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(完整版)立体几何专题复习讲义资料1平行关系例题讲解：例1:已知四面体ABCD中,M、N分别是ABC和ACD的重心，求证：(1)MN平面ABD;(2)BD平面CMN。答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证MNEFBD例2。已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面内,顶点B、C在平面的上方,BD为AC边上的中线，B、C到平面的距离BB1=2，CC1=4(1）求证：BB1平面ACC1（2）求证:BD平面ACC1(3)求四棱锥ABCC1B1的体积答案与提示：（3)30例3.已知PA平面ABCD,四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点。(1) 求证：MN平面PAD；(2) 求证：MNCD;DCBMANP(3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为，问能否确定的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.答案与提示：(3）45备用题如图，在三棱锥PABC中,PA面ABC，ABC为正三角形， D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2，(1)如何在BC上找一点F，使AD平面PEF？说明理由;(2)对于（1)中的点F,求二面角P-EFA的大小；答案与提示:（1）F为CD中点（2）arctan2作业在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1,B，M三点的平面交C1D1于点N。(1)求证:EM平面ABCD；（2）求二面角BA1NB1的正切值。答案与提示：(2）arctan2垂直关系例题讲解：例1:如图,在三棱锥PABC中，AB=BC=CA，PA底面ABC，D为AB的中点(1）求证：CDPB;(2）设二面角APB-C的平面角为，且tan=,若底面边长为1,求三棱锥P-ABC的体积BAPDC答案与提示：(2）例2:已知ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点(1）求证平面BFD1E平面BGD1;(2)求点G到平面BFD1E的距离；（3）求四棱锥A1BFD1E的体积答案与提示：（2)a （3） a3例3：四边形ABCD中ADBC，AD=AB,BCD=45,BAD=90，将ABD沿对角线BD折起,记折起点A的位置为P，且使平面PBD平面BCD(1)求证：CD平面PBD；(2)求证：平面PBC平面PDC；(3）求二面角PBCD的大小答案与提示：(2)先证PB面PCD (3）arctan备用题在三棱锥SABC中,已知SA=4,AB=AC，BC=3，SAB=SAC=45，SA与底面ABC所的角为30。(1)求证:SABC；S（2)求二面角SBC-A的大小；CCBAA（3)求三棱锥SABC的体积答案与提示:(2）arctan（3）9作业1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且DAB=60，AB=2CD，DCP=45，设CD=a（1）求四棱锥PABCD的体积（2)求证：ADPB答案与提示:(1） a32。如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且BCD=90,CBD=30.（1)求证：ABCD;（2）求二面角DAB-C的大小；答案与提示：(2)arctan3 空间角例1、如图1，设ABCABC是直三棱柱，F是AB的中点，且 (1）求证:AFAC； （2)求二面角CAF-B的大小解：（1）如图2，设E是AB的中点,连接CE,EA由ABC-ABC是直三棱柱,知AA平面ABC，而CE平面ABC,所以CEAA,AB=2AA=2a，AA=a，AAAE，知AAFE是正方形，从而AFAE而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AFAC；(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG因为CE平面AABB，AFAE，由三垂线定理，CGAF，所以CGE就是二面角CAFB的平面角AAFE是正方形，AA=a,， ，tanCGE=,CGE，从而二面角C-AF-B的大小为。例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间，AB与a成45o角，与b成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小 以CD为轴，将平 以AB为轴,将平 面BCD旋转至与 面ABD旋转至与 平面ACD共面 平面ABC共面 图 1 图 2 图 3 解法、过D点作DEAB于E，过E作EFAB交BC于F(图1），连结DF,则DEF即为二面角DABC的平面角为计算DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图在图2中，可计算得DE1,EF，BF在移出图3中， cosB，在BDF中，由余弦定理：DF 2BD 2BF 22BD BF cosB （)2()2 2 (注:其实，由于ABDE，ABEF, AB平面DEF, ABDF又 AC平面b，ACDF DF平面ABC， DFBC，即DF是RtBDC斜边BC上的高,于是由BC DFCD BD可直接求得DF的长）在DEF中，由余弦定理:cosDEF. DEFarccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小解法、过D点作DEAB于E，过C作CHAB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离运用异面直线上两点间的距离公式，得： CD 2DE 2CH 2EH 22DE CH cosq （）（注:这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0q o90o，q 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90oq 180o，异面直线所成的角为180oq 。） CDDE1，CH，HE，从而算得 cosq， qarccos.例3、如图1，直三棱柱ABCABC的各条棱长都相等，D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若ADC，求二面角DAC1C的大小解：由已知,直三棱柱的侧面均为正方形, 图 7 ADC190o,即ADC1D又CC1平面ABC， ADCC1. AD侧面BC1， ADBC, 图1 D为BC的中点 过C作CEC1D于E， 平面ADC1侧面BC1, CE平面ADC1取AC1的中点F，连结CF,则CFAC1连结EF，则EFAC1(三垂线定理) EFC是二面角DAC1C的平面角在RtEFC中，sinEFC. BCCC1a易求得 CE，CF. sinEFC， EFCarcsin. 