幂等矩阵的性质(1).doc

目录中文摘要 1英文摘要 11 引言 12 幂等矩阵的概念 33 幂等矩阵的性质 4 3. 1 幂等矩阵的主要性质43. 2 幂等矩阵的等价性命题7 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质114 幂等矩阵与其他矩阵的关系 144. 1 幂等矩阵与对合矩阵14 4. 1. 1 对合矩阵14 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系154. 2 幂等矩阵与投影矩阵16 4. 2. 1 投影矩阵16 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系17结束语 19参考文献 20致谢 21英文原文 22英文译文 29幂等矩阵的性质数学与应用数学专业2009级 王素云摘要: 本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied MathematicsAbstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed.Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix1 引言 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域。幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位，研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础。广义逆的思想可追溯到1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作，他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。1904年，D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。当时人们对此似乎很少注意。这一概念在以后30年中没有多大发展。曾远荣在1933年，F.J.默里和J.冯诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。1955年，彭罗斯证明了存在唯一的满足前述性质，并以此作为的定义。1956年，R.拉多证明了彭罗斯定义的广义逆与穆尔定义的广义逆是等价的，因此通称为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵，如文1中研究了幂等矩阵的可对角化性质，证明了幂等矩阵是可对角化的；文2研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。本文在接下来的章节中，我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题，并证明之。然后给出幂等矩阵的一系列性质，在前人的基础上进行总结以及推广，并进行证明。再给出幂等矩阵的等价命题，并给出证明。然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质，再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。2 幂等矩阵的概念定义2.1 若有性质, 则称为幂等矩阵. 为了更好地了解幂等矩阵, 现在来看以下几个命题:命题2.1 若阶方阵是幂等矩阵, 则与相似的任意阶方阵是幂等矩阵.证明 设(即矩阵与矩阵相似),则, 且 , 又 , . 是幂等矩阵. 命题2.1也可以表述为: 若是幂等矩阵, 则对于任意可逆阵, 也为幂等矩阵.命题2.2 若阶方阵是幂等矩阵, 则的转置, 的伴随矩阵及都是幂等矩阵.证明 , 即为幂等矩阵; 对, 先证明对任意两个幂等矩阵, 有关系式. 由公式有: 矩阵的第行第列的代数余子式 所以, ; 对, 有 .命题2.3 若是幂等矩阵, 的次幂仍是幂等矩阵.证明 可用数学归纳法证明. 当时, 显然成立. 假设当时, 命题成立, 现考虑情形: . 即当时命题仍成立, 由数学归纳法知, 对任意命题都成立.3 幂等矩阵的性质3.1 幂等矩阵的主要性质性质3.1.1 矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵. 由和的定义可知命题成立.性质3.1.2 幂等矩阵满足: .证明 . .性质3.1.3 若矩阵均为幂等矩阵, 且, 则与也是幂等矩阵.证明 . 同理, 也是幂等矩阵.性质3.1.4 若幂等矩阵可逆, 则.证明 .性质3.1.5 幂等矩阵的特征值只能为0或1.证明 设是幂等矩阵, 即, 再设的特征值为, 则(由特征值的性质), 故. 由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.性质3.1.6 幂等矩阵可对角化.证明 设是幂等矩阵, 为的最小多项式, 由性质3.1.5知: 或或, 最小多项式是互素的一次因式的乘积, 从而可对角化.另证明 当(即)时, 显然成立. 当时, 的特征值全为0, 1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数. 属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.由幂等矩阵的性质有. 故可对角化, 设, 则由幂等矩阵的性质得, 因此的相似标准型为.性质3.1.7 若是幂等矩阵, 则, 是可逆矩阵.证明 , . 又, . 故可逆, 且.性质3.1.8 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩, 即.证明 设分别为A 的特征值及其相应的特征向量, 于是有: , 从而有. 由此可推得结果.性质3.1.9 若满足, 则是幂等矩阵.证明 设的基础解系为(其实它们都是特征值0的特征向量), 再设的基础解系为(它们都是特征值为1的特征向量), 且, 设矩阵(可逆)满足, 而是幂等矩阵, 故也是幂等矩阵.例3.1.1 设都是幂等矩阵, 且, 证明: 是幂等矩阵.证明 由题意可知, 且, 于是: .例3.1.2 设为阶幂等矩阵, 且, .