山东大学《材料力学》教案.pdf

材料力学教案山东大学土建与水利学院 工程力学系目录第一篇基本内容第一章 绪论第二章 杆件的内力截面法第三章 杆件的应力与强度计算第四章 杆件的变形简单超静定问题第五章 应力状态分析强度理论第六章 组合变形第七章 压杆稳定第八章 交变应力与疲劳极限第二篇加深与扩展内容第九章 能量法第十章超静定结构第十一章动载荷第十二章 扭转与弯曲的几个补充问题第十三章应力与应变分析第十四章 含裂纹构件的断裂第十五章平面图形的几何性质第1章绪论一、基本要求1.了解材料力学的任务；2.理解对变形固体的基本假设；3.理解内力、应力、应变等基本概念;4.了解杆件变形的基本形式。二、内容提要1.材料力学的任务1）术语载荷作用于结构上的主动力统称为载荷或荷载结构建筑物或机械承受载荷时起骨架作用的部分构件结构的组成部分2）构件的三项基本要求足够的强度：构件在外载作用下，抵抗破坏的能力。足够的刚度：构件在外载作用下，抵抗变形的能力。稳定性要求：构件在压力载荷作用下保持原有平衡状态的能力。3）材料力学的任务（1）研究构件的强度、刚度和稳定性；（2）研究材料的力学性；（3）合理解决安全与经济之间的矛盾。4）材料力学的的研究方法（1）理论分析（2）实验研究2.变形固体的基本假设1）变形固体固体因受外力作用而变形，故称为变形固体。材料力学研究 对象是变形固体。2）变形固体的基本假设连续性假设：假设组成固体的物质不留空隙地充满了整个体积，故固体在其 整个体积内是连续的。可把力学量表示为固体点的位置坐标的连续函数。均匀性假设：假设固体内到处有相同的力学性能。从而可用局部反映整体。各向同性假设：假设沿任何方向固体的力学性能都相同。小变形3.基本概念1）内力 在外力作用下，物体内部各部分之间相互作用力的变化量称为附 加内力，简称内力。2）截面法用截面假想地把构件分成两部分,以显示并确定内力的方法。用截面法求内力的步骤为：（1）截开 在欲求内力的截面处假想将杆件分为两部分，留下一部分（一 般为外力较少的一部分）为研究对象。（2）代替用内力代替弃去部分对留下部分的作用力；（3）平衡由留下部分的平衡条件，确定未知的内力。3）应力平均应力单位面积上的内力。NFPm=Y7(1.1)（1.2）正应力垂直于截面的应力分量，用符号。表示。切应力相切于截面的应力分量，用符号r表示。应力的量纲：国际单位制：Pa（N/m2）、MPa、GPa工程单位制：kgf/m2 kgf/c m2(1.5)(1.4)图1.4杆件 轴线是p=lim=lim=A3户 ADA4 d A4）变形在载荷作用下，构件的尺寸和形状发生变化 称为变形。5）应变线应变 单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是 构件上一点沿某一方向变形量的大小。平均线应变MN-MN uMNs(1.3)线应变切应变=limMNf OMN MN v Aw-=lim MN zo As一点单元体两棱直角的改变量。y=lim-ALMKMJ)一4.杆件变形的基本形式1）杆件：长度远大于横向尺寸的构件，称为杆件。主要几何因素是横截面和轴线，其中横截面是与轴线垂直的截面;全应力横截面形心的连线。直杆轴线为直线的杆。曲杆轴线为曲线的杆。等直杆 横截面的形状和大小不变的直杆。2）杆件的基本变形形式（1）拉伸（或压缩）（图1.6（a）受力：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相 形心轴线(a)图1.5反，且与杆件轴线重合。变形：杆件变形是沿轴线的方向伸长或缩短。(2)剪切(图 1.6(b)受力：杆件两侧作用大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。变形:杆件的两部分沿外力作用方向发生相对错动，由矩形变为平行四边形。图1.6(3)扭转(图 1.6(c)受力：在垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。变形：杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。(4)弯曲(图 1.6(d)受力：在包含杆轴的纵向平面内作用一对大小相等、方向相反的力偶或在垂 直于杆件轴线方向作用横向力。变形：杆件轴线由直线变为曲线。组合变形：杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。第2章杆件的内力、截面法一、基本要求1.了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2.掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力;3.熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。二、内容提要1.轴向拉伸和压缩1)轴向拉伸或压缩的概念受力特点：外力或合外力与轴线重合;变形特点：杆件产生沿轴线方向的伸长或缩短。