一点的应力都是x、y、z的函数，每一点的应力状态都有9个应力分量。，写成矩阵形式则为：

根据剪应力互等原理，有τxy=τyx,τyz=τzy,τxz=τzx，因此，该单元体只有6个应力分量，即σxx,σyy,σzz, τxy, τxz, τyz。
2、二维应变状态（平面应变状态）
二维应变状态是指地基中的每一点应力分量只是两个坐标（x,z）的函数，因为天克地面可看作一个平面，并且沿y方向的应变，由于对称性，，这时，每一点的应力状态有5个应力分量： 。应力矩阵可表示为：

3、侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种应力状态；土体只发生竖直向的变形。
由于任何竖直面都是对称面，故在任何竖直面和水平面上都不会有剪应力存在，即，应力矩阵为：

由，并与成正比。
5、侧限应力状态与轴对称应力状态的仪器设定
除自重应力外，若地面上作用有大面积连续均布荷载，而土层厚度又相对较薄时，在土中引起的附加应力也属于侧限应力状态。由外荷载P在土层中引起的附加应力将沿深度均匀分布。而且在同一深度Z处的水平面上各点的竖向附加应力都等于，水平向附加应力也均相等。在此种应力条件下土体侧向不能发生变形，属于侧限状态。
2、轴对称三维应力状态
设三维应力是轴对称应力状态，在直角坐标系，作用于立方体土体上的应力如图3-52（教材P104），其中。
当求外加荷载在土体中所引起的超静水压力时，土体中的应力是在自重应力的基础上增加了一个附加应力，常用增量表示。
轴对称三维应力增量，可分解成等向压应力增量和偏差应力增量，
三、土力学中应力符号的规定
在进行土中应力计算时：
①应力符号的规定法则与弹性力学相同，但正负与弹性力学相反；即当某一截面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个截面称正面；正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为负，沿负方向为正。
②用摩尔圆进行应力状态分析时，法向应力仍以压应力为正，剪应力方向以逆时针方向为正。
第二节 有效应力原理
一、有效应力原理的基本概念
1、有效应力：
土体是由固体颗粒和孔隙水及空气组成的三相集合体。外荷在土体中产生的应力是通过颗粒间的接触来传递的。由颗粒间的点接触传递的应力会使土的颗粒产生变形，引起土体的变形和强度的变化，这种对土体变形和强度有效的粒间应力就称为有效应力。
2、孔隙水压力
如果土体中的孔隙是互相连通而又充满水，则孔隙中的水服从静水压力分布规律，这种由孔隙水传递的应力就称为孔隙水压力。
由于孔隙水在土中一点的各方向产生的压力相等，它只能压缩土颗粒本身而不能使土颗粒产生位移，而土粒本身的压缩量是可以忽略不计的（当压力值达到600kpa时，土颗粒体积压缩5％），所以不能直接引起土体变形和强度变化的孔隙水压力又称为中性压力。
3、试验演示：
烧杯中的细砂高，加上铁球高成压至，说明铁球的重力在沙堆上产生有效应力，
烧杯中的细砂高，加上水高度不变，说明孔隙水压力
4、有效应力和和孔隙水压力的关系

在土中某点任取一单位横截面，截面上作用的法向应力称为总应力，如图所示。总应力是土的重力、外荷载p所产生的压力以及静水压力组成，是土体单位面积上的平均应力。如图a～a截面是沿土颗粒间接触面截取的微波状平面；截面上土颗粒间接触面积为（一般不超过0.03），截面总应力的一部分由土颗粒间的接触面承担和传递，称为有效应力，设单位面积上由颗粒间传递的有效应力为，则总有效应力；另一部分由孔隙中的水和气体承担，称为孔隙压力（包括孔隙水压力与孔隙气压力）。其中气体面积为，孔隙水面积为，则：
①饱和土体的太沙基有效应力原理
其中：＝0，→0，
则：，一般也写成：―――太沙基有效应力原理
②非饱和土体的毕肖普有效应力原理
当孔隙中存在封闭的气泡和与大气连通的气体，水在孔隙中是不连续的，这时候土的孔隙压力是孔隙水压力与孔隙气压力之和。则：
――毕肖普有效应力原理
③对于干土
∵，
0 饱和度Sr 100%
1
aw

