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(完整版)直线与方程讲义直线与方程【考点审视】 关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题,都属于基本要求,既有选择题、填空题,也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点.考查通常分为三个层次： 层次一:考查与直线有关的基本概念、公式; 层次二:考查不同条件下的直线方程的求法； 层次三：考查直线与其它知识的综合。 解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。【疑难点拔】直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念,突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，【知识网络】倾斜角 五种形式直线方程二元一次不等式表示平面区域线性规划斜 率直线与方程与 与方程相交平 行重 合交 点夹 角平行线间的距离点到直线的距离点 关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求,既有选择题、填空题,也有解答题,所占的分值为510分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点. 考查通常分为三个层次： 层次一：考查与直线有关的基本概念、公式； 层次二:考查不同条件下的直线方程的求法； 层次三:考查直线与其它知识的综合。 解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。与直线位置关系直线与直线位置关系一、回顾与复习：思考1:倾斜角（0180），斜率(=90时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与x、y轴的交点(a,0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零.距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负）。知识点梳理： 1.倾斜角:X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。2. 斜率： 斜率k与倾斜角 之间的关系： 例1 如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，又回到原来的位置,那么直线的斜率是（ ）A B C D 变式训练1直线x=3的倾斜角是（ ） A.0 B. C。 D.不存在2、直线x y + 3 = 0的倾斜角是（ )(A）30（B）45（C）60（D）90直线的方程:（1)点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线.（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线。(3）两点式:已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0）的形式.注意：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为（它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过点，当斜率存在时,常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为。提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。例 下列说法的正确的是（ ）A 经过定点的直线都可以用方程表示B 经过定点的直线都可以用方程表示C 不经过原点的直线都可以用方程表示D 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示变式训练 1若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）A B C D 2 一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是_ 3 若方程表示两条直线，则的取值是 4直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ） A。 B。 C. D.2，35直线过点 （3，2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为（ ）（A）2x3y0;（B）xy50；（C）2x3y0或xy50（D）xy5或xy50思考2:两直线平行与垂直3。两直线平行与垂直的判定：两直线平行的判定: （1) k1=k2 且或两条直线的斜率都不存在。(2）且两直线垂直的判定： (1） k1k2=1或一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在。 （2）注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。思考3:两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ； 方程组有一个解 方程组有无数解与重合例1直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ ) A.重合 B.平行 C。垂直 D。相交但不垂直例2如果三条直线mx+y+3=0， x-y-2=0, 2xy+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线,那么m的一个值是_.变式训练1 当时，两条直线、的交点在 象限 2、已知直线.若，试求的值；若,试求的值5. 点点、点线、线线的距离：（1）点到点的距离(2）点到直线的距离；（3)两平行线间的距离为。例1 若都在直线上,则用表示为（ )A B C D 变式训练1 求函数的最小值 2 经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？3两平行直线分别过点和，若与的距离为5，求两直线的方程；设与之间的距离是,求的取值范围。6过定点的直线系：过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数），其中直线不在直线系中。例1.下列命题正确的有 ：每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;倾斜角的范围是:0180，且当倾斜角增大时,斜率也增大；过两点A（1，2），B(m,5)的直线可以用两点式表示;过点（1，1)，且斜率为1的直线的方程为;直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)，当A，B,C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式.若两直线平行,则它们的斜率必相等;若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于1.例1.若直线与直线，则与相交时，a_；时,a=_; 时，a=_ 。例2求满足下列条件的直线方程:（1）经过点P(2,-1）且与直线2x+3y+12=0平行；（2)经过点Q（-1，3）且与直线x+2y1=0垂直；(3)经过点R(2,3)且在两坐标轴上截距相等；（4) 经过点N(-1，3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.变式1、设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.在轴上的截距为；斜率为。变式训练2、 二典例剖析1倾斜角与斜率的互化问题例1(1）若，则 ；(2）若，则 分析：已知斜率探求倾斜角，必须分清斜率的正负，且应注意无论倾斜角是锐角还是钝角,始终是斜率随着倾斜角的增大而增大2直线平行与垂直的问题例2已知过点A（2,m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m= （若垂直呢？）分析：根据对应的两直线平行,其对应的斜率相等的关系去分析与解答有关的参数问题3直线方程问题例3求斜率为且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点（);（2) 在x轴上的截距是分析：根据对应的条件，结合相应的直线方程的基本形式加以分析求解4综合应用问题例4求过直线与的交点，且和点、点等距离的直线的方程分析：通过求出两直线的交点,利用直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式加以综合分析与应用例5 过点作两条互相垂直的直线,分别交、的正半轴于、,若四边形的面积被直线平分，求直线方程。分析： 命题有两种设方程的方案：设、的点斜式方程，然后求出；设的截距式方程，经过估算，应选第方案更好。课后作业一、选择题1设直线的倾斜角为，且，则满足（ ）ABCD2过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）A BC D3已知过点和的直线与直线平行，则的值为(）A B C D4已知，则直线通过（ )A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限5直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A B C，不存在 D，不存在6若方程表示一条直线,则实数满足（ ）A B C D，,二、填空题1点 到直线的距离是_。2已知直线若与关于轴对称,则的方程为_；若与关于轴对称,则的方程为_；若与关于对称，则的方程为_；3 若原点在直线上的射影为，则的方程为_.4点在直线上，则的最小值是_.5直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为,则直线的方程为_。三、解答题1已知直线， （1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线; （2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交； （3)系数满足什么条件时只与x轴相交； （4）系数满足什么条件时是x轴； （5）设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成2求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.3经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程。4过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程.6一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为,时,求此直线方程。7.把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，证明:的近似值是:9