计算简图为：TH三三三3图2-12)轴向拉压时，杆件截面上分布内力系的合力的作用线与杆件轴线重合，称为 轴力。一般用网表示，单位为牛顿(N)。轴力的正负号规定：拉为正，压为负。3）表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。该图一般以平行于杆件轴线的横坐标%轴表示横截理位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。正的轴力画在轴上 方，负的轴力画在轴下方。2.扭转1）扭转的概念受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反 的外力偶。变形特点：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的杆件称为轴。计算简图为:2）外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功 率尸来计算。当功率尸单位为千瓦（kW）,转速为（r/min）时，外力偶矩为Me=9549(N.m)当功率尸单位为马力（PS）,转速为（r/min）时，外力偶矩为PMe=7024-(N.m)3）扭矩、扭矩图当外力偶矩已知，利用截面法可求任一横截面上的内力偶矩一扭矩，用T表扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）。表示扭矩随杆件轴线变化规律的图线称为扭矩图。扭矩图作法与轴力图相 似。正的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在X轴下方。3.弯曲内力1）基本概念 纵向对称面弯曲变形:杆件在垂直于其轴线的载荷作用 尸 J下，使原为直线的轴线变为曲线的变形称为弯曲变至少有一根对称轴，因而整个杆件有一个包含轴线 的纵向对称面。若所有外力都作用在该纵向对称面 内时，梁弯曲变形后的轴线将是位于该平面内的一条(C)图力4曲线，这种弯曲形式称为对称弯曲。其力学模型如图2-3所示。2）梁的计算简图静定梁：所有支座反力均可由静力平衡方程确定的梁。静定梁的基本形式有简支梁、悬臂梁、外伸梁。计算简图分别如图2-4（a）、（b）、（c）所示。3）剪力和弯矩剪力：受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布内力系的合力，称为剪力，用Fs表示o弯矩：受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩，称为 弯矩，用表示。剪力和弯矩的正负号规定：从梁中取出长为&的微段，若横截面上的剪力 使公微段有左端向上而右端向下的相对错动趋势时，此剪力晶规定为正，反之 为负（或使梁产生顺时针转动的剪力规定为正，反之为负），如图2-5（a）、（b）所示；若弯矩使公微段的弯曲变形凸向下时，截面上的弯矩”规定为正，反之 为负（或使梁下部受拉而上部受压的弯矩为正，反之为负），如图2-5（c）、（d）图2-5所示。根据内力与外力的平衡关系，若外力对截面形心取矩为顺时针力矩，则该力 在截面上产生正的剪力，反之为负的剪力（顺为正，逆为负）；固定截面，若外 力或外力偶使梁产生上挑的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为 负的弯矩（上挑为正，下压为负）。4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。若以坐标工 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为的函数，即 Fs=4（%）M=M（x）上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力尻和弯矩沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的 横坐标表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和 弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。其步骤为：第一，求支座反力。第二，根据截荷情况分段列出入和 W）在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和 弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。第三，求控制截面内力，作网、图。一般每段的两个端点截面为控制截 面。在有均布载荷的段内，吊=0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其 弯矩值。将控制截面的内力值标在的相应位置处。分段点之间的图形可根据剪力 方程和弯矩方程绘出。并注明氏、M|的数值。（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和 弯矩图。