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(完整版)立体几何专题复习讲义资料
1平行关系
例题讲解：
例1:已知四面体ABCD中,M、N分别是△ABC和△ACD的重心，求证：
(1)MN∥平面ABD;
(2)BD∥平面CMN。
答案与提示：连CM、CN分别交AB、AD于E、F，连EF，易证
MN∥EF∥BD

例2。已知边长为10的等边三角形ABC的顶点A在平面α内,顶点B、C在平面α的上方,BD为AC边上的中线，B、C到平面α的距离BB1=2，CC1=4．
(1）求证：BB1∥平面ACC1
（2）求证:BD⊥平面ACC1
(3)求四棱锥A—BCC1B1的体积
答案与提示：（3)30

例3.已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点。
(1) 求证：MN∥平面PAD；
(2) 求证：MN⊥CD;
D
C
B
M
A
N
P
(3) 若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.

答案与提示：(3）45°

备用题
如图，在三棱锥P—ABC中,PA⊥面ABC，△ABC为正三角形， D、E分别为BC、AC的中点，设AB=2PA=2，
(1)如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？说明理由;
(2)对于（1)中的点F,求二面角P-EF—A的大小；
答案与提示:（1）F为CD中点（2）arctan2

作业
在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过A1,B，M三点的平面交C1D1于点N。
(1)求证:EM∥平面ABCD；
（2）求二面角B—A1N—B1的正切值。
答案与提示：(2）arctan

2垂直关系
例题讲解：
例1:如图,在三棱锥P—ABC中，AB=BC=CA，PA⊥底面ABC，D为AB的中点．
(1）求证：CD⊥PB;
(2）设二面角A—PB-C的平面角为α，且tanα=,若底面边长为1,求三棱锥P-ABC的体积．
B
A
P
D
C
答案与提示：(2）

例2:已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点．
(1）求证平面BFD1E⊥平面BGD1;
(2)求点G到平面BFD1E的距离；
（3）求四棱锥A1—BFD1E的体积．

答案与提示：（2)a （3） a3

例3：四边形ABCD中．AD∥BC，AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°，将△ABD沿对角线BD折起,记折起点A的位置为P，且使平面PBD⊥平面BCD．
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)求证：平面PBC⊥平面PDC；
(3）求二面角P—BC—D的大小．

答案与提示：(2)先证PB⊥面PCD (3）arctan

备用题
在三棱锥S—ABC中,已知SA=4,AB=AC，BC=3，∠SAB=∠SAC=45°，SA与底面ABC所的角为30°。
(1)求证:SA⊥BC；
S
（2)求二面角S—BC-A的大小；
CC
BA
A
（3)求三棱锥S—ABC的体积．
答案与提示:(2）arctan（3）9

作业
1.在四棱锥P-ABCD中，已知PD⊥底面ABCD，底面ABCD为等腰梯形,且∠DAB=60°，AB=2CD，∠DCP=45°，设CD=a．
（1）求四棱锥P—ABCD的体积．
（2)求证：AD⊥PB．
答案与提示:(1） a3

2。如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°,∠CBD=30°.
（1)求证：AB⊥CD;
（2）求二面角D—AB-C的大小；
答案与提示：(2)arctan

3 空间角
例1、如图1，设ABC—ABC是直三棱柱，F是AB的中点，且

(1）求证:AF⊥AC； （2)求二面角C—AF-B的大小．
解：（1）如图2，设E是AB的中点,连接CE,EA．由ABC-ABC是直三棱柱,知AA⊥平面ABC，而CE平面ABC,所以CE⊥AA,
∵AB=2AA=2a，∴AA=a，AA⊥AE，知AAFE是正方形，从而AF⊥AE．而AE是AC在平面AAFE上的射影，故AF⊥AC；
(2)设G是AB与A1E的中点，连接CG．因为CE⊥平面AABB，AF⊥AE，由三垂线定理，CG⊥AF，所以∠CGE就是二面角C—AF—B的平面角．∵AAFE是正方形，AA=a,
∴， ∴，
∴tan∠CGE=,∠CGE＝，从而二面角C-AF-B的大小为。
例2、 一条长为2的线段夹在互相垂直的两个平面a、b之间，AB与a成45o角，与b成角，过A、B两点分别作两平面交线的垂线AC、BD，求平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．

