数值分析所有常考例题及详细答案.doc

(完整word版)数值分析所有常考例题及详细答案
第二章 线性方程组的直接解法 2
第三章 解线性方程组的迭代法 7
第五章 非线性方程和方程组的数值解法 10
第六章 插值法与数值微分 14
第七章 数据拟合与函数逼近 19
第八章 数值积分 23
第九章 常微分方程的数值解法 28
第二章 线性方程组的直接解法
1、用LU分解法求如下方程组的解
（1），（2）
解：（1）

（2）

2、对4阶矩阵进行LU分解
解：
3、用高斯列主元素消去法解线性方程组
①
②
解：对增广矩阵进行初等行变换
①
同解方程组为
回代求解得
此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法

得同解方程组

回代求解得

②

得同解方程组

回代得

4、用Jordan消去法解矩阵方程，其中：
，
解：容易验证，故A可逆，有 .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得

5、用LU分解法求解如下方程组
解：

第三章 解线性方程组的迭代法
1、
若Jacobi迭代收敛，求的范围
解：（1）、时的Jacobi迭代矩阵

Jacobi迭代收敛
（2）、Jacobi迭代矩阵

=

Jacobi迭代收敛
2、讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性
其中，
解：Jacobi迭代法的迭代矩阵
则
Jacobi迭代收敛
Gauss-Seidel迭代矩阵

Gauss-Seidel迭代发散
3、讨论下列迭代法的收敛性
①的G-S迭代
②
解：①

②，故B的谱半径，由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛

第五章 非线性方程和方程组的数值解法
1、给定函数，设对一切，存在且
证明：，迭代过程均收敛于的根
证明：的等价形式为
则对应的迭代函数

易证有根，故迭代过程收敛于的根
2、证明：所产生的序列收敛于的根
证：①考虑区间

所得序列收敛于的根
②，将看作新的迭代初值，则由①知序列必收敛于的根
3、利用适当的迭代格式证明

证：考虑迭代式则

显然
记迭代函数
1°
2°
由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知
所产生序列收敛于的根
在上解方程得惟一根x=2。

4、研究求的牛顿公式
证明：对一切，且单调递减，从而收敛。
分析，令
由牛顿公式
证：

单调递减有下界，必收敛
5、设，应如何选取才能使迭代式具有局部收敛性
解：迭代格式
局部收敛，设迭代序列的极限值为，则有

得

当由局部收敛定理知
迭代格式局部收敛于
当由局部收敛定理知
迭代格式局部收敛于
6、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明
解：令
其中，中有n条分数线
则：
令
显然，
我们不妨在上讨论迭代式的收敛性
ⅰ：
ⅱ：
ⅲ：
由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序列必收敛于方程的根。
解方程得

即：第六章 插值法与数值微分
1、设，且，求证

证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为
由插值余项定理

2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足：

解：（法一）首先构造如下的基函数表

函数值
导数值

0
1
0
1

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

则：

（法二）：令 则

3、确定一个不高于四次的多项式H(x)，使得：

解：（法一）首先构造如下的基函数表

函数值
导数值

0
1
2
0
1

1
0
0
0
0

0
1
0
0
0

0
0
1
0
0

0
0
0
1
0

0
0
0
0
1

则：

（法二）令
则

得

4、求三次多项式，使得
解：令
则

5、求一个次数3的多项式，使得，，
解：令
则

由（1）得
由（2）得
由（3）得
（5）
由（1）得
（6）
把、代入（5）、（6）得
、

6、给出概率积分的数据表如下：

0.46
0.47
0.48
0.49

0.484655
0.493745
0.502750
0.511668
试用拉格朗日插值法计算时，该积分值等于多少？
解：记
将看成的函数，以为插值节点作的3次插值多项式:

当时，概率积分

7、利用在处函数值计算的近似值并估计误差.
解： 过点（100，10）、（121，11）、（144，12），
令
则的二次Lagrange插值多项式

第七章 数据拟合与函数逼近
1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合

19
25
31
38
44

19.0
32.3
49.0
73.3
97.8

解：（法一）建立超定方程组
即：
解
得

（法二）利用公式建立正规方程组

2、求形如的经验方式，使它能和下表数据相拟合

1.00
1.25
1.50
1.75
2.00

5.10
5.79
6.53
7.45
8.46

解：对经验方式作变换，有，令，为了用最小二乘法求出转化为

1.00
1.25
1.50
1.75
2.00

1.629
1.756
1.876
2.008
2.135

（法一）建立超定方程组

即：

得正规方程组

即：

解之得：

3、解超定方程组
解：由得正规方程组

即：
解之得

第八章 数值积分
1、用复化梯形求积公式求的近似值，问要将分成多少等分才能保证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢？
解：要求结果有四位有效数字此处误差