载荷集度9（%）、剪力Fs（x）与弯矩闻（龙）之间的关系为：d Fs(x)d x=g(%)竽觊）axd2M(x)_ d Fs(x)d x2 d xg)根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。（a）若某段梁上无分布载荷，即以%）=0,则该段梁的剪力吊（）为常量，剪 力图为平行于1轴的直线；而弯矩（%）为的一次函数，弯矩图为斜直线。（b）若某段梁上的分布载荷g（%）=q（常量），则该段梁的剪力死（）为的 一次函数，剪力图为斜直线；而（%）为1的二次函数，弯矩图为抛物线。当夕0（9向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当夕0（q向下）时，弯矩图为向上凸 的曲线。若某截面的剪力凭（%）=0,根据华义=0,该截面的弯矩为极值。d x利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利 用微分关系直接绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步 骤如下：第一，求支座反力（对悬臂梁，若从自由端画起，可省去求支反力）；第二，分段确定剪力图和弯矩图的形状；第三，求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图；第四，确定胤|和IM o I I max I I maxFS可能出现的地方：集中力分作用处；支座处。可能出现的 I Imax I Imax地方：剪力月=0的截面；集中力尸作用处；集中力偶作用处。6）平面刚架和平面曲杆的弯曲内力刚架：杆系结构若在节点处为刚性连接，则这种结构称为刚架。平面刚架：由在同一平面内、不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组 成的结构。各杆连接处称为刚节点。刚架变形时，刚节点处各杆轴线之间的夹角保持不变。静定刚架：凡未知反 力和内力能由静力学平衡条件确定的刚架。平面刚架各杆的内力，除了剪力和弯矩外，一般还有轴力。作刚架内力图的 方法和步骤与梁相同，但因刚架是由不同取向的杆件组成，习惯上按下列约定：弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。剪力图及轴力图可画在刚架轴 线的任一侧（通常正值画在刚架外侧），且必须注明正负号；剪力正负号的规定 与梁相同，轴力仍以拉伸为正，压缩为负。平面曲杆：轴线为一平面曲线的杆。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力 图的绘制方法，与刚架相类似。三、典型例题分析例2-1在图2-6（a）中，沿杆件 轴线作用厂1、尸2、尸3、居。已知：乃=6kN,产2=18kN,尸3=8kN,尸4=4kN。试求各段 横截面上的轴力，并作轴力图。解：1.计算各段轴力4。段：以截面1-1将杆分为两段,取左段部分（图（b）。由Z4=0得FN1=F1=6kN（拉力）CD段：以截面2-2将杆分为两段,取左段部分（图（c）。由Z4=0得FN2=F-F2=-12Fi 1 Fz 2 Fs Ft图2-6kN（压力）国2的方向与图中所示方向相反。段：以截面3-3将杆分为两段，取右段部分（图（d）。由Z工=。得FN3=-工=-4kN（压力）FN3的方向与图中所示方向相反。2.绘轴力图以横坐标工表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上的轴力网，选取适当比 例，绘出轴力图（图（e）。在轴力图中正的轴力（拉力）画在1轴上侧，负的 轴力（压力）画在轴下侧。例2-2传动轴在图2-7（a）所示。主动轮4输入功率为Pz=36kW,从动 轮8、C、Q输出功率分别为尸8=&=111,尸。=141解）=，得图2-8口 Fb 口 Fa fa=-,fb=t2.列剪力、弯矩方程在力。段内，Fs(x)=Fa=y,(0 x a)M(x)=FA-X=x a)在国段内4(%)=-3=-M(x)=FB(l-x)=-(l-x),(ax /)3.求控制截面内力，作剪 力图、弯矩图。外图：在力。、CS段内，剪力方程均为常数，因此两段剪力图均为平行于1 轴的直线。在集中力产作用处，4c左二一了，4c右=7，左、右两侧截面的 剪力值发生突变，突变量=与-(-牛)=；图：在力c、C8段内，弯矩方 程用(%)均是1的一次函数，因此两段弯矩图均为斜直线。求出控制截面弯矩 Ma=Mb=O,Mc=笄,标在-X坐标系中，并分别连成直线，即得该梁的 弯矩图。显然在集中力尸作用处左、右两侧截面上弯矩值不变，但在该截面处弯 矩图斜率发生突变，因此在集中力?作用处弯矩图上为折角点。例2-4受均布载荷作用的简支梁，如图2-9 所示，试作梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力FAy=FBy=q l/22.列剪力、弯矩方程Fsx =FAy-q x=-q x x l)乙M(x)=FAy,x-q x,j=?