第一章-晶体的结构.doc

(完整版)第一章 晶体的结构
绪论

一、 固体物理的研究对象
固体物理是研究固体的结构及其组成粒子（原子、离子、电子之间相互作用与运动规律以阐明其性能与用途的学科.
固体分类:晶体、非晶体和准晶体。
晶体(晶态）：原子按一定的周期排列规则的固体(长程有序），例如：天然的岩盐、水晶以及人工的半导体锗、硅单晶都是晶体;

非晶体（非晶态）：原子的排列没有明确的周期性(短程有序)，如：玻璃、橡胶、塑料.

准晶体：1984年Shechtman等人报导了用快速冷却方法制备的AlMn合金中的电子衍射图中，发现了具有五重对称的斑点分布,斑点的明锐程度不亚于晶体的情况，提出介于晶体和非晶体之间的新的状态，称为准晶态.

二、固体物理的学科领域
固体物理学的研究范围极广，不仅研究高纯度的完整晶体也研究杂质、缺陷对金属、半导体、电介质、磁性材料以及其他固体材料性能的影响；不仅深入探索金属、半导体、电介质、磁性物质、发光材料等等在一般条件下的各种性质,也探入探来这些材料在强磁场、强辐射、超高压、极低温等特殊条件下的各种现象；不仅发展新材料和新器件，也发展制备材料和器件的新工艺和新理论.固体物理学同时也负担着许多重要的理论课题，例如超导理论、多体理论、非晶态理论、表面理论、催化的微观理论、断裂微观理论、强光与物质相互作用理论等等.
随着生产及学科的发展,固体物理领域已经形成了像金属物理、半导体物理、晶体物理和晶体生长、
四 固体物理的研究方法
固体物理主要是一门实验性学科。为了阐明所揭示出来的现象之间内在的本质联系，需要建立和发展关于固体的微观理论。
固体（晶体)是一个很复杂的客体，每一立方米中包含有约1023个原子、电子,而且它们之间的相互作用相当强．固体的宏观性质就是如此大量的粒子之间的相互作用和集体运动的总表现。在研究固体的客观规律时，必须针对某一特殊过程，抓住主要矛盾，突出主要因素来进在分析研究。
1。 根据晶体中原子（分子）规则排列的主要特点，抽象出理想的周期性（尽管理想的完整晶体是没有的），建立晶格动力学理论，此后引入声子的概念,能够很好地阐明固体的低温比热和中子衍射谱；
2. 从对金属的研究,抽象出电子公有化的概念，再用单电子近似的方法建立能带理论。由此发展出一系列的合金材料,特别是发现了半导体，制备出优异的半导体材料和半导体器件乃至建立了半导体物理;
3。 在研究物质的铁磁性时，重点地研究了电子与声子的相互作用，阐明低温磁化强度随温度变化的规律；
4. 在超导的理论研究中也着重研究了电子和声子的相互作用,1957年巴丁、库柏和施里弗提出了重要概念，建立了超导电性的微观理论：由于电子和声子的相互作用在电子之间产生间接的吸引力，从而形成库柏电子对，库柏对的凝聚表现为超导电相变。它促进了超导电性的理论和实验的研究，在此基础上又发现了超导体中的库柏对以及单粒子的隧道效应和约瑟夫逊效应，为超导体的技术应用开辟了广泛的前景。实际上，从五十年代末期以来，量子场论和量子统计方法的应用，促进了固体理论的发展.
在自然科学的理论探索中,科学的抽象、科学的假说是不可缺少的手段。现在，固体物理学又发展到了一个新的阶段,进入了关于固体中元激发、表面状态和非晶态固体的研究，问题是更加复杂了.晶格动力学和固体电子论在新的条件下必须要发展，因此，更需要采用恰当的科学假设和科学抽象来发展新的理论。
固体物理学教程， 王矜奉， 山东大学出版社
◆固体物理学,黄昆、韩汝琦著,高等教育出版社
◆固体物理学（上)，方俊鑫、陆栋编，上海科学技术出版社