以CD为轴，将平 以AB为轴,将平
面BCD旋转至与 面ABD旋转至与
平面ACD共面 平面ABC共面

图 1 图 2 图 3

解法１、过D点作DE⊥AB于E，过E作EF⊥AB交BC于F(图1），连结DF,则∠DEF即为二面角D－AB－C的平面角．
为计算△DEF各边的长，我们不妨画出两个有关的移出图．在图2中，可计算得DE＝1,EF＝，BF＝＝．在移出图3中，
∵ cosB＝＝，
在△BDF中，由余弦定理：
DF 2＝BD 2＋BF 2－2BD ﹒ BF ﹒ cosB
＝（)2＋()2 －2﹒﹒ ＝．
(注:其实，由于AB⊥DE，AB⊥EF,∴ AB⊥平面DEF,∴ AB⊥DF．
又∵ AC⊥平面b，　∴　AC⊥DF． ∴　DF⊥平面ABC， ∴ DF⊥BC，即DF是Rt△BDC斜边BC上的高,于是由BC ﹒ DF＝CD ﹒BD可直接求得DF的长．）
在△DEF中，由余弦定理:
cos∠DEF＝＝＝.
∴ ∠DEF＝arccos.此即平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小．
解法２、过D点作DE⊥AB于E，过C作CH⊥AB于H，则HE是二异面直线CH和DE的公垂线段，CD即二异面直线上两点C、D间的距离．运用异面直线上两点间的距离公式，得：
CD 2＝DE 2＋CH 2＋EH 2－2DE CH cosq （＊）
（注:这里的q是平面ABD与平面ABC所成的二面角的大小，当0＜q o≤90o，q 亦即异面直线CH与DE所成的角；当90o＜q ＜180o，异面直线所成的角为180o－q 。）
∵ CD＝DE＝1，CH＝，HE＝，
从而算得 cosq＝， ∴ q＝arccos.
例3、如图1，直三棱柱ABC－ABC的各条棱长都相等，
D为棱BC上的一点，在截面ADC中，若∠ADC＝，
求二面角D－AC1－C的大小．
解：由已知,直三棱柱的侧面均为正方形, 图 7
∵ ∠ADC1＝90o,即AD⊥C1D．又CC1⊥平面ABC，
∴ AD⊥CC1.　∴ AD⊥侧面BC1，∴ AD⊥BC, 图1
∴ D为BC的中点．
过C作CE⊥C1D于E，∵ 平面ADC1⊥侧面BC1,
∴ CE⊥平面ADC1．取AC1的中点F，连结CF,则CF⊥AC1．

连结EF，则EF⊥AC1(三垂线定理)
∴ ∠EFC是二面角D－AC1－C的平面角．
在Rt△EFC中，sin∠EFC＝. ∵ BC＝CC1＝a
易求得 CE＝，CF＝.
∴ sin∠EFC＝， ∴ ∠EFC＝arcsin.
∴ 二面角D－AC1－C的大小为arcsin。

例4、（2004年北京春季高考题）如图,
四棱锥的底面是边长为1的正方形， 图（1)
SD垂直于底面ABCD,SB=√3。

(I)求证；
（II)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；
（III)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.
(Ⅳ)求SD与面SAB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I)证明:如图1

∵底面ABCD是正方形
SD⊥底面ABCD DC是SC在平面ABCD上的射影

由三垂线定理得

（II)解：SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形
可以把四棱锥补形为长方体，如图2
面ASD与面BSC所成的二面角就是面与面所成的二面角，