④说明：
A、与土体饱和度有关，是成正比，也与土的类型、施加荷载的应力路线有关。
B、对粉土≥40～50％，粘性土≥85%时成立。并且在实际工程中常以饱和土为主要研究对象。
C、由于任意点的孔隙水压力在各个方向上的作用是相等的，它只能使固体土粒受到各个方向的压缩。在土力学问题中这个压缩量常可略去，因为土粒的变形模量是很大的。
D、一般认为当土中孔隙体积的80%以上为水充满时，土中虽有少量气体存在，但大都是封闭气体，就可视为饱和土。饱和土在压力作用下，孔隙中的一些自由水将随时间而逐渐被排出，同时孔隙体积也随着缩小，这个过程称为饱和土的渗透固结或主固结。
5、有效应力原理要点
（1）
（2）土中有效应力控制土的体积和强度的变化。而孔隙水压力起浮力作用，忽略其对土粒产生的变形效果，故又称中性压力。

二、自重应力情况下的饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
有效应力是作用在土骨架的颗粒之间，很难直接求得；通常都是在求得总应力和孔隙水压力之后，利用计算得出。
总应力可用前面介绍的土中应力计算方法算出；孔隙水压力可以实测，也可以通过计算得出。
如图，作用在A点水平面上的总应力，应等于该点以上的单位土柱和水柱的总重量：
孔隙水压力应等于该点的静水压强，即：
根据有效应力原理，A点处竖直有效应力应为：

可见就是A点的自重应力（有效自重应力）。
当地下水位以上某个高度范围内出现毛细饱和区时，，毛细区内的水呈张拉状态，故孔隙水压力是负值。
毛细水压力分布与静水压力分布一致，任一点；z为该点至地下水位的垂直距离。孔隙水压力分布如图。
由于是负值，根据有效应力原理，毛细饱和区的有效应力将会比总应力增大，即。
有效应力与总应力分布如图（3－46c），实线为分布，虚线为分布。

例题
某土层剖面，地下水位及其相应的容重如下图所示。试求：1）垂直方向总应力σ、孔隙水压力u和有效应力σ′沿深度z的分布；2）若砂层中地下水位以上1m范围内为毛细饱和区时，σ、u、σ′将如何分布？

解：1）地下水位以上无毛细饱和区时的σ、u、σ′分布值见下表。σ、u、σ′沿深度的分布如下图中实线所示。
例题3-5计算表格1
深度z(m)
σ(kN/m2)
u(kN/m2)
σ′(kN/m2)
2
2×17=34
0
34
3
3×17=51
0
51
5
(3×17)+(2×20)=91
2×9.8=19.6
71.4
9
(3×17)+(2×20)+(4×19)=167
6×9.8=58.8
108.2
2）地下水位以上无毛细饱和区时的σ、u、σ′分布值见下表。σ、u、σ′沿深度的分布如下图中虚线所示。
例题3-5计算表格2
深度z(m)
σ(kN/m2)
u(kN/m2)
σ′(kN/m2)
2
2×17=34
-9.8
43.8
3
2×17=34+1×20=54
0
54
5
54+2×20=94
19.6
74.4
9
94+4×19=170
58.8
112.2

三、渗流情况下的饱和土中孔隙水压力和有效应力的计算
1、稳定性向上渗流条件下
取土～水整体为隔离体。
A点的总应力就是A点处单位面积上土柱的土～水总重量，故……
A点的孔隙水压力为：
故A点的有效应力为：

可见与静水条件下的、相比，在发生向上渗流时，孔隙水压力增加了，有效应力则相应减少了。——渗透压力。
当向上渗流时，若有效应力，则土处于悬浮状（流土条件）。得：
,或（临界水力坡降公式）
2、稳定性向下渗流时
（仍取土～水整体为隔离体）如图
A点的总应力不变，仍为：…（3－43a）
A点的孔隙压力： …（3－43b）
则A点的有效应力…（3－43c）
与静水条件下的相比，向下渗流将使有效应力增加，产生渗流压密。这是抽取地下水引起的地面沉降的一个主要原因。