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第一章 晶体的结构
主要包括三大部分
一、 晶体共性和密堆积,为后面了解晶体的性质和结构打下基础。
二、 原胞、晶面、倒格子、对称性及晶格结构分类等.晶体结构全面的认识
三、 最后介绍了研究晶体结构的主要手段—x光衍射.
1．1晶体的共性与密堆积
固体物理主要讨论固态物质的各种物理性质.固态区别于气态和液态的特点在于，其组成粒子（ 原子、离子、分子或它们的集团）的空间位置在没有外力作用时大多不会有宏观尺度的变化，在低温下基本处在固定位置. 也正是根据组成粒子空间位置的区别,即物质结构上的差别,通常将固态材料划分为晶体、非晶体和准晶体。
1.1。1固体分类和晶体的特性
1、固体分类：有序固体和无序固体(非晶体)
有序固体：晶体(单晶河多晶) ，准晶体
晶体:组成粒子在空间的排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性,这是一种高度长程有序的结构。至少在微米量级范围内原子排列具有
单晶：长程有序,具有规则的几何外形和物理性质各向异性。
多晶：短程有序，由单晶构成的晶粒(10－6～10－5m)形成。
周期性。
准晶体: 1984年Shechtman等人报导了用快速冷却方法制备的AlMn合金中的电子衍射图中，发现了具有五重对称的斑点分布，斑点的明锐程度不亚于晶体的情况，提出介于晶体和非晶体之间的新的状态，称为准晶态。
有长程的取向序（具有长程5重旋转对称),沿取向序的对称轴方向有准周期性,但无长程周期性 (都不能靠一种图案占满整个空间）
非晶体： 非规则结构，分子或原子排列没有一定的周期性.短程有序性，没有固定的熔点。 玻璃 橡胶
非晶体中原子排列不具有长程的周期性，但基本保留了原子排列的短程序，即近邻原子的数目和种类、近邻原子之间的距离(键长)、近邻原子配置的几何方位（键角)都与晶体相近.
2晶体的特性
晶体的特点：
a我们知道不同原子构成的晶体，其性质有很大差别。例如Cu Si
b同种原子构成的晶体，若结构不同，其性质也会有很大差别，例如金刚石和石墨。
晶体区别于非晶体的特点：
１、长程有序。　指的是晶体中的原子都是按一定规则排列的,这种至少在微米量级范围的有序排列，称为长程有序性.
２、自限性 
晶体的大小和形状主要受晶体生长技术、生长条件影响（温度、压强等）;晶体内部原子排列具有周期性的结果和宏观体现。

3晶面角守衡定律
属于同一品种的晶体,两个对应晶面间的夹角恒定不变。看书p2石英晶体图
外界条件能使某一组晶面相对地变小,或隐没，因此，晶面本身的大小和形状是受晶体生长时的外界条件影响的，不是晶体品种的特征因素.
4、晶体具有确定的熔点
晶体的熔化热是破坏晶体有序结构的能量，使其由晶态转化为非晶态。给某种晶体加热，当加热到某一特定温度时，晶体开始熔化，且在熔化过程中温度保持不变，直到晶体全部熔化,温度才开始上升，即晶体有固定的熔点。
5、各向异性：在不同方向上，晶体的物理性质不同。
晶体内部原子排列具有周期性的结果和宏观体现.在不同的方向上晶体中原子排列情况不同，故其性质不同。

6、晶体的对称性
晶体在某几个特定方向上可以异向同性，这种相同的性质在不同的方向上有规律地重复出现，称为晶体的对称性。
总结：晶体的宏观特性：
自限性、晶面角守恒、解理性、晶体的各向异性、晶体的对称性、固定的熔点。
晶体为什么具有这些宏观特性呢
晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的,即晶体的宏观特性是微观特性的反映
1。2密堆积：
固体（晶体)是一个很复杂的客体,每一立方米中包含有约1023个原子、电子，而且它们之间的相互作用相当强．固体的宏观性质就是如此大量的粒子之间的相互作用和集体运动的总表现。
1配位数
一个粒子的周围最近邻的粒子数，可以被用来描写晶体小粒子排列的紧密程度,这个数称为配位数．粒子排列愈紧密，配位数应该愈大．原子在晶体中的平衡位置,排列应该采取尽可能的紧密方式，相应于结合能最低的位置。
现在来考虑晶体中最大的配位数和可能的配位数.
2、密堆积
如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小圆球,则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。密堆积所对应的配位数,就是晶体结构中最大的配位数。
全同的小圆球平铺在平面上，任一个球都与6个球相切。每三个相切的球的中心构成一等边三角形，并且每个球的周围有6个空隙，如图XCH001_005_01.

