从集合角度看充要条件的理解.doc

(word完整版)从集合角度看充要条件的理解
从集合角度看充要条件的理解
湖南省武陵源一中 高飞 （高级教师） 段宏杰 邮编:427400 电话：[phone]
充要条件可以从集合的包含关系的角度来理解它们之间的对应关系，设满足条件p的对象组成的集合为P,满足条件q的对象组成的集合为Q.
（1） 若，则p为q的充分条件，其中当时，p为q的充分不必要条件；
（2） 若，则p为q的必要条件，其中当时，p为q的必要不充分条件；
（3） 若且,即P=Q，则p为q的充要条件；
（4） 如果以上三种关系均不成立,即P、Q之间没有包含或相等关系(且），此时或P、Q既有公共元素，也有非公共元素，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件。
例1 设p: ,q： ,则p是q的（ )
A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件
分析：先求出各个不等式的解集，再利用集合间的包含关系判断哪个选项正确。
解：对于p： ，即P=，对于q：
或

显然，则p是q的充分不必要条件，故选A。
评注:本题考查二次不等式，分式不等式的解,以及运用集合知识判断充分、必要条件,准确理解不等式的解集是关键.
例2．命题“”的一个充分不必要条件是（ )
A。 B。 C. D.
解：的解集是A=，显然是A的真子集，故选D。
评注：在判断充分条件、必要条件时,首先应弄清哪一个是“条件"，哪一个是“结论”,因为同样是,如果A是条件，B是结论，则A是B成立的充分条件；如果B是条件，A是结论,则B是A成立的必要条件,其次在判断究竟是条件蕴含结论，还是结论蕴含条件时，要判断到底想哪一边推出才成立，明确了这两点，就不难对问题作出正确的判断.
例3 设集合A=，B=,若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 ( ）
A，或 B, C， D,
解析:化简集合A=，B=当a=1时，B=，当时，或，解之得或。
所以当时，取其补集为。
评注：本题把条件“”问题转化为逆向考俞“"的条件（从反面入手），使问题破解，即正难则反。
例4．已知p: ，q: ,若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围。
解析：由得，所以“q”所表示的集合为
A= ;由得,所以“p"所表示的集合为B=，由非p是非q的必要不充分条件知，非p非q但非q非p，其逆否命题是:但，故BA
，故m的取值范围为。
评注:复杂的推理问题常采用等价转化思想,可使问题简单化,具体化，互为逆否命题是等价命题，再转化为集合包含关系求解,这种转化思想重要，要注意灵活应用。
练习：1.已知p:， q: ，则p是q的（ )
A. 充分不必要条件 B。必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B。 C. D。
3．设命题p: ,命题q： ,若非p是非q的必要而不充分条件，求实数的取值范围。
4，设p:，q： 则p是q的（ ）
A。 充分不必要条件 B。必要不充分条件 C。充要条件 D。既不充分也不必要条件
答案：1。A 2。D 3.，4，A P=，Q={x｜x〈-2或—1<x〈2｝。