*x-%(c)(b)M1/8 ziTHWiTiN图2-93.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。Fs=冬 F岫=M(O)=O,M(/)=O,JVf8F=巫 m=Smax 2，max g在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且在Fs=0处弯矩取得极值。例2-5如图2-10所示简支梁，在。点处受矩为砥的集中力偶作用，试作 梁的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力由平衡方程户）=0和Z”“（*）=得2.列剪力、弯矩方程在AC段内%(%)=牛M1(x)=FAy-x=-x,(0 x a)/在BC段内FS2(x)=FBy=Xax l)IM1x =-FBy(l-x)=-r-(l-x),(ax l)3.求控制截面内力，作剪力图、弯矩图。%(0)=/(/)=-学M(O)=M(/)=O,M左=一,M广也 I I在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变,突变值为-竿Me，而剪力图无改变。例2-6如图2-11所示简支梁。试写出梁 的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩 图。解：1.求支反力。由平衡方程Mb（F）=0和图2Tl(户)=0求得厂 3 7 厂 1 7死二6，Fb=q i o o2.列剪力、弯矩方程AC段：3 IFs(x)=Fa q x=-q l-q x(0 x -)o 2i 3 i/Mx =FAx-q x2=-q l x-q x2(0 x -)Z o Z ZCB段：Fs(x)=-Fb=.q lM(x)=Ff i(Z-x)=|(1xZ)3.求控制截面内力，绘。、图理图：AC段内，剪力方程展(%)是1的一次函数，剪力图为斜直线，求出两7 1个端截面的剪力值，FSA=-q l,Fsc=-q l,标在4-1坐标系中，连接两点 8 8即得该段的剪力图。CB段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，连一水平线即为该段剪力图。梁AB的剪力图如图2-ll(b)所示。图：AC段内，弯矩方程(%)是的二次函数，弯矩图为二次曲线，求 出两个端截面的弯矩，此=0,%=上”，分别标在坐标系中。在4=。163处弯矩取得极值。令剪力方程展(x)=0,解得x=2/,求得8标在-1坐标系中。根据上面三点绘出该段的弯矩图。CB段内，弯矩方程(%)是的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，标在坐标系中，并连成直线。AB梁的图如图2-ll(c)所示。例2-7梁的受力如图2-12(a)所示，试利用微分关系作梁的&、图。解：1.求支反力。尸,Fb 一 f=3kN|1 必 N.m 9=10kN/m i由平衡方程熊=和J!TI“”7咙Z也(户)=0求得.0.6m：0.6m 好|1 t L2mFa=10kN,Fb=5kN2.分段确定曲线形状(b)由于载荷在4、。处不连续，应将梁 分为三段绘内力图。(C)图 2-12根据微分关系叱0=式%),啰=&(%)，之用=叱0=q(x),在 d x d x d x d xC4和40段内，q=0,剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；。8段内，g=常数，且为负值，剪力图为斜直线，图为向上凸的抛物线。3.求控制截面的内力值，绘4、M图4图：4c右=-3kN,4“右=7kN,据此可作出C4和/。两段人图的水平线。4。右=7kN,43左=5kN,据此作出。8段4图的斜直线。“图：Mc=0,Ma&=-1.8KN-m,据此可以作出C4段弯矩图的斜直线。A支座的约束反力巳只会使截面A左右两侧剪力发生突变，不改变两侧的弯矩 值，故左=四)右=1.8KN-m,MD&=2.4kN-m,据此可作出40段弯 矩图的斜直线。处的集中力偶会使。截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求 出。右=-1.2KN.m,Mb=0；由D8段的剪力图知在处4=0,该处弯矩 为极值。根据BE段的平衡条件4=0,知8E段的长度为0.5m,于是求得 Me=1.25kN-m。根据上述三个截面的弯矩值可作出。3段的M图。对作出的居、图要利用微分关系和突变规律、端点规律作进一步的校核。如。3段内的均布载荷为负值，该段居图的斜率应为负；C4段的4为负值，该 段图的斜率应为负；段的4为正值，该段图的斜率应为正；支座4处 剪力图应发生突变，突变值应为10kN；。处有集中力偶，。截面左右两侧的弯 矩应发生突变,而且突变值应为3.6kN-m；支座8和自由端C处的弯矩应为零等。例2-7刚架受力如图2-13(a)所示。试绘出刚架的内力图。解：1,分段列出内力方程对C/段距右端为修的截面不&)=0,4%)=-尸，(%)=a)对以段距8端为2的截面综(X2)=尸，7(x2)=q x2,Af(x2)=Ftz-x22(0 x21)22.