-— 这样构成一层，计为A层，每个球与6个球相切，有6个空隙,如编号1，2,3,4,5,6。如图XCH001_005_02
—— 第二层也是同样的铺排，计为B层
—- 第三层也是同样的铺排，计为C层；
把B层的球放在A层相间的3个空隙里，即占据1，3,5空位中心,第二层的每个球和第一层的三个球紧密相切，如图XCH001_005_03。
第三层 —- C层有两种不同的堆法。

1）层原子排列之一——六角密排晶格
原子球排列方式：AB AB AB …… 形成，如图XCH001_005_05所示。在层的垂直方向是6对称性的轴，这个垂直方向的轴就是六角晶系中的c轴，如图XCH001_006.
Be、Mg、Zn、Cd具有六角密排晶格结构.
2） 面心立方晶格

􀀫 C层原子排列之二-— 面心立方晶格
原子球排列方式：占据2，4，6空位中心ABC ABC ABC …… 形成面心立方晶格，如图XCH001_005所示。
层的垂直方向是对称性为3的轴，如图XCH001_007所示，就是立方体的空间对角线。
Cu、Ag、Au、Al具有面心立方晶格结构；
密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12
3、配位数的可能值
如果球的大小不等,例如晶体由两种原子组成，则不可能组成密积结构，因而配位数必须小于12，但由于周期性和对称性的特点,晶体也不可能具有配位数11、10和9，所以次一配位数是8，为氯化铯型结构．晶体的配位数不可能是7,再次一个配位数是6，相应于氯化钠型结构．晶体的配位数也不可能是5，下一个配位数是4,为四面体．配位数是3的为层状结，构配位数是2的为链状结构．
作为例子，现在来看由于球的半径不等组成氯化铯型或氮化钠型结构时．两种球半径的比．
一 氯化铯型
取大球中心为立方体的顶角，小球位于立方体的中心。
设大小球半径分别为R和r,且晶格常量为a。
   设大球的半径是R,则立方体的边长为a＝2R,空间对角线为 ．若小球恰与大球相切，则小球的直径应等于 -2R，即小球的半径为

这时排列最紧密,结构最稳定．
    如果小球的半径r小于0.73R,则不能和大球相切,结构不稳定，以致不能存在，于是结构将取配位数较低的排列,即取配位数是6的排列．所以,当1＞(r／R)≥0。73时，取配位数为8的氯化铯型结构。
二 氯化钠型

设大小球半径分别为R和r，且晶格常量为a，当大小球恰能相切时，

当 ,结构为氯化钠型，配位数 6

4。致密度
如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上,球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度(堆积比率或最大空间利用率)。
例1：求面心立方的致密度
设晶格常量为a，原子半径为R，则
V=a3 单胞体积
　单胞中原子所占体积

1．3布喇菲空间点阵 原胞 晶胞
1.3.1布喇菲空间点阵
晶体是由原子、离子、分子或它们的集团在空间作周期性排列而形成的，前面我们介绍了同种原子构成的晶体的一些结构，但我们知道,实际中大部分晶体并不是由一种原子构成的，而往往是由几种不同的原子构成的。晶体中原子种类越多，晶体的实际结构就越复杂,不论晶体实际结构多么复杂，晶体的共性长程有序性是一定要遵守的。那么如何描述复杂晶体中原子排列的有序性呢？ 布喇菲就提出了空间点阵学说，空间点阵学说认为，
空间点阵：　晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间作规则的周期性的无限分布。这一学说是对实际晶体结构的一个数学抽象，是用数学的方法来描述晶体内部原子的排列方式。
格点：　其中每个点均是实际晶体中粒子的抽象,称为格点。
基元：　具体晶体结构中,重复排列的最小单元，称为基元.
了解了布喇菲点阵、格点及基元的概念后，下面我们来看看这三者有什么关系。以下面的二维晶体结构为例.
二维晶体结构，基元及其点阵：