四、附加应力的分担情况
实际工程中的变形和稳定情况，往往是土体在外荷载作用后产生的，从而产生孔隙水压力值。
1、附加应力与超静孔隙水压力
2、渗流固结模型：
渗流固结模型用以模拟饱和土体受到连续均布荷载后，在土中所产生的初始孔隙水压力（t=0时）以及与随时间t的变化规律。
渗压模型如图3-24所示。

（1）当活塞板上未加荷载时，测压管中水位与筒中静水位相同，土中各点的孔隙水压力值完全由静水压力确定。而且由于任何深度处总水头相等，土中没有渗流发生。
（2）当活塞板上加上外荷载的瞬时即t=0时，容器内的水处于不排水状态，体积变化ΔV=0；外荷载完全由水所承担，测压管中水位将升高h，产生初始超静水压力，且，此时=0。
（3）当t> 0后，由于活塞上下产生了水头差h，导致渗流发生。在渗流过程中，代表土骨架的弹簧逐渐受力，且随时间延续，有效压力逐渐增加；相反，孔隙水压力则逐渐减小，即测压管水位逐渐降低，直至超静水压力全部消散至μ=0，而有效应力；渗流固结过程结束，即土体已经固结。。
3、几点认识：
（1）渗流固结过程中，，，其物理实质就是两种应力的互相转化；即饱和土固结过程是一个孔隙水压力从产生到完全消失，有效应力逐渐大，达到最大的过程。
（2）所谓超静水压力是由外荷载引起的，超出静水位以上的那部分孔隙水压力。而饱水土层中任意时刻的总孔隙水压力应是静孔隙水压力与超静孔隙水压力之和。
（3）侧限条件下t=0时，（施加的外荷载强度——总应力），侧限条件下饱和土体的孔压系数为。
（4）土体固结稳定的时间长短，取决于孔隙水向外渗流的速度和土层的排水条件。
五、孔压系数的测定――毕肖普解答
实际工程中的变形和稳定情况，是土体在外荷载作用后有效应力产生的，但没有有效地方法来求解有效应力的性状，转而求解孔隙水压力，那么，孔隙水压力值如何求解。
1954年斯开普顿（Skempton）给出了孔隙压力系数A和B用来表述试样在三轴不排气、不排水条件下的孔隙压力随总应力变化的解答――斯开普顿解答。
1、基本假设：
假定在不排水的条件下饱和土体是均值质、连续、各向同性的半无限空间上的线弹性变形体。孔隙流体的体积变化与应力之间呈线性关系。
2、应用理论：
利用有效应力原理、弹性力学理论和三轴试验结果，建立轴对称应力状态下土中孔隙水压力与大、小主应力之间的关系――孔隙水压力参数。
孔压系数：是指土体在不排水和不排气的条件下由外荷载引起的孔隙压力增量与应力增量（以总应力表示）的比值。
孔压系数B：，孔压系数A：
3、孔隙水压力参数求解
设外荷作用下引起的应力增量分解到三个方向上，即： 、＝，土单元体在各向相等的有效应力作用下固结时，孔隙水压力由的原位应力状态转化为。土体受轴向压力增量 －作用时，孔隙水压力增量为。
+
=

等向压缩应力状态 偏差应力状态
①在均等围压作用下
应力状态：
广义虎克定律：当时

，
为土体的体积压缩系数（）
同时在超静孔隙水压力作用下引起的孔隙体积的应变为：
，为孔隙的体积压缩系数（）
，
――――均等围压下孔隙水压力系数
说明：对饱和土体，水几乎是不可压缩的，所以在不排水的条件下，，那么B＝1。对于干土，可以理解为水几乎是全部压缩的，所以在不排水的条件下，B＝0
②在轴向应力 －作用下
在轴向应力－作用下，引起轴向及侧向有效应力增量为、＝
，，

，
同理在作用下，

A：为偏应力作用下的孔隙水压力系数
那么，总的孔隙水压力
③土工试验的修正
说明：对于非理想介质的土体而言，A和B并非常数，也与应力增量呈非线性关系。对每一种特性的土体，测定其A、B时设计的应力路线试验应符合土体实际的受力历史。