证明 (1) 若则或. (2) 若则或.证明 (1) , 由题设知, 则有 . 对上式两边同乘于得:. 移项得 . 从而有, 即或. 同理可证( 2).例3.1.3 设是阶实对称阵, 且, 证明: 正交矩阵, .证明 设是属于的特征向量, 那么,又, 从而,但, .(由幂等矩阵的性质也可以得知), 故的特征值不是0就是1. 故(可由特征向量构造, 将转化为标准型即为所求).3.2 幂等矩阵的等价命题 幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的, 故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题.定理3.2.1 以下命题等价:(i) ; (ii) , ;(iii) ; (iv) ;(v) , ; (vi) , ;(vii) , ;(viii) ;(ix) 非奇异矩阵, , 其中.证明 (i)、(ii)、(iii)的等价性是易证的.(i)(iv) , 由性质5知, 的特征值只能为0或1, 即为对应特征值1的特征子空间. .(i)(v) “” . 故的列向量都满足. 从而,又, 有: . 由的任意性可知. 综上, . “” 对有,即. 于是有. 由的任意性得. 同理可证.(i)(vi) 若, 即对某两个成立, 则, 故. 同理可证后面一个式子. 从而(iv)成立. 反之, 若(vi)成立, 则对任一, 有 是的唯一分解. 但又有唯一分解, 又. 于是对任何成立着, 从而.(vi)(vii) 注意到对任何成立, 故总有, 故(vi)与(vii)等价.(vii)(viii)总是成立的. 由维数公式知 . 由性质3.1.8可知, 若, 则. 另外, 利用矩阵的满秩分解, 我们可以具体的找出(ix)中的变换阵. 设,均为满秩分解, 则有, 且均为方阵. 从而. 由此可知, , , . 于是可证明. 从此式还可以看出, 与的列向量分别是的属于特征值1与0的特征向量. 最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性: 若是满秩分解, 则当且仅当. 另一方面, 常用此特殊性来构造幂等矩阵. 下面给出几个构造幂等矩阵的定理:定理3.2.2 设非零列向量, 则阶矩阵为幂等矩阵.证明 “” , , 即, 从而, 因为, , 因此, . “” , .推论3.2.1 令, 其中: 为非零列向量. 若, 则阶方阵不可逆.证明 设可逆, 则由幂等矩阵的性质可知, 当时, 由定理3.2.2可知为幂等矩阵, 即,但, 所以, 得, 与矛盾, 所以不可逆.定理3.2.3 若和是同阶幂等矩阵, 则为幂等矩阵.证明 , .定理3.2.4 若和是同阶幂等矩阵, 且,则为幂等矩阵.证明 由题意可得 , 即为幂等矩阵.定理3.2.5 若为幂等矩阵, 且, 则不可逆.证明 设,则有. 若可逆, 则, 在的两边同时乘以, 得,即. 矛盾, 故不可逆.定理3.2.6 若是幂等矩阵, 且, 则矩阵方程有非零解.证明 由定理3.2.5可知, 不可逆, 即. 故矩阵方程有非零解.定理3.2.7 若和是同阶幂等矩阵, 则是幂等矩阵.证明 “” 是幂等矩阵, , 将两边分别左乘和右乘得: , 即. (3.2.1) , 即. (3.2.2) 两式相减可得, 从而. “” .3.3幂等矩阵线性组合的可逆性 在本节中, 我们讨论两幂等矩阵线性组合的可逆性.引理3.3.1 设矩阵是阶方阵, 则可逆.定理3.3.1 设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若存在两个非零复数, 且使得可逆, 则对所有的复数, 满足, 则线性组合都是可逆的.证明 设. 对 , 有. 于是 . (3.3.1) 将上式两边依次左乘, 可得: . (3.3.2) 由(3.3.1)、(3.3.2)可得 . (3.3.3) 又, . 将代入上式可得 . 由于可逆,将上式两边同时左乘得 . (3.3.4) 再左乘得: . 即. 代入可得 . 注意到(3.3.3)式有, 因此由(3.3.4)式可得.因此. 由引理1知是可逆的.在定理3.3.1中令, 立即可以得到:推论3.3.1设矩阵均是幂等矩阵, 即. 若可逆,则, 满足, 线性组合都是可逆的.定理3.3.2设矩阵均是幂等矩阵, , 下列命题等价: 可逆. 及是可逆的.证明 (1)(2) 对 由定理1的证明过程知. 从而 又 可逆, 所以. 即. 由引理3.3.1知 可逆. 同样地, 对 . 两边同时左乘, 得. 所以 . 又 可逆, 所以. 所以. 由引理3.3.1知可逆.(2)(1) 对, 有 从而有 . 所以 . . 又及是可逆的. 知. 由引理3.3.1知可逆. 定理证毕. 在定理3.3.2中令, 立即可以得到:推论3.3.2设矩阵均是幂等矩阵, 下列两个命题等价: 可逆. 及可逆. 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系4.1幂等矩阵与对合矩阵4.1.1对合矩阵定义4.1.1.1 若矩阵满足, 则称为对合矩阵.对合矩阵和幂等矩阵是密切相关的, 它们的性质也非常相似, 这里就不在一一举出了, 先举出几个主要性质并进行证明:性质4.1.1.1 若是对合矩阵, 则, 反之, 也成立.证明 由是对合矩阵可知, 故 . 由秩的性质可知. 又, . 综上 . 反过来, 即可证明当时, 是对合矩阵.性质4.1.1.2 对合矩阵的特征值为1或-1.证明 类似于幂等矩阵, 设为对合矩阵的特征值, 由于满足, 故满足.性质4.1.1.3 是对合矩阵, 则一定与对角矩阵相似.证明 当时, 本身已经是对角矩阵. 当时,的特征值为1或-1. 的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数; 的属于-1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数, 由性质4.1.1.1得 . 因此可以对角化. 设, 由性质4.1.1得. 因此的相似标准型为.4.1.2 幂等矩阵与对合矩阵的关系命题4.1.2.1 设是n阶矩阵, 则以下两个命题等价:（1） 若, 则是幂等矩阵;（2） 若, 则是对合矩阵.证明 (1)(2) , 可变形为. 由(1)有是幂等矩阵, 而, 即是对合矩阵. 同理可证 (2)(1). 原命题得证.命题4.1.2.2 矩阵和都是对合矩阵, 则幂等矩阵.证明 . . 