通过以上的图我们可以得出以下结论：1、晶体结构=点阵+ 基元
2、 基元中往往包括一个或几个原子、分子或离子。
３、点阵中的点既实际晶体中“基元"的抽象。
了解了点阵、格点和基元以及实际晶体结构的概念后，我们再来引入两个概念，简单格子和复式格子。
简单格子:如果每个基元中只有一个原子、粒子或分子，这样的晶体结构成为简单格子。
复式格子：如果基元中包括一个以上的原子或离子,则称之为复式格子。
　　　由于复式格子中基元在空间作周期性排列,每个基元在格子中的位置及方位都是相同的，因此,基元之中的每个原子或离子在空间也是作周期性排列的，实际上他们各自在空间的排列也是一个布喇菲格子.除去格点上安置的原子可能不同而外，格子是完全相同的 ，也正是安置基元的布喇菲格子。于是复式格子可看作若干形状大小相同的布喇菲格子在空间平行穿套构成，子晶格就是安置基元的布喇菲格子，子晶格的数目就是基元中原子或离子数。
1.3.2 原胞
布喇菲点阵反映的是晶体结构的周期性，这种周期性使得每个格点在空间所拥有的体积都是一样，设这一体积为V.如果以某一格点为原点O，则总可以沿三个非共面的方向找到与O相连的格点，设图中的 A、B、C为三个格点，并令沿此三个方向而长度分别等于OA、OB、OC的三个矢量为a1、a2、a3，使这三个矢量所围成的平行六面体中不再包含其他格点，则此平行六面体的体积必与V相等：
无疑，将此平行六面体沿a1、a2、a3的方向作周期性重复必能填满全部空间而无任何缺漏，这一平行六面体称为布喇菲格子的原胞。而a1、a2、a3称为原胞的基矢。
下图示出了原胞与基矢．

原胞与基矢 原胞选取的任意性
原胞的特点:
• １、空间点阵最小的重复单元
• 每个空间点阵原胞中只含有一个格点－原胞的必要条件
• 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法，但原胞的体积均相等
• 原胞中必包含、也只包含一个基元-布喇菲格子的格点代表一个基元
1.3。3 晶胞
众所周知,晶体材料具有对称性，外形对称的天然晶体常令人赏心悦目.外形对称乃内部原子分布既结构对称性的反映。历史上正是晶体外形的对称才促使人们认识到晶体内部结构的规则性，可见周期性和对称性是晶体结构的两大特点。前面介绍的原胞虽然能很好的描述晶体结构的周期性，但有时却不能兼顾结构的对称性。
为了同时反映晶体对称的特征,结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上,还可以是体心或面心．这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞．
我们称重复单元的边长矢量为基矢．若以a1、a2和a3表示原胞的基矢.
晶胞特点：
●同时计及周期性和对称性的尽可能小的重复单元。
●晶胞的体积为原胞体积的的整数倍，这一整数正是晶胞中包含的格点数
1。2.4维格纳—塞茨原胞:
　 另一种选取重复单元的方法既能显示点阵的对称性，选出的又是最小的重复单元，这就是所谓的维格纳—塞茨原胞。
由某一个格点为中心,做出最近各点和次近各点连线的中垂面，这些所包围的空间为维格纳—塞茨原胞。如图所示为一种二维格子的维格纳—塞茨原胞。
引入Wigner-Seitz原胞的原因

优点：
（1） Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的对称性;
（2)该取法今后要用到。
缺点：
（1） Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；
（2)平移对称性反而不直观.
1．4晶列 晶面指数
1.4.1 晶列及其晶列指数
在实际应用中，我们经常要对材料的物理性质进行表征，比如，要加一定的电场或磁场，测量它们的电导率或饱和磁化强度等。人们发现，当沿不同方向测量时，得到的结果差别很大.因此，有必要对晶体的取向加以描述，这就是引入晶向、晶面的意义。
1、晶列： 通过任意两格点作一直线，这一直线称为晶列
2、晶列最突出的特点
A)晶列上的格点具有一定的周期．
2）如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都有格点,则称这些直线为同一族晶列．
3）同一晶列的取向相同。
4）同一晶列的周期相同。
5)在一个平面内，相邻晶列之间的距离必定相等．
要确定一个晶列，那就是晶列的方向,如何确定晶列的方向呢？我们知道两点确定一直线，对晶列也是一样，要确定它的方向只要知道晶列上两个格点的位置，那么很自然就能确定出晶列的方向。
3、两种表示晶列的方法.
1）用晶胞的基氏来表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为