二面角DAC1C的大小为arcsin。例4、（2004年北京春季高考题）如图,四棱锥的底面是边长为1的正方形， 图（1)SD垂直于底面ABCD,SB=3。 (I)求证； （II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（III)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.()求SD与面SAB所成角的大小。分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。 （I)证明:如图1底面ABCD是正方形 SD底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影 由三垂线定理得（II)解：SD底面ABCD，且ABCD为正方形 可以把四棱锥补形为长方体，如图2 面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角， 又 为所求二面角的平面角 在中，由勾股定理得 在中,由勾股定理得 即面ASD与面BSC所成的二面角为 图2 图3 (III）解：如图3 是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点 面ASD，SA是SB在面ASD上的射影由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为(） 45练习:1。设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD,ABC=DBC=120.求：(1).直线AD与平面BCD所成角的大小。(2).异面直线AD与BC所成的角.(3） 。二面角ABDC的大小.答案：（1)45（2)90（3)180-arctan22.。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D，E分别为AA1，B1C1的中点。(1)求证：平面AA1E平面BCD；（2）求直线A1B1与平面BCD所成的角答案：（2）303。如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC=a，(1)求证：PD平面ABCD；(2)求异面直线PB与AC所成角的大小；（3）求二面角A-PB-D的大小；（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径答案：（2）90（3）60(4)（22)a/24。在三棱锥S-ABC中,已知SA=4，AB=AC，BC=3,SAB=SAC=45,SA与底面ABC所成的角为30.(1）求证：SABC；（2）求二面角SBCA的大小;(3)求三棱锥S-ABC的体积答案：(3）94距离例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，ACB=900，AC=1,C点到AB1的距离为CE=，D为AB的中点.(1）求证：AB1平面CED；(2）求异面直线AB1与CD之间的距离；（3）求二面角B1-AC-B的平面角.解：（1)D是AB中点，ABC为等腰直角三角形，ABC=900,CDAB又AA1平面ABC，CDAA1。CD平面A1B1BA CDAB1，又CEAB1, AB1平面CDE;（2）由CD平面A1B1BA CDDEAB1平面CDE DEAB1，DE是异面直线AB1与CD的公垂线段CE=,AC=1 ， CD=；（3)连结B1C,易证B1CAC，又BCAC , B1CB是二面角B1-ACB的平面角.在RtCEA中，CE=，BC=AC=1,B1AC=600， ， , 。例2、如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=（1） 求MN的长;（2） 当为何值时,MN的长最小；（3） 当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。例3。 如图，平面a平面bMN， 二面角AMNB为60,点Aa,Bb，CMN，ACMBCN45. AC1, (1） 求点A到平面b的距离； (2) 求二面角ABCM的大小 答案(1）； (2）arctan（提示：求出点A在平面 b 的射影到直线BC的距离为）.例4、已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA14cm, 它的底面ABC中有ACBC2cm，C90，E是AB的 中点 （1） 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm； （2） 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小答案 (2) arccos.练习:1。已知：如图，ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm(1)求点P到平面ABC的距离；(2）求PA与平面ABC所成角的余弦2。如图，正三棱柱A1B1C1ABC中,底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点（1）求点E到平面ABD的距离：（2)求二面角ABDC的正切值3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，ADC1D.(1）。求证：截面ABC1侧面BCC1B1。DCBAC1B1A1(2）求二面角CAC1D的大小.（3）若AB=2,求直线A1B与截面ADC1的距离.。4。在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点。 (1)求证:四边形B1EDF是菱形；(2)求直线A1C与DB的距离；（3)求直线AD与平面B1EDF所成的角。(4)求平面B1D1C与A1DB的距离5多面体例1斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA1和AB、AC都成45的角，求棱柱的侧面积和体积.例2三棱锥各侧面与底面均成45角，底面三角形三内角A、B、C满足2BAC，最大边与最小边是方程3x227x32=0的两根（1)求棱锥的高；（2) 求棱锥的侧面积例MBAB1A1C1CN3如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都为4，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MNAB1（1）试求三棱锥的体积；（2）求点C1到平面AMN的距离.例4如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面,60,M是的中点（1）求证：BMAC;(2）求二面角的正切值;（3）求三棱锥的体积习题1正三棱锥PABC的底面边长为a，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直于侧面PBC（1） 求棱锥的全面积；（2) 侧面与底面所成的角的余弦值2如图,直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BD=a的矩形，E为的中点。