作内力图由内力方程绘出内力图，稣图和4图可以画在杆轴的任一侧，一般正值画 在刚架外侧，并标明正负号。弯矩图画在各杆的受压一侧，且不注明正、负号。例2-8曲杆受力如图2-14(a)示。试绘出曲杆的弯矩图图 2-14解：1.建立内力方程用圆心角为19的横截面取隔离体，其受力图如图2-14(b)所示。由平衡条 件求得(6)二尸Hsin 04。工%心(g)=_尸 sin g J(3)绘曲杆内力图由内力方程绘出的内力图如图(c)、(d)、(e)所示。第3章应力与强度计算一.内容提要本章介绍了杆件发生基本变形时的应力计算，材料的力学性能，以及基本变形的强度计 算。1.拉伸与压缩变形i.i 拉（压）杆的应力i.i.i 拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力b,且为平均分布，其计算公式为式中外为该横截面的轴力，A为横截面面积。正负号规定拉应力为正，压应力为负。公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不 均匀；（4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角。20时，可应用式（3-1）计算，所得结果的误差约为3%。1.1.2 拉（压）杆斜截面上的应力（如图3-1）拉压杆件任意斜截面（a图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 pa=(yc o sa(3-2)正应力 Ja=（7c o s2a（3-3）切应力 7“=Lsin 2。（3-4）2式中o为横截面上的应力。正负号规定：。由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。（Ja 拉应力为正，压应力为负。%对脱离体内一点产生顺时针力矩的%为正，反之为负。两点结论：(1)当。=0时，即横截面上，达到最大值，即(4)=0-0当。=90时，即a a/ma x纵截面上，3=90=0。(2)当。=45时，即与杆轴成45的斜截面上，%达到最大值，即(%)=区2。1.2拉(压)杆的应变和胡克定律(1)变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。如图3-2 o图3-2轴向变形 A/=Z,-/轴向线应变 吟横向变形 Ab=b1-b横向线应变=半b正负号规定伸长为正，缩短为负。(2)胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。即a=Es(3-5)或用轴力及杆件的变形量表示为1=(3-6)EA式中EA称为杆件的抗拉(压)刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即；(b)在计算/时，/长度内其M及4均应为常量。如杆件上各段不同，则应分段计算,求其代数和得总变形。即7黑(3-7)(3)泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。即(3-8)1.3 材料在拉（压）时的力学性能1.3.1 低碳钢在拉伸时的力学性能 应力应变曲线如图3-3所示。图3-3低碳钢拉伸时的应力一应变曲线卸载定律:在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。如图3-3中AT直线。冷作硬化：材料拉伸到强化阶段后，卸除荷载，再次加载时，材料的比例极限升高，而 塑性降低的现象，称为冷作硬化。如图3-3中小到曲线。图3-3中，o f,为未经冷作硬化，拉伸至断裂后的塑性应变。d f）为经冷作硬化，再拉伸至断裂后的塑性应变。四个阶段四个特征点，见表1-1。表1-1低碳钢拉伸过程的四个阶段阶 段图1-5中线段特征点说 明弹性阶段o ab比例极限瞑弹性极限O；bp为应力与应变成正比的最高应力%为不产生残余变形的最高应力屈服阶段be屈服极限bsq为应力变化不大而变形显著增加时的最低应力强化阶段c e抗拉强度与%为材料在断裂前所能承受的最大名义应力局部形变阶段ef产生颈缩现象到试件断裂表1-1主要性能指标，见表1-2。表1-2主要性能指标性能性能指标说明弹性性能弹性模量E当（T。时，E=强度性能屈服极限5，材料出现显著的塑性变形1.3.2低碳钢在压缩时的力学性能抗拉强度材料的最大承载能力塑性性能延伸率5=1x100%材料拉断时的塑性变形程度4 4截面收缩率w=ylx 100%材料的塑性变形程度图3-4低碳钢压缩时的应力一应变曲线应力一一应变曲线如图3-4中实线所示。低碳钢压缩时的比例极限屈服极限。,、弹性模量E与拉伸时基本相同，但侧不出抗压强度/1.3.3 铸铁拉伸时的力学性能图3-5铸铁拉伸时的应力一应变曲线应力应变曲线如图3-5所示。应力与应变无明显的线性关系，拉断前的应变很小，试验时只能侧得抗拉强度b2弹性模量E以总应变为0.1%时的割线斜率来度量。1.3.3 铸铁压缩时的力学性能应力应变曲线如图3-6所示。