例题：某粘土试样进行三轴试验，在不排水的条件下施加围压29.43kpa，测得超静孔隙水压力29.43kpa，然后施加轴向压力至58.86kpa时，又测得超静孔隙水压力为44.15kpa，求A、B并判断粘土的饱和程度。
解： ＝29.43kpa，＝29.43kpa
＝58.86kpa ， ＝44.15kpa
= － ＝14.72kpa
＝1(饱和土)，＝0.5
总结：
(1) 等向压缩应力状态 —— 孔压系数B
孔压系数 B 表示单位等向压力增量所引起的孔压增量。对于完全饱和土，孔隙全部被水充满，则 B≌1。对于干土，孔隙中全部为空气，空气的压缩性很大，因而 B＝0。对于非饱和土，B值介于0～1之间。所以B值可用作反映土体饱和程度的指标．对于具有不同饱和度的土，可通过室内三轴试验进行B值的测定。
(2)偏差应力状态 —— 孔压系数A
弹性体的一个重要特点是剪应力只引起受力体形状变化而不引起体积变化。土则不一样，在受剪后，体积要发生膨胀或收缩，称为剪胀性。 A＝1/3只适用于弹性体而不符合实际土体的情况。 经过研究，英国学者斯开普顿(A.W.SkemPton)首先引入了一个经验系数A来替代1/3。
孔压系数A是饱和土体在单位偏差应力增量(Ds1 -Ds3 )作用下产生的孔隙水压力增量，可用来反映土体剪切过程中的胀缩特性。孔压系数A值的大小，对于弹件体是常量A＝1/3，对于土体则不是常量。它取决于偏差应力增量(－)所引起的体积变化，主要与土的类型、状态、应力历史以及加载过程等因素有关，如果A＜1/3，属于剪胀土，如密实砂和超固结粘性土等。如果A＞1/3 则属于剪缩土，如较松的砂和正常固结粘性土等。
饱和粘土的A值
土类
A
土类
A
高灵敏粘土
0.75~1.5
弱超固结粘土
0~0.5
正常固结粘土
0.5~1.0
压实粘质砾石
-0.25~0.25
压实砂质粘土
0.25~0.75
强超固结粘土
-0.5~0

（3）亨开尔孔隙压力增量的表达式
斯开普顿孔隙压力增量的表达式没有考虑土中主应力变化的影响。然而，在许多实际问题中．土体所处的是平面应变条件，而不是常规三轴试验中的轴对称受力条件。 因此，亨开尔建议孔隙压力的变化宜用平均主应力增量和剪应力不变量表达，即

式中， b 反映平均主应力改变引起的孔隙压力变化； a反映剪应力改变引起的孔隙压力变化。对于饱和土， b 等于l。
作用下产生的孔隙水压力增量，用来反映土体剪切过程中的胀缩特性。A值也是在室内三轴压缩试验。
当A=1/3 时，土体为弹性体
当A<1/3时，土体属于剪胀土，
当A>1/3时，土体属于剪缩土。
孔压系数B，A是土的很重要的力学指标。
（3）轴对称三维应力增量所引起的孔隙水压力增量
即：
第三节 地基中的自重应力
在计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑。由半无限弹性体的边界条件可知，其内部任一与地面平行的平面或垂直的平面上，仅作用着竖向应力和水平向应力，而剪应力。
一、竖直自重应力
1、单一土层
设地基中某单元体离地面的距离z，土的容重为，则单元体上竖直向自重应力等于单位面积上的土柱有效重量，即

可见，土的竖向自重应力随着深度直线增大，呈三角形分布。
注：
若计算点在地下水为以下，由于水对土体有浮力作用，则水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重或饱和容重计算；
a：当位于地下水位以下的土为砂土时，土中水为自由水，计算时用。
b：当位于地下水位以下的土为坚硬粘土时，在饱和坚硬粘土中只含有结合水，计算自重应力时应采用饱和容重。
c：水下粘土，当Ic≥1时，用。
d：如果是介乎砂土和坚硬粘土之间的土，则要按具体情况分析选用适当的容重。
2、自重应力是由多层土组成，
设各土层的厚度为H1、H2、……Hn，相应的容重分别为，则地基中的第n层底面处的竖向自重应力为：