其中a b c 为晶胞基矢，即
其中m′,n′,p′ 为有理数,将m′,n′,p′ 化为互质的整数 m,n，p, 记为［mnp]，[mnp]即为该晶向的晶向指数。
2）用原胞的基氏来表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为

其中为原胞基矢，
其中 为整数，将 化为互质的整数 l1，l2，l3 ， 记为[l1,l2，l3 ]， [l1，l2,l3 ]即为该晶向的晶向指数。
如遇到负数，按惯例,将负值指数用阿拉伯数字顶上加一横表示。
如: 轴计为：

例1：如图在立方体中， D是BC的中点,求BE,AD的晶向指数。
解：

晶向BE的晶向指数为: [011]
求AD的晶列指数

AD的晶列指数为：
4、晶列指数的特点：
（1)晶列指数一定是一组互质的整数；
(2)晶列指数用方括号表示[ ］；
（3)遇到负数在该数上方加一横线。
（4)等效晶向。
由于对称性的关系，一些晶向不表现出各向异性的关系，比如在立方体中有，沿立方边的晶列一共有6个不同的晶向,分别为
由于晶格的对称性，这6个晶向等价，晶体在这些方向上的性质是完全相同的,统称这些方向为等效晶向，固体中常用<100〉来表示
同理〈110> 代表12个等效的面对角线晶向

同理<111〉 代表8个等效的体对角线晶向

1。3。2 晶面、晶面指数及米勒指数
1、晶面及其特点
1)晶面：所有格点都分布在相互平行的一族平面上，且每个平面上都有格点分布,这样的平面称为晶面.该平面组称为平面族。
2)晶面特点： a） 同一晶面族中的晶面相互平行，晶面族包含所有格点
b) 晶面上格点分布具有周期性,c) 同一晶面族中的每一晶面上,格点分布(情况)相同；
d) 同一晶面族中相邻晶面间距相等（面间距是描述晶面的一个重要的参数）
2、晶面指数：描写晶面方位的一组数称为晶面指数
（1）以原胞基氏表示—晶面指数
如图取一格点为顶点，原胞的三个基矢a1，a2，a3 为坐标系的三个轴,设某一晶面与三个坐标轴分别交于A1，A2,A3，设晶面的法线ON交晶面A1A2A3于N，ON长度为md,d为该晶面族相邻晶面间的距离，m为整数，该晶面法线方向的单位矢量用 n 表示，则晶面A1A2A3的方程为:
X为晶面上A1A2A3的任一格矢
设：

取 a1，a2,a3 为天然长度单位1，则得：
晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢）的夹角的余弦之比，等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
可以证明：r,s，t必是一组有理数
设 a1,a2,a3 的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
（1）所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢a1，a2,a3 末端上的格点也一定落在该晶面族的晶面上；
（2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等，故在原点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。

取 a1,a2，a3 为天然长度单位得：

晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
又因为：

因为h1、h2、h3为整数,所以r、s、t必为有理数.任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 证毕
可以证明h1，h2,h3一定是互质的，称它们为该晶面族的面指数,记为（h1h2h3 ） .
综上所述,晶面指数(h1h2h3 ）表示的意义是；
（1） 基矢 a1,a2，a3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份；
（2） 以a1，a12，a3为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴上的截距倒数的互质比；
（3） 晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
（2）以晶胞的基氏表示-米勒指数
以晶胞基矢a,b，c 为坐标轴来表示的晶面指数称为密勒指数，用(hkl）表示.
例1、例2:如图所示 a ⊥ｂ⊥ｃ ，I和H分别为BC,EF之中点,试求晶面AEG，ABCD,的密勒指数。
在三个坐标轴上的截距
AEG ABCD DIHG
b
c
h′ 1 ∞ 2
a
k′ 1 ∞ 1
l′ 1 1 ∞
1:1：1 1/∞：1/∞:1 1/2：1:1/∞
(hkl） （111) (001） （ 120）
h:k:l=1/h′:1/k′:1/l′既所求三个面的米勒指数分别为：（111）(001）(120)

例3 在立方晶系中画出（210）(1—21）晶面。
又米勒指数可知晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
r s t
（210) 1/2 1 ∞
（1-21） 1 -1/2 1
因此可在立方晶系中画出（210）所对应的晶面为：ABCD；（1-21）所对应的晶面为EFG.