图3-6铸铁压缩时的应力一应变曲线铸铁压缩时的抗压强度比拉伸时大45倍，破坏时破裂面与轴线成4535。宜于做 抗压构件。1.3.4 塑性材料和脆性材料延伸率55%的材料称为塑性材料。延伸率b5%的材料称为脆性材料。1.3.5 屈服强度/对于没有明显屈服阶段的塑性材料，通常用材料产生0.2%的残余应变时所对应的应力 作为屈服强度，并以bo?表示。1.4 强度计算许用应力材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。塑性材料。=乙；脆性材料。=恐4%其中%,附称为安全系数，且大于1。强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。对轴向拉伸(压缩)杆件c r=max 6的圆形截面，Wz=D 对于内外径之比为。=4的环形截面，=D3（l-tz4）o z 32 D z 32若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大 拉应力与最大压应力数值不相等。3.2 梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为（3-19）max 郎 L J由正应力强度条件可进行三方面的计算：（1）校核强度 即已知梁的几何尺寸、材料的容许应力以及所受载荷，校核正应力是否超过容许值，从而检验梁是否安全。（2）设计截面 即已知载荷及容许应力，可由式例之年写确定截面的尺寸（3）求许可载荷 即已知截面的几何尺寸及容许应力，按式“max色确定许可载荷。对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T字形截面、上下不等边 的工字形截面等），其强度条件应表达为_ max,/_ 1b/max=J1(3-20a)_ _ max,/一 Iby max-J%-Qc(3-20b)式中，?,b/分别是材料的容许拉应力和容许压应力；%,为分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。若梁上同时存在有正、负弯矩，在最大正、负弯矩的横截面上均要进行强度计算。3.3 梁的切应力T=（3-21）式中，Q是横截面上的剪力；S；是距中性轴为y的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩;/z是整个横截面对中性轴的惯性矩；b是距中性轴为y处的横截面宽度。3.3.1 矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。切应力计算公式最大切应力发生在中性轴各点处，rmax=-0max 2 A3.3.2 工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的9597%,因此截面上的剪力主要由腹 板部分来承担。切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。计算公式为,喷(炉 T2)+聘*-23)式中各符号可参看。另外，沿翼缘水平方向也有不大的切应力，计算公式为T=-(3-24)27,翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化，并与腹板部分的竖向剪切应力形成 所谓的剪应力流。由于这部分切应力较小，一般不予考虑，只是在开口薄壁截面梁的弯曲中 才用到它。3.3.3 圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛 物线变化。最大切应力发生在中性轴上，其大小为九d 2 IdT鸣，丁工,2l b 万屋 3 A z-x d64圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。3.4 切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即Q S*上max 2 z max 廿 T J(3-25)(3-26)式中，Qmax是梁上的最大切应力值；S；max是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；4是横 截面对中性轴的惯性矩；b是ax处截面的宽度。对于等宽度截面，7ax发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，/ax不一定发生在中性轴上。切应力强度条件同样可以进行强度校核、设计截面和求许可载荷三方面的计算。在进行梁的强度计算时，应注意下述二个问题。(1)对于细长梁的弯曲变形，正应力的强度条件是主要的，剪应力强度条件是次要的。一般仅需考虑正应力强度条件。对于较粗短的梁，当集中力较大时，截面上剪力较大而弯矩 较小，或是薄壁截面梁时，需要校核切应力强度。(2)正应力的最大值发生在横截面的上下边缘，该处的切应力为零；切应力的最大值 一般发生在中性轴上，该处的正应力为零。