＝
二、水平向自重应力
在半无限体内，由侧限条件可知，土不可能发生侧向变形（），因此，该单元体上两个水平向应力相等并按下式计算：

式中K0——土的侧压力系，它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直有效应力之比，可由试验测定，，是土的泊松比。
第四节 基底压力计算
一、影响因素
建筑物的荷载是通过它的基础传给地基的。因此，基底压力的大小和分布状况，將对地基内部的附加应力有着十分重要的影响；而基底压力的大小和分布状况，又与荷载的大小和分布，基础的刚度，基础的埋置深度以及土的性质等多种因素有关。
⑴ 对于刚性很小的基础和柔性基础，其基底压力大小和分布状况与作用在基础上的荷载大小和分布状况相同。（因为刚度很小，在垂直荷载作用下几乎无抗弯能力，而随地基一起变形）。
⑵ 对于刚性基础：其基底压力分布將随上部荷载的大小，基础的埋置深度和土的性质而异。
如：砂土地基表面上的条形刚性基础，由于受到中心荷载作用时，基底压力分布呈抛物线，随着荷载增加，基底压力分布的抛物线的曲率增大。这主要是散状砂土颗粒的侧向移动导致边缘的压力向中部转移而形成的。
又如粘性土表面上的条形基础，其基底压力分布呈中间小边缘大的马鞍形，随荷载增加，基底压力分布变化呈中间大边缘小的形状。
根据经验，当基础的宽度不太大，而荷载较小的情况下，基底压力分布近似地按直线变化的假定（弹性理论中圣维达原理），所引起地误差是允许地，也是工程中经常采用地简化计算方法。

二、竖直中心荷载作用下的基底压力
如图所示（教材P94图3-38），若矩形基础地长度为L，宽度为B，其上作用着竖直中心荷载P，当假定基底压力为均匀分布时，其值为：

若基础为长条形（L/B≥10），则在长度方向截取1m进行计算，此时基底压力为：

三、竖直偏心荷载作用下的基底压力
如图所示（教材P95图3-40）:
当矩形基础上作用着竖直偏心荷载P时，则任意点的基底压力，可按材料力学偏心受压的公式进行计算：

式中：p(x.y)—任意点（坐标为x.y）的基底压力
Mx=p.ey—偏心荷载对x～x轴的力矩（ey为偏心荷载对x～x轴的力臂）
My=p.ey—偏心荷载对y～y轴的力矩（ey为偏心荷载对y～y轴的力臂）
—基础底面积对x～x轴底惯距
—基础底面积对y～y轴底惯距
若荷载作用在主轴上，例如x～x轴上，如图（b），此时ey=0，则Mx=0，令ex=e,并将，代入，得：，即可得到矩形基础，在竖直偏心荷载作用下，基底两侧得最大和最小压力得计算公式为：

对于条形基础，如图（c），基底两侧最大和最小压力为：

讨论：⑴当e=0时，基底压力为矩形；
⑵当合力偏力矩0<e<时，基底压力呈梯形分布；
⑶当合力偏力矩，Pmin=0 基底压力呈三角形分布；
⑷当时，则Pmin<0，意味着基底一侧出现拉应力。但基础与地基之间不能受拉，故该侧將出现基础与地基得脱离，接触面积有所减少，而出现应力重分布现象。此时不能再按叠加原理，求最大应力值。
其最大应力值为：
（例如：高耸结构物下得基底压力）
一般而言，工程上不允许基底出现拉力，因此，在设计基础尺寸时，应使合力偏心矩满足①的条件，以策安全。或②：为了减少因地基应力不均匀而引起过大的不均匀沉降，通常要求：；对压缩性大的粘性土应采取小值；对压缩性小的无粘性土，可用大值。

四、倾斜偏心荷载作用下的基底压力
如图所示（教材P95图3-41）当基础受到倾斜荷载作用时，可先將偏心荷载R分解为竖向分量Pv和水平分量Ph，其中Pv＝Rcosβ,Ph=sinβ，由公式（3—33）和公式（3—35）计算。由竖直偏心荷载Pv所引起的基底压力。