(.1)求二面角EBD-C的大小;（2）求三棱锥的体积。 3如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，是以点M为直角顶点的等腰直角三角形（1）求证点M为边BC的中点；(2）求点C到平面的距离；（3)求二面角的大小答案：例题1 ,2作PO面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边,连结PD，PE，PF,，易得，B600,=7，3三棱锥的体积为,点C1到平面AMN的距离为4（1）证明：是菱形，60是正三角形又（2）BEM为所求二面角的平面角中,60，Rt中，60，所求二面角的正切值是2;(3）习题1,2。 二面角EBDC的大小为45,三棱锥的体积为3（1）为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，且正三棱柱，底面ABC在底面内的射影为CM，AMCM底面ABC为边长为a的正三角形,点M为BC边的中点（2）过点C作CH,由（1）知AM且AMCM,AM平面CH在平面内，CHAM，CH平面，由（1）知，,且点C到平面的距离为底面边长为(3）过点C作CI于I，连HI，CH平面,HI为CI在平面内的射影，HI，CIH是二面角的平面角在直角三角形中,，CIH45，二面角的大小为456球例1设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45上，A、B两点的球面距离是pR，A在东经20，求点B的位置OCAB例2半径为13cm的球面上有A、B、C三点,每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm,求这三点所在的平面到球心的距离。例3半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。OABCH例4如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为,点A与B、C两点间的球面距离均为,O为球心，求：（1）BOC、AOB的大小;(2)球心O到截面ABC的距离.习题1已知正方体的全面积为24,求：（1）求外接球的表面积；(2)求内切球的表面积.2一个正四面体的棱长为2，求该四面体的外接球的体积。3在120的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B,求这两个切点A、B在球面上的最短距离答案:例题1 东径1100，或者西径70212cm3. 18， 184. BOC=, AOB=， 球心O到截面ABC的距离为习题1外接球的表面积为12，内切球的表面积为4，23637综合应用(1)例题讲解:例1：如图，在斜四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，DAB60，若点A1在平面ABCD上的射影是BD的中点,设点E是CC1上的中点，AA14（1)求证:BB1D1D是矩形；(2）求二面角EBDC的大小；（3）求四面体B1BDE的体积答案与提示：（2)arccos （3) 例2:三棱锥SABC中，底面ABC是顶角为ABC=、AC=a的等腰三角形，SCA=，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为（0），E、D分别为SA和AC的中点。（1）求证无论，为何值时,点S到截面BDE的距离为定值;（2）求三棱锥S-ABC的体积。答案与提示：(1)(2） c2bcotsin例3：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.PDABCEF（1）求证：PA平面EBD；(2)求证：PB平面EFD；(3)求二面角CPBD的大小。答案与提示：（3)60备用题:1.如图，已知四棱锥SABCD的底面是边长为的正方形，BD和AC相交于O点，侧面SAB是等边三角形，且平面SAB平面ABCD。（1）求SO与平面SAB所成的角;(2）求二面角BSAC的大小；(3）求点C到平面SBD的距离。答案与提示：（1）30（2）arctan作业1。已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a0)，PA平面ABCD，且PA=1。（1）问BC边上是否存在点Q，使得PQQD；(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使得PQQD ,求这时二面角Q-PDA的大小。DCQBAP答案与提示:(1)当a2时存在，当a2时不存在 （2）arctan2。如图，四棱锥P-ABCD中，PB底面ABCD，CDPD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ABBC,AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。CDABEP(1) 求异面直线PA与CD所成的角；(2) 求证：PC平面EBD；(3) 求二面角A-BE-D的大小.答案与提示：（1） 60 （3)arctan8综合应用（2)例题讲解：例1：已知斜三棱柱ABC-ABC的底面是直角三角形,C=90，侧棱与底面所成的角为(090)，B在底面上的射影D落在BC上。（1)求证：AC面BBCC。(2）当为何值时,ABBC，且使得D恰为BC的中点。答案与提示：(2) 60例2：如图，已知面，于D，。（1）令,，试把表示为的函数，并求其最大值;（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？答案与提示:（1） = 最大值为 (2）存在例3:长方体中，,是侧棱中点(1)求直线与平面所成角的大小;（2）求二面角的大小；（3)求三棱锥的体积答案与提示：(1）45（2） （3) 备用题：如图,直四棱柱中ABCDA1B1C1D1,底面ABCD为直角梯形，ABCD，ABC=90，AA1=2AB=4,E、F分别为AA1、DD1上的点，且A1E=DF=1=BC=CD。FBD1B1A1EADCB1C1B1(1) 求直线EF与平面ABB1A1所成的角;(2) 求证：平面CEF平面ADD1A1。答案与提示：(1）arctan(2)证AF面CEF作业1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC1的平面BC1DAB1，平面BC1D交AC于D。（1)求证BD平面ACC1A1；(2)若二面角C1BD-C等于60，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小。（结果用反三角函数表示)答案与提示：（2)arctan2。如图，已知四边形ABCD为直角梯形，ABCD，BAD=90，PA平面ABCD，CD=2,PA=AD=AB=1，E为PC的中点。（1）求证：EB平面PAD;（2)求直线BD与平面PCD所成的角；（3)求二面角APCD的大小.答案与提示：（2）30（3) arctan