对于横截面上其余各点，将同时存在正应力和切 应力，这些点的强度计算，应按强度理论计算公式进行。3.5 提高弯曲强度的主要措施3.5.1 选择合理的截面形式由公式(3-20)可知，梁所能承受的最大弯矩与抗弯截面系数叫成正比。在截面面积相同的情况下，改变截面形状以增大抗弯截面系数名,从而达到提高弯曲强度的目的。w W为了比较各种截面的合理程度，可用抗弯截面系数与截面面积的比值要来衡量，A A比值愈大，截面就愈合理。在选择截面形状时，还要考虑材料的性能。对于由塑料材料制成的梁，因拉伸与压缩的 容许应力相同，以采用中性轴为对称轴的截面。对于由脆性材料制成的梁，因容许拉应力远 小于容许压应力，宜采用T字形或II形等中性轴为非对称轴的截面，并使最大拉应力发生 在离中性轴较近的的边缘处。352用变截面梁一般的强度计算是以危险截面的最大弯矩max为依据的，按等截面梁来设计截面尺寸，这显然是不经济的。如果在弯矩较大的截面采用较大的尺寸，在弯矩较小的截面采用较小的 尺寸，使每个截面上的最大正应力都达到容许应力，据此设计的变截面梁是最合理的，称为 等强度梁。3.5.3 改善梁的受力状况合理布置梁上的载荷和调整梁的支座位置，使梁的最大弯矩变小，也可达到提高弯曲强 度的目的。4.剪切及其实用计算4.1 剪切的概念剪切定义为相距很近的两个平行平面内，分别作用着大小相等、方向相对(相反)的两 个力，当这两个力相互平行错动并保持间距不变地作用在构件上时，构件在这两个平行面间 的任一(平行)横截面将只有剪力作用，并产生剪切变形。4.2 剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的，则名义切应力为T=(3-27)A剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的许用切应力上,即t=(3-28)A i利用式(3-28)对构件进行剪切强度校核、截面设计和许可载荷的计算。5.挤压及其实用计算5.1 挤压的概念挤压两构件接触面上产生的局部承压作用。挤压面相互接触压紧的面。挤压力 承压接触面上的总压力，用尺s表示。5.2 挤压的实用计算名义挤压应力假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则。加=冬瓦 329)式中，41s表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。当 挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上 的投影面积。挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力P0加=r-%4s(3-30)利用式(3-29)对构件进行挤压强度校核、截面设计和许可载荷的计算。二.基本要求1.拉伸与压缩变形1.1 熟练掌握应力的计算，理解胡克定律。L2 了解常用材料在拉伸和压缩时的机械性质及其测量方法。L3理解许用应力、安全系数和 强度条件，熟练计算强度问题。2.扭转变形2.1 理解纯剪切的概念、切应力互等定理和剪切胡克定律。2.2 理解圆轴扭转时应力公式推导方法，并熟练计算扭转应力。2.3 理解圆轴扭转强度条件的建立方法，并熟练计算强度问题。3.弯曲变形3.1 理解弯曲正应力的概念及其公式推导方法，熟练掌握弯曲正应力及强度问题。3.2 理解弯曲切应力的概念及其公式推导方法，掌握简单截面梁弯曲切应力的计算及弯 曲切应力强度条件。4.剪切与挤压变形：了解剪切和挤压的概念，熟练掌握剪切和挤压的实用计算方法。5.熟练掌握常用截面的形心、静矩、惯性矩的计算及平行移轴公式。三.补充例题例1.杆系结构如图所示，已知杆AB、力。材料相同，c r=160 MPa横截面积分别为出=706.9 mm2,A2=314mm2,试确定此结构许可载荷田。图 2-22解：（1）由平衡条件计算实际轴力，设48杆轴力为NC杆轴力为TV?。对于节点A,由ZX=O得由强度条件计算各杆容许轴力N2 sin45=N1 sin30(a)由ZY=O得N c o s30+N2 c o s45=P(b)由于/8、ZC杆不能同时达到容许轴力，如果将N，代入（2）式，解得 o-=706.9x 160 x 106 x 10-6=113.IkN(c)2 V2 2o-=31 4x1 60 x1 06 x1 0-6=50.3 kN(d)显然是错误的。正确的解应由（a）、（b）式解得各杆轴力与结构载荷P应满足的关系忸=133.5 kN（2）根据各杆各自的强度条件，即N2N?计算所对应的载荷忸,由2PN.=产=0.732尸(e)1+V342PN2=-H=0.518P(f)1+V3要保证48、4c杆的强度，应取（g）、（h）二者中的小值，即舄,因而得(c)、(e)有N、N=4b=113.1kN0.732P113.1kN忸心 154.5 kN(g)由（d）、（f）有N24凶2卜 42 H=50.3 kN0.518P50.3kN/T.A 7t d t 所以Pt-=1.04 c m7c d zb困3-8例3.2.5加3挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键连接，已知键所受的力为P=12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm,h=16mm,12=70mm,圆头半径R=14mm（如 图）o键的许用切应力|r=87MPa,轮毂的许用挤压应力取o加=100MPa,试校核键连 接的强度。