注意:由于对称性而等价的晶面,用｛ ｝ 来表示
如对于立方晶系｛100｝表示6个等价的（100)，（010）,（001） （-100）（0—10）（00-1）

1.5倒格子
一概念的引入
晶体结构的周期性，可以用坐标空间(r空间）的布拉维格子来描述，这是前几节我们所讨论的内容，也是我们易于理解的实物粒子的普遍描述.
然而,量子力学的学习使我们认识到，任何基本粒子都具有波粒二象性.亦即具有一定能量和动量的微观粒子，同时也是具有一定的波长和频率的波,波也是物质存在的一种基本形式
波矢k可用来描述波的传播方向。那么晶体结构的周期性是否也可以用波矢k来描述呢？如果可以,在波矢k空间,k应满足什么条件呢？
布拉维格子具有平移对称性，因而相应的只与位置有关的物理量，由于布拉维格点的等价性，均应是布拉维格矢R的周期函数，如：格点密度、质量密度、电子云密度、离子实产生的势场等都是如此。
上述函数可统一写为:

1. 周期函数的傅里叶展开
由于F(r）是布拉维格矢R的周期函数,所以可以将其展开成傅里叶级数：

展开系数

因为

则：

也就是说，一定存在某些 g 使得当 成立时,
成立

由于g与R存在上述对应关系，R可以描述布拉维格子,自然g也可以描述同样的布拉维格子，且g与第一章讨论自由电子的波函数中的波矢类似，因而，凡是波矢和布拉维格矢满足 的波矢，一定也可以描述布拉维格子。这就是倒格子的由来。

eix=cosx+isinx

2、定义
对布拉维格子中所有格矢 Rn ，满足或（m为整数）的全部端点的集合，构成该布喇维格子，称为正格子的倒格子.
从倒格子的定义可知，由格矢 的端点所描述的布拉维格子,称为正格子（direct lattice)
由 端点的集合所描述的布拉维格子，称为倒格子（reciprocal lattice）
利用倒格矢,满足 的傅里叶展开为:
把上述满足坐标空间中的某物理量转变为倒格子空间，且只存在波矢为倒格矢的分量。
二 、 倒格子是倒易空间的布拉维格子—倒格矢的描述
对布拉维格子中所有格矢满足或(m为整数)的全部端点的集合，构成该布喇维格子，称为正格子的倒格子。
· 称为倒格矢
将,代入得，

欲使上式恒成立，且考虑到n1，n2，n3为任意整数,则要求：
h1,h2,h3为整数
显然,如果令 h1，h2,h3为整数，当满足时，则下式自然成立.

由于 为基矢，互不共面，则由可知亦应该不共面，从而可以用 描述倒格子。
由于为倒格矢，如果把倒格矢所在的空间称为倒格子空间，或倒易空间（reciprocal space）,则不共面，自然可以成为倒易空间的基矢。和对比，表明对应的是倒易空间中的布拉维格子，亦即倒格子是倒易空间的布拉维格子。
从而且也可作为为基的某一布喇维格子的倒格子定义.
讨论：由可知：和垂直，因此，与平行，所以可令：，两边同时点乘 可得：

同理可得所以倒格子基矢与正格子基矢的关系为:

为原胞体积。
因此有些书中把由以上基矢和（ h1，h2。，h3为整数)所联系的各点的阵列既为倒格子。
将正格基矢在空间平移可构成正格子,相应地我们把倒格基矢平移形成的格子叫倒格子．由a1、a2、a3构成的平行六面体称为正格原胞，相应地我们称由bl、b2、b3构成的平行六面体为倒格原胞．
三、 下边介绍倒格子与正格子的一些重要关系．
（1） 正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于
（2）

