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(完整word版)数值分析所有常考例题及详细答案第二章 线性方程组的直接解法2第三章 解线性方程组的迭代法7第五章 非线性方程和方程组的数值解法10第六章 插值法与数值微分14第七章 数据拟合与函数逼近19第八章 数值积分23第九章 常微分方程的数值解法28第二章 线性方程组的直接解法1、用LU分解法求如下方程组的解（1），（2）解：（1）（2）2、对4阶矩阵进行LU分解解：3、用高斯列主元素消去法解线性方程组解：对增广矩阵进行初等行变换同解方程组为回代求解得此种方法叫高斯消去法，下面用高斯列主元素消去法得同解方程组回代求解得得同解方程组回代得4、用Jordan消去法解矩阵方程，其中：，解：容易验证，故A可逆，有 .因此，写出方程组的增广矩阵，对其进行初等变换得5、用LU分解法求解如下方程组解：第三章 解线性方程组的迭代法1、若Jacobi迭代收敛，求的范围解：（1）、时的Jacobi迭代矩阵Jacobi迭代收敛（2）、Jacobi迭代矩阵=Jacobi迭代收敛2、讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性其中，解：Jacobi迭代法的迭代矩阵则Jacobi迭代收敛Gauss-Seidel迭代矩阵Gauss-Seidel迭代发散3、讨论下列迭代法的收敛性的G-S迭代解：，故B的谱半径，由迭代法收敛的充分必要条件知该迭代格式收敛第五章 非线性方程和方程组的数值解法1、给定函数，设对一切，存在且证明：，迭代过程均收敛于的根证明：的等价形式为则对应的迭代函数易证有根，故迭代过程收敛于的根2、证明：所产生的序列收敛于的根证：考虑区间所得序列收敛于的根，将看作新的迭代初值，则由知序列必收敛于的根3、利用适当的迭代格式证明证：考虑迭代式则显然记迭代函数1 2由迭代法的全局收敛定理（压缩映像原理）知所产生序列收敛于的根在上解方程得惟一根x=2。4、研究求的牛顿公式证明：对一切，且单调递减，从而收敛。分析，令由牛顿公式证：单调递减有下界，必收敛5、设，应如何选取才能使迭代式具有局部收敛性解：迭代格式局部收敛，设迭代序列的极限值为，则有得当由局部收敛定理知迭代格式局部收敛于当由局部收敛定理知迭代格式局部收敛于6、给出计算的迭代公式，讨论迭代过程的收敛性并证明解：令其中，中有n条分数线则：令显然，我们不妨在上讨论迭代式的收敛性：由全局收敛定理（压缩映像原理）所得序列必收敛于方程的根。解方程得即：第六章 插值法与数值微分1、设，且，求证证：以为插值节点进行线性插值，其插值多项式为由插值余项定理2、试构造一个三次Hermite插值多项式，使其满足：解：（法一）首先构造如下的基函数表函数值导数值01011000010000100001则：（法二）：令则3、确定一个不高于四次的多项式H(x)，使得：解：（法一）首先构造如下的基函数表函数值导数值012011000001000001000001000001则：（法二）令则得4、求三次多项式，使得解：令则5、求一个次数3的多项式，使得，解：令则由（1）得由（2）得由（3）得 （5）由（1）得 （6）把、代入（5）、（6）得、6、给出概率积分的数据表如下：0.460.470.480.490.4846550.4937450.5027500.511668试用拉格朗日插值法计算时，该积分值等于多少？解：记将看成的函数，以为插值节点作的3次插值多项式: 当时，概率积分7、利用在处函数值计算的近似值并估计误差.解： 过点（100，10）、（121，11）、（144，12），令则的二次Lagrange插值多项式第七章 数据拟合与函数逼近1、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合192531384419.032.349.073.397.8解：（法一）建立超定方程组即：解得（法二）利用公式建立正规方程组2、求形如的经验方式，使它能和下表数据相拟合1.001.251.501.752.005.105.796.537.458.46解：对经验方式作变换，有，令，为了用最小二乘法求出转化为1.001.251.501.752.001.6291.7561.8762.0082.135（法一）建立超定方程组即：得正规方程组即：解之得：3、解超定方程组解：由得正规方程组即：解之得第八章 数值积分1、用复化梯形求积公式求的近似值，问要将分成多少等分才能保证结果有四位有效数字，若用复化抛物线公式呢？解：要求结果有四位有效数字此处误差要使只需若用复化抛物线公式，则故：用复化梯形求积公式至少需要41等分才能保证结果有四位有效数字，而用复化抛物线公式只需2等分就可以保证结果有四位有效数字。2、对于积分，当要求误差小于时，用复化梯形公式计算所需节点数是多少？解： 要使，只需即：要使误差小于，至少要取5176个节点3、用Romberg方法求，使误差不超过解：01.859140911.75393111.718861221.72722191.71831881.718282731.72051861.71828421.71828181.71828184、用Romberg求积法求积分的近似值要求误差不超过解：，则04.000000012.00000000.53.20000000.253.76470590.752.56000000.1253.93846150.6252.87640450.8752.2654867按公式计算如下：03.000000013.10000003.133333323.13117653.14156783.142117633.13898853.14159253.14159413.141585843.14094163.14159273.14159273.1415926故为所求近似值5、分别用抛物线公式和三点高斯公式计算积分，并比较它们的精度，准确值为0.478267254解：设由抛物线（辛普森）公式由三点高斯公式而故与准确值比较知：Simpson公式的计算结果无有效数字；三点高斯公式有两位有效数字。6、确定如下求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出代数精度解：当时，左边 右边 左边=右边 当时，左边 右边 当时，左边 要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当即得或将代求积公式得当时，左边右边左边右边，故此时求积公式具2次代数精度；将代入求积公式得当，左边右边左边右边，故此时求积公式具2次代数精度综上：时，所得求积公式具最高代数精度2。第九章 常微分方程的数值解法1、用Euler预估校正格式求解初值问题要求步长，计算的近似值解：设Euler预估校正式为由计算得：2、用欧拉法解初值问题取步长，保留5位有效数字，并与准确解相比较解：欧拉公式如下：即：计算结果如下表所示10.100.0487710.04877120.20.100000.181270.08126930.30.280000.362370.08237240.40.496000.550670.05467150.50.697600.713500.01589560.60.848800.834700.01409970.70.939520.913710.02581480.80.981860.959240.03713290.90.996370.982580.013792101.00.999640.993260.0063783、对初值问题步长为时，用梯形公式得近似解，时，收敛于准确解解：又，故（准确值）由梯形公式4、取，用改进Euler法的预估校正式求解初值问题解：Eute预估校正式即：由出发，计算结果列于下表00111.01333310.21.0133331.0393031.05100620.41.0510061.0992881.10824830.61.1082481.1733831.17955240.81.1795521.2562161.26013051.01.2601301.3440971.34639561.21.3463955、已知，用Euler公式求各点上的近似值解：取步长由Euler公式得计算结果列于下表00.10.20.30.40.50.60.70.81.000001.000001.010001.029001.05611.090491.131441.178301.230470.91.01.287421.348686、取步长h=0.1，用Euler法求解如下初值问题并与精确解进行比较. xEuler法y改进的Euler法y精确解01.0000001.0000001.0000000.11.0000001.0959091.0954450.21.1918181.1840971.1832160.31.2774381.2662011.2649110.41.3582131.3433601.3416410.51.4351331.4164021.4142140.61.5089661.4859561.4832400.71.5803381.5525141.5491930.81.6497831.6164751.6124520.91.7177791.6781661.6733201.01.7847701.7378671.73205131