解：（1）校核剪切强度 键的受力情况如图c所示，此时剪切面上的剪力（图d）为Q=P=12.1kN=12100N对于圆头平键，其圆头部分略去不计（图3 10e）,故剪切面面积为A=bl p=b（l 22R）=2.8（7-2x 1.4）=11.76c m2=11.76x l 0-4m2所以，平键的工作切应力为Q 1210011.76乂10-4=10.3 x 106Pa=10.3MPa r=87MPa满足剪切强度条件。（2）校核挤压强度与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱。轮毂挤压面上的挤压力为P=12100Nh挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为3,则挤压面面积（图。为4=。=与（7.0 2x1.4）=3.36c m2=3.36x l 0-4m2故轮毂的工作挤压应力为P 12100吁 3.36 x l 04二36 义 106Pa=36MPa o加=l OOMPa也满足挤压强度条件。所以，此键安全。例4/8轴传递的功率为N=7.5kW,转速,4 n=360r/min o如图所示，轴ZC段为实心圆截 面，CB段为空心圆截面。已知。=3c m,d=2c m o试计算AC以及CB段的最大与最小剪 应力。解：（1）计算扭矩 轴所受的外力偶矩为N 7 5m=9550=9550=199N-mn 360图 4-12由截面法T=m=199N-m(2)计算极惯性矩AC段和CB段轴横截面的极惯性矩分别为Ipi兀Da 32=7.95 c m4IP2=(r)4-t/4)=6.38c m432(3)计算应力ZC段轴在横截面边缘处的剪应力为t n7郡二或c -=37.5x l O6 Pa=37.5MPaI pi 2tac=0 minCB段轴横截面内、外边缘处的剪应力分别为端=：=3L2 x l O6Pa=3L2MPa1P2 Z产=max=46.8 x 106 Pa=46.8MPa 2第4章 杆件的变形、简单超静定问题一、基本要求1.熟练掌握拉（压）杆变形计算2.熟练掌握圆轴扭转变形计算与刚度条件3.掌握积分法求梁的弯曲变形4.熟练掌握叠加法求弯曲变形与梁的刚度计算5.理解超静定概念，熟练掌握简单超静定问题的求解方法6.了解弹性体的功能原理，掌握杆件基本变形的应变能计算 二、内容提要1.拉（压）杆的轴向变形、胡克定律拉（压）杆的轴向变形为式中/、乙分别为变形前、后杆的长 度。当杆的应力不超过材料的比例极限时，可以应用胡克定律计算杆的轴向变形，即7图4.1式中，口称为杆件的抗拉（压）刚度。显然，轴力网为正时，/为正，即伸长变形；轴 力为为负时，1为负,即缩短变形。公式（4.1）的适用条件：（1）材料在线弹性范围，即c rbp；（2）在长度/内，/，。Z均为应力常量。当以上参数沿杆轴线分段变化 时，则应分段计算变形，然后求代数和得总变形。即(4.2)当网，Z沿杆轴线连续变化时，式（4.2）化为1=Jo EA（x）(4.3)2.拉压超静定问题定义 杆系未知力的数目超过静力平衡方程的数目，仅用静力平衡方程不能 确定全部未知力。这类问题，称为超静定问题，或静不定问题。超静定问题的求解方法根据变形协调条件建立变形几何方程，将变形与协 调关系与力之间的物理关系带入几何方程得到补充方程，再与静力平衡方程联立 求解，可得到全部未知力。解题步骤：(1)画出杆件或节点的受力图，列出平衡方程，确定超静定次数；(2)根据结构的约束条件画出变形位移图，建立变形几何方程；(3)将力与变形间的物理关系代入变形几何方程，得补充方程；(4)联立静力平衡方程及补充方程，求出全部未知力。超静定结构的特点：(1)各杆的内力按其刚度分配；(2)温度变化，制造不准确与支座沉陷等都可能使杆内产生初应力。3.圆轴的扭转变形与刚度条件 超静定问题1,变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。相距为/的两个横截面的相对扭转角为若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为77(P=gd)(4.5)p式中G/p称为圆轴的抗扭刚度。显然，(p的正负号与扭矩正负号相同。公式(4.4)的适用条件：(1)材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即7盯；(2)在长度/内，T、G、。均为常量。当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。即夕=#(rad)(4.6)j=i GJ B当T、/p沿轴线连续变化时，用式(4.4)计算。2,