又 为所求二面角的平面角
在中，由勾股定理得 在中,由勾股定理得
即面ASD与面BSC所成的二面角为

图2 图3
(III）解：如图3
是等腰直角三角形 又M是斜边SA的中点

面ASD，SA是SB在面ASD上的射影
由三垂线定理得 异面直线DM与SB所成的角为
(Ⅳ） 45°

练习:1。设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD,∠ABC=
∠DBC=120º.求：
(1).直线AD与平面BCD所成角的大小。
(2).异面直线AD与BC所成的角.
(3） 。二面角A—BD—C的大小.
答案：（1)45°（2)90°（3)180°-arctan2

2.。如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D，E分别为AA1，B1C1的中点。

(1)求证：平面AA1E⊥平面BCD；
（2）求直线A1B1与平面BCD所成的角．

答案：（2）30°

3。如图,四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=a，PA=PC=a，
(1)求证：PD⊥平面ABCD；
(2)求异面直线PB与AC所成角的大小；
（3）求二面角A-PB-D的大小；
（4）在这个四棱锥中放入一个球，求球的最大半径．

答案：（2）90°（3）60°(4)（2—√2)a/2

4。在三棱锥S-ABC中,已知SA=4，AB=AC，BC=3,∠SAB=∠SAC=45º,SA与底面ABC所成的角为30º.
(1）求证：SA⊥BC；
（2）求二面角S—BC—A的大小;
(3)求三棱锥S-ABC的体积．
答案：(3）9
4　　距离

例1、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直
角三角形，∠ACB=900，AC=1,C点到AB1的距离为
CE=，D为AB的中点.
(1）求证：AB1⊥平面CED；
(2）求异面直线AB1与CD之间的距离；
（3）求二面角B1-AC-B的平面角.
解：（1)∵D是AB中点，△ABC为等腰直角三角形，
∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC，∴CD⊥AA1。
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1，又CE⊥AB1,
∴AB1⊥平面CDE;

（2）由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1，
∴DE是异面直线AB1与CD的公垂线段
∵CE=,AC=1 ， ∴CD=∴；
（3)连结B1C,易证B1C⊥AC，又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1-AC—B的平面角.
在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,∴∠B1AC=600
∴， ∴，
∴ , ∴。

例2、如图,正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=
（1） 求MN的长;
（2） 当为何值时,MN的长最小；
（3） 当MN长最小时,求面MNA与面MNB所成的二面角的大小。

例3。 如图，平面a∩平面b＝MN，
二面角A－MN－B为60°,点A∈a,
　　B∈b，C∈MN，∠ACM＝∠BCN＝45°.
AC＝1,
(1） 求点A到平面b的距离；
(2) 求二面角A－BC－M的大小．　
答案(1）； (2）arctan（提示：求出点A在平面 b 的射影到直线BC的距离为）.

例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1＝4cm,
它的底面△ABC中有AC＝BC＝2cm，∠C＝90°，E是AB的
中点．
（1） 求证：CE和AB1所在的异面直线的距离等于cm；
（2） 求截面ACB1与侧面ABB1A1所成的二面角的大小．
答案 (2) arccos.

练习:1。已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm．
(1)求点P到平面ABC的距离；
(2）求PA与平面ABC所成角的余弦．

2。如图，正三棱柱A1B1C1—ABC中,底面边长和侧棱长都是1，D、E分别是C1C和A1B1的中点．
（1）求点E到平面ABD的距离：
（2)求二面角A—BD—C的正切值．

3.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱均相等，D是BC上一点，AD⊥C1D.
(1）。求证：截面ABC1⊥侧面BCC1B1。
D
C
B
A
C1
B1
A1
(2）求二面角C—AC1—D的大小.
（3）若AB=2,求直线A1B与截面ADC1的距离.

。

4。在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是BC、A1D1的中点。
(1)求证:四边形B1EDF是菱形；
(2)求直线A1C与DB的距离；
（3)求直线AD与平面B1EDF所成的角。
(4)求平面B1D1C与A1DB的距离

5多　面　体
例1．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,
侧棱AA1和AB、AC都成45°的角，求棱柱的侧面积和体积.