水平基底压力（假定为均匀分布）：

第五节 地基中的附加应力
在求解地基中的附加应力时，一般假定地基土是连续、均匀、各向同性的弹性体，然后根据弹性理论的基本公式进行计算。另外，按照问题的性质，将应力划分为空间（三维）问题和平面问题两大类型。矩形、圆形等基础（L/B<10）下的附加应力计算即属空间问题（其应力是x,y,z的函数）；条形基础（L/B≥10）下的附加应力计算即属于平面问题（其应力是x,,z的函数），坝、挡土墙等大多属于条形基础。
一、竖直集中力作用下的附加应力――布幸内斯克（Boussinesq）解答
如图所示，当半极限弹性体表面上作用着竖直集中力p时，弹性体内部任意点M的六个应力分量，由弹性理论求出的表达式为：

式中：——x,y,z方向的法向应力
——剪应力
——土的泊松比
R——M点至坐标原点o的距离
——直角三角形OM’M中与的夹角
在集中荷载p的作用下，弹性体内部任意点径向位移和竖向位移分别按下列公式计算

在地基表面上任一点(z=0)的竖向位移为：
上式为著名的布幸内斯克（Boussinesq）解答，它是求解地基中附加应力的基本公式。对于土力学来说，具有特别重要的意义，它是使地基土产生压缩变形的原因。
由几何关系：；

式中：为竖直集中力作用下的竖向附加应力分布系数，它是的函数；可由表3－1中查得。
从可知：
（1）在集中力作用线上（即），附加应力随着深度z的增加而递减；（2）当离集中力作用线某一距离r时，在地表处的附加应力＝0，随着深度的增加，逐渐递增，但到一定深度后，又随着深度z的增加而减小。（3）当z一定时，即在同一水平面上，附加应力随着r的增大而减小。
注：如果的地面上有几个集中力作用时，则地基中任意点M处的附加应力可以利用式分别求出各集中力对该点所引起的附加应力，然后进行叠加，即：

式中：分别为集中力作用下的竖向附加应力分布系数。
表3-1 集中荷载下竖向附加应力系数

0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.31
0.32
0.33
0.34
0.35
0.36
0.37
0.38
0.39
0.4775
0.4773
0.4770
0.4764
0.4756
0.4745
0.4732
0.4717
0.4699
0.4679
0.4657
0.4633
0.4607
0.4579
0.4548
0.4516
0.4482
0.4446
0.4409
0.4370
0.4329
0.4286
0.4242
0.4197
0.4151
0.4103
0.4054
0.4004
0.3954
0.3902
0.3849
0.3796
0.3742
0.3687
0.3632
0.3577
0.3521
0.3465
0.3408
0.3351
0.40
0.41
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
0.51
0.52
0.53
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
0.66
0.67
0.68
0.69
0.70
0.71
0.72
0.73
0.74
0.75
0.76
0.77
0.78
0.79
0.3294
0.3238
0.3183
0.3124
0.3068
0.3011
0.2955
0.2899
0.2843
0.2788
0.2733
0.2679
0.2625
0.2571
0.2518
0.2466
0.2414
0.2363
0.2313
0.2263
0.2214
0.2165
0.2117
0.2070
0.2024
0.1998
0.1934
0.1889
0.1846
0.1804
0.1762
0.1721
0.1681
0.1641
0.1603
0.1565
0.1527
0.1491
0.1455
0.1420
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
0.90
0.91
0.92
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.99
1.00
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
0.1386
0.1353
0.1320
0.1288
0.1257
0.1226
0.1196
0.1166
0.1138
0.1110
0.1083
0.1057
0.1031
0.1005
0.0981
0.0956
0.0933
0.0910
0.0887
0.0865
0.0844
0.0823
0.0803
0.0783
0.0764
0.0744
0.0727
0.0709
0.0691
0.0674
0.0658
0.0641
0.0626
0.0610
0.0595
0.0581
0.0567
0.0553
0.0359
0.0526
1.20
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.27
1.28
1.29
1.30
1.31
1.32
1.33
1.34
1.35
1.36
1.37
1.38
1.39
1.40
1.41
1.42
1.43
1.44
1.45
1.46
1.47
1.48
1.49
1.50
1.51
1.52
1.53
1.54
1.55
1.56
1.57
1.58
1.59
0.0513
0.0501
0.0489
0.0477
0.0466
0.0454
0.0443
0.0433
0.0422
0.0412
0.0402
0.0393
0.0384
0.0374
0.0365
0.0357
0.0348
0.0340
0.0332
0.0324
0.0317
0.0309
0.0302
0.0295
0.0288
0.0282
0.0275
0.0269
0.0263
0.0257
0.0251
0.0245
0.0240
0.0234
0.0229
0.0224
0.0219
0.0214
0.0209
0.0204
1.60
1.61
1.62
1.63
1.64
1.65
1.66
1.67
1.68
1.69
1.70
1.72
1.74
1.76
1.78
1.80
1.82
1.84
1.86
1.88
1.90
1.92
1.94
1.96
1.98
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
2.50
2.60
2.70
2.80
2.90
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
0.0200
0.0195
0.0191
0.0187
0.0183
0.0179
0.0175
0.0171
0.0167
0.0163
0.0160
0.0153
0.0147
0.0141
0.0135
0.0129
0.0124
0.0119
0.0114
0.0109
0.0105
0.0101
0.0097
0.0093
0.0089
0.0085
0.0070
0.0058
0.0048
0.0040
0.0034
0.0029
0.0024
0.0021
0.0017
0.0015
0.0007
0.0004
0.0002
0.0001
例题
在地面作用一集中荷载p =200kN，试确定：
(1)在地基中z=2m的水平面上，水平距离r=1、2、3和4m各点的竖向附加应力值，并绘出分布图；
(2)在地基中r=0的竖直线上距地面z=0、1、2、3和4m处各点的值，并绘出分布图；
(3)取=20、10、4和2kN/ｍ2，反算在地基中z=2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值，并绘出相应于该四个应力值的等值线图。
解：(1)在地基中z=2m的水平面上指定点的附加应力的计算数据，见例表3-1；的分布图见图3-10。
（2）在地基中r=0的竖直线上，指定点的附加应力的计算数据见例表3-2；分布图见图3-11。
例表3-1 例题3-2附表
z(m)
r(m)