利用

a1和a3差乘的方向垂直于a1因此(a1×a3） ·a1=0

（2）正格子与倒格子互为对方的倒格子

(3) 倒格矢与正格子晶面族（h1h2h3）正交且其倒格矢长度为
其中是正格子晶面族(h1h2h3）的面间距
首先我们证明倒格矢与正格子晶面族(h1h2h3)正交
设平面ABC为晶面族(h1h2h3）中离原点最近的晶面, ABC在基矢 上的 截距分别为
由图可知：

所以倒格矢 与晶面族（h1h2h3)正交.
接着我们再证明倒格矢长度为
由于倒格矢与晶面族(h1h2h3)正交，因而，晶面族（h1h2h3）的法线方向为则法线方向的单位矢量为：因而，面间距

表明，对任一倒格矢 以其在倒易空间的坐标数（h1,h2，h3）表征的正格子空间中的晶面族(h1h2h3)，一定以 为法线方向,且面间距为这个关系很重要，后面分析XRD时要用
（4)倒格基矢的方向和长度

设：是所在晶面族的面间距;
是所在晶面族的面间距；
是所在晶面族的面间距。
则有：
一个倒格子基矢是和正格子原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的2p倍.
已知晶体结构如何求其倒格子呢？

例1：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列

倒格子是边长为的正方形格子.

1．6晶体的对称性及晶格结构的分类
布拉维格子是按其对称性（symmetry)来分类的：所谓对称性是指在一定的几何操作下，物体保持不变的特性.
对称性在物理学中是一个非常重要的概念，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了。因为对称性的本质是指系统中的一些要素是等价的.对称性越高的系统,需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单。
我们这里要讨论的主要是晶格（或点阵）的对称性(symmetry of lattice).
在晶格这个物理系统中，一种对称性是指某些要素互相等价，而用来描述晶格的要素,无非就是：点、线、面。而保持这些要素等价的操作—-——对称操作有三种：平移、旋转、镜反射。假设在某一个操作过后，点阵保持不变，也就是每个格点的位置都得到重复，那么这个相应的平移、旋转或镜反射操作就叫作一个点阵对称操作。其中的点、线、面分别叫做对称中心、对称轴、对称面-——-称为对称元素
从数学角度来看，晶体的对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶体性质的不变性，相当于一个正交线性变换。一个变换就是一种操作。
定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识。群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具，可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解.
让大家对群的概念有一个认识。
一、群的知识简介
1. 群的定义
所谓群(group）就是一个固定的物体所有不同对称操作所构成的集合,常用符号 G 来表示.
构成群的元素要满足以下条件：
设Ａ１,Ａ２，Ａ３．．．等表示群Ｇ中所包含的元素或操作既“
必须满足下列条件：
1). 封闭性(closure property）
按照给定的乘法规则，群G中任何两个元素相乘,得到的还是该群的一个元素。

2）. 群中一定包含一个不变元素（单位元素) E

3). 存在逆元素

4）. 满足组合定则

在晶体的几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称操作，都满足上述群中的元素的要求，由这些元素（或操作）所构成的群叫对称性群(symmetry group),包括点群（point group）和空间群（space group）
二、晶体中的对称操作
1）镜面
一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image） 意味着将点阵对应于某一个面进行反射，点阵保持不变。这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的，点阵具有镜反射对称性。
例如以ｘ１＝０的平面为镜面，将任一点（ｘ１　ｘ２　　ｘ３)变为(－ｘ１　ｘ２　　ｘ３）其变换矩阵为
　　　　　－１　　　０　　　０
Ａ＝　　　０　　　　１　　　０
　　　　　０　　　　０　　　１
这一变换称为镜像变换或镜面变换,用符号m表示。