例2．三棱锥各侧面与底面均成45°角，底面三角形三内角A、B、C满足2B＝A＋C，最大边与最小边是方程3x2－27x＋32=0的两根．
（1)求棱锥的高；（2) 求棱锥的侧面积．

例M
B
A
B1
A1
C1
C
N
3．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为4，M是BC的中点，N是CC1上一点，满足MN⊥AB1
（1）试求三棱锥的体积；
（2）求点C1到平面AMN的距离.

例4．如图，三棱柱的底面是边长为a的正三角形，侧面是菱形且垂直于底面,∠＝60°,M是的中点．

（1）求证：BM⊥AC;
(2）求二面角的正切值;
（3）求三棱锥的体积．

习题
1．正三棱锥P－ABC的底面边长为a，E、F分别是侧棱PB、PC的中点，且E、A、F三点的截面垂直于侧面PBC．
（1） 求棱锥的全面积；（2) 侧面与底面所成的角的余弦值．

2．如图,直四棱柱的侧棱的长是a，底面ABCD是边长AB=2a，BD=a的矩形，E为的中点。　　　　　　　　　　　　　
(.1)求二面角E—BD-C的大小;
（2）求三棱锥的体积。

3．如图，正三棱柱的底面边长为a，点M在边BC上，△是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．

　　（1）求证点M为边BC的中点；
　　(2）求点C到平面的距离；
　　（3)求二面角的大小．

答案：
例题　
1． ,
2．作PO面ABC，作OD,OE,OF分别垂直于三边,连结PD，PE，PF,，易得，B＝600
　　,=7，，
，
3．三棱锥的体积为,　点C1到平面AMN的距离为
4．（1）证明：∵　是菱形，∠＝60°△是正三角形
　　又∵　

　　（2）　∴　∠BEM为所求二面角的平面角
　　△中,60°，Rt△中，60°　　　∴　，　∴　所求二面角的正切值是2;
(3）

习题
1．,

2。 二面角E—BD—C的大小为45°,三棱锥的体积为

3．（1）∵　△为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴　且．∵　正三棱柱，　∴　底面ABC．
　　∴　在底面内的射影为CM，AM⊥CM．
　　∵　底面ABC为边长为a的正三角形,∴　点M为BC边的中点．
　　（2）过点C作CH⊥,由（1）知AM⊥且AM⊥CM,
　　∴　AM⊥平面　∵　CH在平面内，　∴　CH⊥AM，
　　∴　CH⊥平面，由（1）知，,且．
　　∴　．　∴　．
　　∴　点C到平面的距离为底面边长为．
　　(3）过点C作CI⊥于I，连HI，　∵　CH⊥平面,
　　∴　HI为CI在平面内的射影，
　　∴　HI⊥，∠CIH是二面角的平面角．
　　在直角三角形中,，
，　∴　∠CIH＝45°，　∴　二面角的大小为45°
6球
例1．设地球是半径为R的球，地球上A、B两地都在北纬45°上，A、B两点的球面距离是pR，A在东经20°，求点B的位置
O
C
A
B

例2．半径为13cm的球面上有A、B、C三点,每两点间的距离是AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm,求这三点所在的平面到球心的距离。

例3．半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的一边长为，求半球的表面积和体积。

O
A
B
C
H

例4．如图，A、B、C是半径为1的球面上的三点,B、C两点间的球面距离为π,点A与B、C两点间的球面距离均为,O为球心，求：
（1）∠BOC、∠AOB的大小;
(2)球心O到截面ABC的距离.