即都是幂等矩阵, 原命题得证.命题4.1.2.3 矩阵是幂等矩阵, 则都是对合矩阵.证明 . 即都是对合矩阵, 原命题得证.命题4.1.2.4 矩阵是对合矩阵, 则是幂等矩阵.证明 是对合矩阵, . , 即是幂等矩阵.4.2 幂等矩阵与投影矩阵4.2.1 投影矩阵 投影矩阵是研究广义逆矩阵和最小二乘问题的重要方法与手段.定义4.2.1.1 设矩阵, 任意矩阵, 若满足:(1) ; (2) ;(3) ; (4) 中的一个或者几个条件, 都称为的广义逆矩阵. 上面四个方程称为Moore-Penrose方程. 向量空间可以分解成子空间与的直和, 即, 则中任意的向量可以唯一的分解成, 其中, 则称为向量沿着到的投影, 而称中满足的变换为沿着到的投影算子或投影变换. 投影算子在的基下的矩阵称为投影矩阵, 记为. 投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的.投影矩阵的种类有很多, 在文7中有细致的讨论, 如斜投影矩阵, 正交投影矩阵, 加权正交投影矩阵等, 我们在这里只讨论特殊的正交投影矩阵与幂等矩阵的关系.4.2.2幂等矩阵与正交投影矩阵的关系引理4.2.2.1 对任意矩阵有:（1） 与广义逆矩阵的选择无关;（2） , .证明 (1) 因为, 故存在矩阵, ,于是右端与选择无关. (2) 记, 可直接证明, 于是. 类似的, 可以证明第二式.定理4.2.2.1设为任一矩阵, 记为向的正交投影阵, 则.证明 由以上引理4.2.2.1可知, 所含的广义逆的选择无关. 设为一满足的矩阵, 则对任意向量, 有分解式这里为两个适当维数的向量. 依的定义我们有 , 对一切成立. 这说明满足矩阵方程 由(4.2.2.2)知. 于是. (4.2.2.3) 代入(4.2.2.1)得, 即. (4.2.2.4) 显然, 此矩阵方程是相容的. 再由相容性定理可知(4.2.2.4)的解为, 代入(4.2.2.3)即可得, 定理得证.定理4.2.2.2 设为两个正交投影阵, 则（1） 为正交投影阵;（2） 当时, 为向上的正交投影.证明 (1) 充分性显然. 现证必要性: 设是一个正交投影阵, 于是, . (4.2.2.5) 用分别左乘和右乘(4.2.2.5), 有: . (4.2.2.6) . (4.2.2.7) (4.2.2.6)+(4.2.2.7)得: . 再由(4.2.2.6)和(4.2.2.7)可得 . (2) 我们只需证 对, 于是 从可以推出, 证毕.定理4.2.2.3 设为两个正交投影阵, 则（1） 为正交投影阵;（2） 当时, 为向上的正交投影.定理4.2.2.4 设为两个正交投影阵, 则（1） 为正交投影阵;（2） 当为正交投影阵时, 为向上的正交投影.投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的, 这两个定理的证明类似于幂等矩阵的有关性质的证明, 此处略去.结束语本文采用了直接证明的方式证明了幂等矩阵的伴随矩阵是幂等的. 采用数学归纳法证明了若是幂等矩阵, 则的次幂仍是幂等矩阵. 但在本文中只讨论了实数域内的幂等矩阵的等价命题, 还可以推广到复数域; 且仅讨论了2次幂等矩阵, 推广到次会有更多更好的结果.参考文献1 陈文华. 幂等矩阵与对合矩阵的对角化J. 临沧师范高等专科学校学报, 2009.6, 18(2): 82-83. 2 Jin Bai Kim, Hee Sik Kim, Seung Dong Kim. An adjoint matrix of real idempotent matrix J. of Math. Research & Exposition, 1997, 17(3): 335-339.3 张凯院, 徐仲, 陆全. 矩阵论典型题解及自测题M. 西北工业大学出版社, 2003.10: 228-234.4 樊正恩. 幂等矩阵的几个注记J. 高师理科学刊, 2001.1, 31(1): 36-39.5 王松桂, 吴密霞, 贾忠贞. 矩阵不等式M. 科学出版社, 2006.5: 29-31.6 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)M. 高等教育出版社, 2003.9: 304.7 陈永林. 广义逆矩阵的理论与方法M. 南京师范大学出版社, 2005: 7-13.8 T. Akasaki, idempotent ideals of integral group ringsJ. 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Education Chungbuk National University, Chongju 360-763, Korea)Seung Dong Kim(Dept. of Math., Kong-Ju National Teachers University, Kongju 314-701, Korea)Abstract We prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.Key words idempotent matrices.Classification AMS(1991) 15A/CCL O151.211. Introduction There are papers on real idempotent matrices (for instance 1 , 3 and 4). The first author of this paper in 5 proved that the second ajoint matrix of a Fuzzy idempotent matrix is idempotent. Our motivation of this paper is initiated from 5 and we prove that an adjoint matrix of a real idempotent matrix is idempotent.2. Lemmas We have two lemmas in this section. We need some definitions.Definition1 (i) denotes the set of all real numbers. denotes the set of all n by n real