要使
只需
若用复化抛物线公式，则

故：用复化梯形求积公式至少需要41等分才能保证结果有四位有效数字，而用复化抛物线公式只需2等分就可以保证结果有四位有效数字。
2、对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式计算所需节点数是多少？
解：

要使，只需
即：

要使误差小于，至少要取5176个节点
3、用Romberg方法求，使误差不超过
解：

0
1.8591409

1
1.7539311
1.7188612

2
1.7272219
1.7183188
1.7182827

3
1.7205186
1.7182842
1.7182818
1.7182818

4、用Romberg求积法求积分的近似值要求误差不超过
解：，则

0
4.0000000
1
2.0000000
0.5
3.2000000
0.25
3.7647059
0.75
2.5600000
0.125
3.9384615
0.625
2.8764045
0.875
2.2654867
按公式计算如下：

0
3.0000000

1
3.1000000
3.1333333

2
3.1311765
3.1415678
3.1421176

3
3.1389885
3.1415925
3.1415941
3.1415858
4
3.1409416
3.1415927
3.1415927
3.1415926

故为所求近似值
5、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分，并比较它们的精度，准确值为0.478267254
解：设
由抛物线（辛普森）公式

由三点高斯公式

而
故
与准确值比较知：Simpson公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。
6、确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度

解：当时，左边
右边
左边=右边
当时，左边
右边
当时，左边

要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当

即
得 或
将代求积公式得

当时，左边
右边
左边右边，故此时求积公式具2次代数精度；
将代入求积公式得

当，左边
右边
左边右边，故此时求积公式具2次代数精度
综上：时，所得求积公式具最高代数精度2。
第九章 常微分方程的数值解法
1、用Euler预估—校正格式求解初值问题

要求步长，计算的近似值
解：设
Euler预估—校正式为

由计算得：

2、用欧拉法解初值问题

取步长，保留5位有效数字，并与准确解相比较
解：

欧拉公式如下：

即：
计算结果如下表所示

1
0.1
0
0.048771
0.048771
2
0.2
0.10000
0.18127
0.081269
3
0.3
0.28000
0.36237
0.082372
4
0.4
0.49600
0.55067
0.054671
5
0.5
0.69760
0.71350
0.015895
6
0.6
0.84880
0.83470
0.014099
7
0.7
0.93952
0.91371
0.025814
8
0.8
0.98186
0.95924
0.037132
9
0.9
0.99637
0.98258
0.013792
10
1.0
0.99964
0.99326
0.006378

3、对初值问题①步长为时，用梯形公式得近似解，②时，收敛于准确解
解：
又，故（准确值）

①由梯形公式

②

4、取，用改进Euler法的预估—校正式求解初值问题

解：
Eute预估—校正式

即：
由出发，计算结果列于下表

0
0
1
1
1.013333
1
0.2
1.013333
1.039303
1.051006
2
0.4
1.051006
1.099288
1.108248
3
0.6
1.108248
1.173383
1.179552
4
0.8
1.179552
1.256216
1.260130
5
1.0
1.260130
1.344097
1.346395
6
1.2
1.346395

5、已知，，用Euler公式求各点上的近似值
解：取步长

由Euler公式得

计算结果列于下表

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8

1.00000
1.00000
1.01000
1.02900
1.0561
1.09049
1.13144
1.17830
1.23047

0.9
1.0

1.28742
1.34868

6、取步长h=0.1，用Euler法求解如下初值问题并与精确解进行比较.

x
Euler法y
改进的Euler法y
精确解
0
1.000000
1.000000
1.000000
0.1
1.000000
1.095909
1.095445
0.2
1.191818
1.184097
1.183216
0.3
1.277438
1.266201
1.264911
0.4
1.358213
1.343360
1.341641
0.5
1.435133
1.416402
1.414214
0.6
1.508966
1.485956
1.483240
0.7
1.580338
1.552514
1.549193
0.8
1.649783
1.616475
1.612452
0.9
1.717779
1.678166
1.673320
1.0
1.784770
1.737867
1.732051

31