习题
1．已知正方体的全面积为24,求：（1）求外接球的表面积；　(2)求内切球的表面积.
2．一个正四面体的棱长为2，求该四面体的外接球的体积。
3．在120°的二面角内放一个半径为5的球，分别切两个半平面于点A、B,求这两个切点A、B在球面上的最短距离

答案:　
例题
1． 东径1100，或者西径70°　　　　2．12cm
3. 18π，， 18π
4. ∠BOC=, ∠AOB=， 球心O到截面ABC的距离为
习题
1．外接球的表面积为12π，内切球的表面积为4π，　　2．36π
3．

7综合应用(1)
例题讲解:
例1：如图，在斜四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，若点A1在平面ABCD上的射影是BD的中点,设点E是CC1上的中点，AA1＝4．
（1)求证:BB1D1D是矩形；
(2）求二面角E—BD—C的大小；
（3）求四面体B1—BDE的体积．
答案与提示：（2)arccos （3)

例2:三棱锥S—ABC中，底面△ABC是顶角为∠ABC=α、AC=a的等腰三角形，SCA=，SC=b，侧面SAC与底面ABC所成二面角为θ（0〈θ≤），E、D分别为SA和AC的中点。
（1）求证无论θ，α为何值时,点S到截面BDE的距离为定值;
（2）求三棱锥S-ABC的体积。

答案与提示：(1)(2） c2bcotsinθ

例3：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
P
D
A
B
C
E
F
（1）求证：PA∥平面EBD；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C—PB—D的大小。
答案与提示：（3)60°

备用题:
1.如图，已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为的正方形，BD和AC相交于O点，侧面SAB是等边三角形，且平面SAB平面ABCD。
（1）求SO与平面SAB所成的角;
(2）求二面角B－SA－C的大小；
(3）求点C到平面SBD的距离。
答案与提示：（1）30°（2）arctan

作业
1。已知矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0)，PA⊥平面ABCD，且PA=1。
（1）问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD；
(2)若BC边上有且仅有一个点Q,使得PQ⊥QD ,求这时二面角Q-PD—A的大小。
D
C
Q
B
A
P
答案与提示:(1)当a≥2时存在，当a<2时不存在 （2）arctan

2。如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC,AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA。
C
D
A
B
E
P
(1) 求异面直线PA与CD所成的角；
(2) 求证：PC∥平面EBD；
(3) 求二面角A-BE-D的大小.
答案与提示：（1） 60° （3)arctan

8综合应用（2)
例题讲解：
例1：已知斜三棱柱ABC-A’B’C’的底面是直角三角形,∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α
(0°〈α〈90°)，B’在底面上的射影D落在BC上。
（1)求证：AC⊥面BB’C’C。
(2）当α为何值时,AB’⊥BC’，且使得D恰为BC的中点。
答案与提示：(2) 60°

例2：如图，已知面，于D，。
（1）令,，试把表示为的函数，并求其最大值;
（2）在直线PA上是否存在一点Q，使得？
答案与提示:（1） = 最大值为 (2）存在

例3:长方体中，，,是侧棱中点．
(1)求直线与平面所成角的大小;
（2）求二面角的大小；
（3)求三棱锥的体积．
答案与提示：(1）45°（2） （3)

备用题：
如图,直四棱柱中ABCD—A1B1C1D1,底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AA1=2AB=4,E、F分别为AA1、DD1上的点，且A1E=DF=1=BC=CD。
F
B
D1
B1
A1
E
A
D
C
B1
C1
B1
(1) 求直线EF与平面ABB1A1所成的角;
(2) 求证：平面CEF⊥平面ADD1A1。
答案与提示：(1）arctan(2)证AF⊥面CEF

作业
1.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D。
（1)求证BD⊥平面ACC1A1；
(2)若二面角C1—BD-C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小。（结果用反三角函数表示)
答案与提示：（2)arctan
2。如图，已知四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，PA⊥平面ABCD，CD=2,PA=AD=AB=1，E为PC的中点。
（1）求证：EB∥平面PAD;
（2)求直线BD与平面PCD所成的角；
（3)求二面角A—PC—D的大小.
答案与提示：（2）30°（3) arctan