数值分析期末试题.doc

(完整word版)数值分析期末试题第一套一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组：二、（10分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=1,y(1)= 2,(0)=1, (1)=4三、（12分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式计算下列积分： n=4四、（10分）证明对任意参数t，下列龙格库塔方法是二阶的。五、（14分）用牛顿法构造求公式，并利用牛顿法求。保留有效数字五位。六、（10分）方程组AX=B 其中A= 试就AX=B建立雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法，并讨论a取何值时迭代收斂。七、（10分）试确定常数A,B,C,a,使得数值积分公式 有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。八、6分证明： 其中A为矩阵，V为向量.第二套 一、（8分）用列主元素消去法解下列方程组： 二、（12分）依据下列数据构造插值多项式：y(0)=(0)=0,y(1)=(1)= 1,y(2)=1三、（14分）分别用梯形公式和辛普生公式构造 复化的梯形公式、复化的辛普生公式,并利用复化的梯形公式、复化的辛普生公式及其下表计算下列积分： x0/122/123/124/125/12/2sinx0.000000.258820.500000.707110.866030.965931.00000四、（12分）证明下列龙格库塔方法是三阶的。 五、（10分）试确定常数A,B,C使得数值积分公式共 2 页 第 2 页 有尽可能多的代数精确度。并求该公式的代数精确度。六、（14分）用牛顿法构造求公式，验证其收敛性。并求1/ e(保留4位有效数字)。七、10分证明：设非负函数N(x)=为Rn上任意向量范数，则N(x)是x分量x1,x2,xn的连续函数.参考答案一、解：（8分）增广矩阵： (4分) 解得：x1=2/3, x2=-1/3 x3=1./2 （8分）二、解：（12分）注：直接待定系数简单，或者用牛顿茶商设 P(x)=0(x)y(0)+1(x) y(1)+2(x)y(2)+0(x) y(0)+1(x) y(1) (4分) 解得： 1(x)=x2(x-2)2 2(x)=(1/12)x2(x-1)2 1(x)=-x2(x-1)(x-2) (4分) P(x)= 1(x) y(1)+2(x)y(2)+1(x) y(1)= 1(x) +2(x)+1(x)= x2(x-2)2+(1/12)x2(x-1)2 +x2(x-1)(x-2) (4分) 三、解：（14分） 推证复化的梯形公式 (3分) 推证复化的辛普生公式 (3分)利用复化的梯形公式=0.96593利用复化的辛普生公式=1.000003 四、（12分）证明：k3=f(xn,yn)+2h/3f(xn,yn)+(2h/3)2f(xn,yn)/2+0(h2) (4分) yn+1=yn+h/4(3 k3+k1)= yn+ h f(xn,yn)+h2f(xn,yn)/2+h3/6f(xn,yn) +0(h3) (8分) yn+1*= yn+ h yn +h2yn/2+h3/6 yn +0(h3)yn+1 -yn+1*=0(h3)则该公式是三阶的 (12分) 五、解：（10分） 将1，x,x2代入原式得A+B+C=2 B+2C=2 B+4C=8/3 解得：A=1/3， B=4/3 C =1/3 (8分) 代数精确度为2 (10分)。 六、证明：（14分）1/x-c=0 Xk+1=xk-=xk(2-cxk)Xk+1-1/c=-c(xk-1/c)2设rk=1-cxk rk+1=rk2 反复递推 rk=(8分) 若选初值0x02/c 1这时rk趋近于0，从而叠代收敛 (10分)用牛顿法构造求1/ eX5=0.3679 （14分） 七、10分证明：设x=y= (4分) .(10分) 第三套一、 （10分）利用列主元素消去法解方程： 二、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的： 三、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5, 四、 （20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数: 五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分(n=8) 六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间1,1.5上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次二分；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。 七、（10分）设是中的任意范数，则有参考答案五、 （10分）利用列主元素消去法解方程：解： （5分）x1=139/20, x2=5/2, x3=-3/20 （10分）六、 （15分）证明下面龙格-库塔方法是三阶的： 证:（5分） （9分） （13分）y(xn+1)- yn+1=o(h3) （15分）七、 （10分）求3次插值多项式使：P(0)=3, P(1)=5, 解：设 （2分） （6分）3+4x-2x2+6x2(x-1) （10分）八、 （20分）确定下面公式中的a,b，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数: 解：将1,x，x2,x3代入（4分）得（10分）a=b=1/2（15分）将1,x，x2,x3,x4,x5代入公式的两端，可得该公式具有4次代数精确度。（20分）五、（20分）分别利用梯形公式和Simpson公式推导复化的梯形公式和Simpson公式，并分别利用复化的梯形公式和Simpson公式计算积分(n=8) 证: 利用梯形公式推导复化的梯形公式（5分）Simpson公式推导复化Simpson公式（10分）解：利用复化的梯形公式(n=8) =17.22774 （15分）Simpson公式计算积分 (n=8)=17.32222 （20分） 六、（15分）用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10在区间1,1.5上的根。（1）要得到具有3位有效数的近似根，须作几次；（2）用二分法求具有3位有效数的近似根。 解：须作3次（5分）将1,1.5 1，1.25, 1.25,1.5 f(1)0, f(1.25) 0, （10分） 将1.25,1.375二分为1.25,1.3125,1.3125,1.375 f(1.3125) 0（12分）1.3125,1.375的 中点为方程f(x)=x3+4x2-10的近似根（15分）七、设是中的任意范数，则有证: 设是的任意特征值，x为相应的向量, （2分）则, （8分）（10分）7