(查表3-1)
(kN/m2)
2
2
2
2
2
0
1
2
3
4
0
0.5
1.0
1.5
2.0
0.4775
0.2733
0.0844
0.0251
0.0085
23.8
13.7
4.2
1.2
0.4

图3-10 例题3-2附图

图3-11 例题附图 图3-12 例题附图
例表3-2 例题附表
z(m)
r(m)

(查表3-1)
(kN/m2)
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.4775
0.4775
0.4775
0.4775
0.4775
∞
95.5
23.8
10.5
6.0

（3）当指定附加应力时，反算z=2m的水平面上的r值和在r=0的竖直线上的z值的计算数据，见例表3-3；附加应力的等值线绘于图3-12。
例表3-3 例题附表
(kN/m2)
z(m)

(查表)
r(m)
20
10
4
2
2
2
2
2
0.4000
0.2000
0.0800
0.0400
0.27
0.65
1.02
1.30
0.54
1.30
2.04
2.60
(kN/m2)
r(m)

(查表)

20
10
4
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0.4775
0.4775
0.4775
0.4775
2.19
3.09
4.88
6.91

总结：
由于竖直向集中力作用下地基中的附加应力是轴对称的空间问题，再通过上面的例题分析，可知地基土中附加应力分布的特征如下：
(1)在集中力p作用线上，r=0，，。
在地面下同一深度处,该水平面上的附加应力不同，沿竖直向集中力作用线上的附加应力最大，向两边则逐渐减小；
(2)离地表愈深，应力分布范围愈大，在同一铅直线上的附加应力随深度的增加而减小。如果在空间将相同的点连接起来形成曲面，就可以得到如图3-12所示的等值线，其空间曲面的形状如泡状，所以也称为应力泡。
通过上述对附加应力分布图形的讨论，应该建立起土中应力分布的正确概念：即
集中力P在地基中引起的附加应力的分布是向下、向四周无限扩散的，其特性与杆件中应力的传递完全不一样。
当地基表面作用有几个集中力时，可以分别算出各集中力在地基中引起的附加应力，然后根据弹性体应力叠加原理求出地基的附加应力的总和。
在实际工程应用中，当基础底面形状不规则或荷