2）中心反演
将任一点(ｘ１　ｘ２　　ｘ３）变成（－ｘ１　－ｘ２　　－ｘ３）的变换称为中心反演,用矩阵形式表示,则为

ｘ′１　　　　　　　－１　　　０　　　　　０　　　　　ｘ１
ｘ′２　　　＝　　　０　　　－１　　　　　０　　　　　ｘ２
ｘ′３　　　　　　　０　　　　０　　　　－１　　　　　ｘ３
我们可具体利用变换矩阵
　　　　　－１　　　０　　　０
Ａ＝　　　０　　　－１　　　０
　　　　　０　　　　０　　　－１
来代表中心反演操作,用符号ί表示。
3）转动
一个旋转对称操作(rotational symmetry operation）意味着将点阵绕着某个轴旋转某个角度 q 或—q 以后，点阵保持不变。实际上这种变换在数学上就是一种正交变换。是把晶体中某一点（ｘ１,ｘ２,ｘ３)通过一正交矩阵变为（ｘ′１，ｘ′２，ｘ′３）。用矩阵表示则为:
例如，使晶体绕直角坐标系的z轴转动θ角,则晶体中的点（ｘ１，ｘ２，ｘ３）变为(ｘ′１,ｘ′２，ｘ′３）,变换关系用矩阵表示为:

　　　ｘ′１　　　　　　　１　　　０　　　　　　０　　　　　　ｘ１
　　　ｘ′２　　　＝　　　０　　ｃｏｓθ　　－ｓｉｎθ　　　　ｘ２
　　　ｘ′３　　　　　　　０　　ｓｉｎθ　　　ｃｏｓθ　　　　ｘ３

我们可用变换矩阵
　　　　　１　　　０　　　　　　０
Ａ＝　　　０　　ｃｏｓθ　　－ｓｉｎθ 来表示这一操作。
0 ｓｉｎθ　　　ｃｏｓθ
在实际晶体对称操作中为了保持在旋转对称操作后点阵不变，在二维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且垂直平面;在三维晶格中，旋转轴一定要通过某一个格点而且平行于某一个晶向。
三、晶体中允许的旋转轴
由于晶体周期性的限制，转角q只能是2π/n，n=1，2，3,4,6即：晶体中允许的转动对称轴只能是1,2，3，4和6重轴。 称为晶体的对称性定律。
晶体的对称性定律的证明

如图，A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍.
如果绕A转q角,晶格保持不变（对称操作）.则该操作将使B 格点转到 B′ 位置，则由于转动对称操作不改变格子，在 B′处必定原来就有一个格点。
因为B 和A 完全等价，所有旋转同样可以绕B 进行。
由此可设想绕B 转q角，这将使A 格点转到A′的位置.同样 A′处原来也必定有一个格点
由于 组成等腰梯形，因此 m为整数
亦即：
而且，m必须为整数，所以，m只能取-1,0，1，2，3与m=-1,0，1,2，3相应的转角为
其中晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合，则称该轴为n度旋转对称轴.
显然n=1,相当于不动操作(元素）E， n=2，3，4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、六度转轴。
通常把晶体中轴次最高的转动轴称作主对称轴，简称主轴
但是立方晶系则以3次轴为主轴)，其它为副轴。
四 晶体的旋转反演轴
若绕某一对称轴旋转2π/n角度后，再经过中心反演，晶体能自身重合,则称该轴为n度旋转—反演轴，常标为n，称为n度旋转反演对称。由于周期性制约，同样也只能有1，2度、3度、4度或6度旋转反演轴，分别用数字记号 、 、 、 ，而 也就是i。操作的示意图如下。
就是中心反演.这种对称操作等价于垂直于该轴的镜像操作。
不是基本的对称操作.它等价于三度旋转再加上对称心。

概括起来，实际晶体的宏观对称操作一共有八种基本对称操作：1,2,3，4，6，i， m，.
例1 立方体的对称操作
1） 绕三个立方轴转动：π/2，π，3π/2,共有9个对称操作；
2) 绕6条面对角线轴转动π,共有6个对称操作；
3) 绕4个立方体对角线轴转动2π/3，4π/3,，共有8个对称操作；
4） 正交变换 也是一个对称操作；
5) 以上24个对称操作加中心反演仍是对称操作 —— 立方体的对称操作共有48个。标记如图XCH001_056所示。

六、立方对称晶体的介电系数
对于晶体，晶体中的电位移和电场的 关系为:
D=εE　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（１）
其中介电常数矩阵为:
ε11 ε12 ε13
ε= ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
坐标旋转后，各物理量