数理统计复习总结.doc

(完整word版)数理统计复习总结
1统计量与抽样分布
1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数
总体X的样本X1，X2，…，Xn，则T(X1，X2，…，Xn)即为统计量
样本均值
样本方差
修正样本方差
样本k阶原点矩
样本k阶中心矩
经验分布函数 其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有
补充：
n
n
l 二项分布B(n,p):
EX=np DX=np(1-p)
l 泊松分布:

l 均匀分布U(a,b):

l 指数分布:

l 正态分布:

当时，
1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族
T是θ的充分统计量与θ无关
T是θ的完备统计量要使E[g(T)]=0,必有g(T)=0
且h非负T是θ的充分统计量
T是θ的充分完备统计量

是的充分完备统计量
1.3抽样分布：分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布
分布：

T分布： 当n>2时，ET=0
F分布：
补充：
n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的联合概率密度
n 的概率密度
n 的概率密度
l 函数：
l B函数：
1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数、样本极差R
X(k)的分布密度：
X(1)的分布密度：
X(n)的分布密度：
2参数估计
2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计
的均方误差：
若是无偏估计，则
对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVUE
相合估计(一致估计):
2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法
矩估计法：
①　 求出总体的k阶原点矩:
②　 解方程组 (k=1,2,...,m)，得即为所求
最大似然估计法：
①　 写出似然函数，求出lnL及似然方程 i=1,2,...,m
②　 解似然方程得到，即最大似然估计 i=1,2,...,m
补充：
n 似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计
2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计
T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE
最小方差无偏估计的求解步骤：
①　 求出参数的充分完备统计量T
②　 求出，则是的一个无偏估计
或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数
③　 综合，是的MVUE
或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUE
T是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。
最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1
无偏估计的效率：
是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计
2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计
一个总体的情况：
已知，求的置信区间：
未知，求的置信区间：
已知，求的置信区间：
未知，求的置信区间：

两个总体的情况：，
均已知时，求的区间估计：

未知时，求的区间估计：

未知时，求：

非正态总体的区间估计：
当时， ，故用Sn代替Sn-1

3统计决策与贝叶斯估计
3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数
三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数
统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数
风险函数：是关于的函数
3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计
①　 求样本X=(X1,X2,...,Xn)的分布：
②　 样本X与的联合概率分布：
③　 求关于x的边缘密度
④　 的后验密度为：
取时
的贝叶斯估计为：
贝叶斯风险为：
取时，贝叶斯估计为：
补充：
n 的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为

n
3.3minimax估计
对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),...，分别求出在上的最大风险值
在所有的最大风险值中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。
4假设检验
4.1基本概念：零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数
零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。
检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,...,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W
第一类错误（弃真错误）：
第二类错误（存伪错误）：
势函数：
当时，为犯第一类错误的概率
当时，为犯第二类错误的概率
4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验
一个总体的情况：
已知，检验：
未知，检验：
已知，检验：
未知，检验：
两个总体的情况：，
未知时，检验：

未知时，检验：
单边检验：举例说明，已知，检验：
构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为
4.3非参数假设检验方法：拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验
拟合优度检验:
其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数
科尔莫戈罗夫检验： 实际检验的是

斯米尔诺夫检验： 实际检验的是

4.4似然比检验
明确零假设和备选假设：
构造似然比：
拒绝域：
5方差分析
5.1单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计
数学模型,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni)
总离差平方和
组内离差平方和
组间离差平方和 当H0成立时，
构造统计量，当H0不成立时，有偏大特征
且

应用：
n 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值再解题
n 辅助量：

5.2两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验
数学模型,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s)
总离差平方和
组内离差平方和
因素B引起的离差平方和 当H0成立时，
因素A引起的离差平方和 当H0成立时，
辅助量：

构造统计量：
6回归分析
6.1一元线性回归：回归模型、未知参数的估计(β、α、σ2)、参数估计量的分布(βαY0σ2σ*2)
回归模型：i=1,2,...,n.
的估计： 分布：
的估计：

6.2多元线性回归：回归模型、参数估计、分布
回归模型： i=1,2,...,n.
参数估计：
7多元分析初步
7.1定义及性质：定义、性质
其中为X的均值向量，为X的协方差矩阵
Y=CX+b，则
若，刚
7.2参数的估计与假设检验：μ、Σ的估计、正态总体均值向量的假设检验
样本均值向量 样本离差阵
最大似然估计
最小方差无偏估计