线性代数—特征值问题和特征向量.ppt

第四章第四章1.本章介本章介绍矩矩阵的特征的特征值、特征向量以、特征向量以及矩及矩阵的的对角化角化问题。2.第一第一节 矩矩阵的特征的特征值与特征向量与特征向量定定义一、特征一、特征值与特征向量的基本概念与特征向量的基本概念例如，例如，3.一个特征向量只能属于一个特征一个特征向量只能属于一个特征值，证明如下：明如下：说明明 1 1、特征、特征值问题是是针对方方阵而言的；而言的；2 2、特征向量必、特征向量必须是是非零非零向量；向量；3 3、特征向量既依、特征向量既依赖于矩于矩阵A，又依又依赖于特征于特征值 4.二、特征二、特征值与特征向量的求法与特征向量的求法 记称称为矩矩阵A的的特征多特征多项式式，为矩矩阵A的的特征方程特征方程。5.的根，即的根，即为矩矩阵A的特征的特征值。特征方程特征方程即即齐次次线性方程性方程组的非零解。的非零解。而而矩矩阵A属于特征根属于特征根 的特征向量的特征向量计算矩算矩阵特征特征值和特征向量的一般步和特征向量的一般步骤如下：如下：6.例例1 设求求A的特征的特征值与特征向量。与特征向量。解解所以所以A的特征的特征值为 7.相相应齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系为8.相相应齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系为9.相相应齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系为10.例例2解解所以所以A的特征的特征值为 设求求A的特征的特征值与特征向量。与特征向量。11.相相应齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系为12.相相应齐次次线性方程性方程组的基的基础解系解系为13.对角角阵、上三角、上三角阵、下三角下三角阵，它，它们的特征的特征值即即为主主对角元。角元。14.三、特征三、特征值与特征向量的性与特征向量的性质 性性质1 1证(2)可推广到多个特征向量可推广到多个特征向量.15.属于各个特征属于各个特征值的的线性无关的向量合在一起仍性无关的向量合在一起仍线性无关。性无关。性性质2 2属于不同特征属于不同特征值的特征向量的特征向量线性无关。性无关。只只证两个特征向量的情况两个特征向量的情况.证(1)(2)推广推广16.性性质3 3证从而有相同的特征从而有相同的特征值.注意注意:17.性性质4 4证(2)重复重复这个个过程程,可得可得18.性性质4 4证(3)19.例例3多多项式式证略略例如例如,矩矩阵A的有一个特征的有一个特征值为2,则 有一个特征有一个特征值 7.例例4证幂等矩等矩阵20.例例3多多项式式证略略例如例如,矩矩阵A的有一个特征的有一个特征值为2,2,则 有一个特征有一个特征值 7.例例4幂等矩等矩阵练习:21.例例5解解由性由性质4,4,事事实上，由上，由可得可得22.四、特征多四、特征多项式的性式的性质 中出中出现,故有故有而而常数常数项等于等于所以所以23.比比较系数得系数得性性质5 5推推论 方方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A的特征的特征值全不全不为零零.24.例例6解解25.矩矩阵的迹的性的迹的性质 证略。略。作作业：习题四，四，1、4、626.END27.