matrices. (ii) Let . denotes the transpose of . (iii) Let. The cofactor of in is times the determinant of the submatrix of order obtained by deleting the th row and the th column from , where denotes the determinant of (see6, p.57). (iv)If is a matrix of order and is the cofactor of in , then the matrixis called the adjoint matrix of (see6,p.58for ). (v) in denotes the matrix obtained from the identity matrix by interchanging row and row .Lemma 1 Let . Then we have that .We omit the proof of Lemma 1.Lemma 2 We assume that . Let be a real matrix of order defined byAssume that is idempotent.Then we have the following: (i) Iffor, then (ii) If, then (iii) If, then (iv) If, then We omit the proof of Lemma2.Example 1 We list 18 real 55 idempotent matrices with (the rank of is equal to 3). In this example, denotes a 55 real idempotent matrix with In this matrix, we can add that: (i) If and all other entries ofare zero, then we can have and all other entries ofmust be zero, whereanddenote respectively the th row and th column of . (ii) Similarly, ifand all other entries ofare zero, then only non-zero entries are. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 3.Theorem We quote the following 2: If is a real idempotent matrix of order , then is similar to a diagonal matrix, that is where is a non-singular matrix of order . We prove the following theorem.Theorem Let be a real idempotent matrix. Then the adjoint matrix is idempotent.Proof The proof consists of several steps. (i) Suppose the rank of a real idempotent matrix of order is equal to . Then we see that , the identity matrix. We can compute as and hence is idempotent. (ii) Suppose that . Then we can assume, without loss of generality, thatWe can compute , the adjoint matrix of as follows:We can show that is idempotent. (iii) We referring to Lemma 1 and 2, and Example 1, we claim that if is an idempotent of rank , then one of the following three statements holds: (1) has two rows each of two is the zero vector. (2) has two columns each of two is the zero vector. (3) has one row and one column both of them are zero vectors. (iv) We just prove that the claim mentioned in the above (iii) is true (for a case). Suppose thatis an idempotent of rank of and suppose, in addition, that for and . Then we can show that , and . Now if, then (the column) must be the zero vector. In addition, if, then(the column) must also be the vector. This proves the claim for a case (referring to 17, Example1). The rest of all other cases will be proved by a similar way using Lemma 2. Now we see that for an idempotent matrix of order , where 0 denotes the zero matrix. Therefore is idempotent. (v) Letbe an idempotent matrix of rank, where. We again refer to Lemmas 1 and 2, and Example 1, and we easily ded