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完整版)直线与方程讲义

直线与方程
【考点审视】
关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题,都属于基本要求,既有选择题、填空题,也有解答题，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点.
考查通常分为三个层次：
层次一:考查与直线有关的基本概念、公式;
层次二:考查不同条件下的直线方程的求法；
层次三：考查直线与其它知识的综合。
解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。
【疑难点拔】
直线的斜率及直线方程的几种形式是本章的重点，本章的难点是倾斜角及直线方程的概念,突破难点的方法之一是运用数形结合，要注意直线方程几种形式的适用性和局限性，
【知识网络】

倾斜角
五种形式
直线方程
二元一次不等式
表示平面区域
线性规划
斜 率

直线
与方程

与

与方程

相交
平 行
重 合
交 点
夹 角
平行线间的距离

点到直线的距离
点 关于直线的方程,直线的斜率、倾斜角，两点间距离公式，点到直线的距离公式，夹角与到角公式，两直线的垂直、平行关系等知识的试题，都属于基本要求,既有选择题、填空题,也有解答题,所占的分值为5～10分，一般涉及到两个以上的知识点，这些仍将是今后高考考查的热点.
考查通常分为三个层次：
层次一：考查与直线有关的基本概念、公式；
层次二:考查不同条件下的直线方程的求法；
层次三:考查直线与其它知识的综合。
解决问题的基本方法和途径：数形结合法、分类讨论法、待定系数法。
与直线位置关系

直线与直线位置关系

一、回顾与复习：
思考1:倾斜角（0°≤α＜180°），斜率(α=90°时不存在），截距（注意为0的情形，曲线与x、y轴的交点(a,0），（0，b）其中a叫曲线在x轴上的截距；b叫曲线在y轴上的截距。截距和距离不同，截距的值有正、负、零.距离的值是非负数。截距是实数，不是“距离”，可正可负）。

知识点梳理：
1.倾斜角:X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
2. 斜率：

斜率k与倾斜角 之间的关系：

例1 如果直线沿轴负方向平移个单位再沿轴正方向平移个单位后，
又回到原来的位置,那么直线的斜率是（ ）
A B C D
变式训练1直线x=3的倾斜角是（ ）
A.0 B. C。 D.不存在
2、直线x — y + 3 = 0的倾斜角是（ )
(A）30° （B）45° （C）60° （D）90°

直线的方程:
（1)点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线.
（2）斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为，它不包括垂直于轴的直线。
(3）两点式:已知直线经过、两点，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线。
（4）截距式：已知直线在轴和轴上的截距为，则直线方程为，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线.
（5）一般式：任何直线均可写成(A,B不同时为0）的形式.
注意设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距，常设其方程为；（2）知直线横截距，常设其方程为（它不适用于斜率为0的直线);(3)知直线过点，当斜率存在时,常设其方程为，当斜率不存在时，则其方程为；（4）与直线平行的直线可表示为；（5）与直线垂直的直线可表示为。
提醒:求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
例 下列说法的正确的是 （ ）
A 经过定点的直线都可以用方程表示
B 经过定点的直线都可以用方程表示
C 不经过原点的直线都可以用方程表示
D 经过任意两个不同的点的直线都可以用方程
表示
变式训练 1若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（ ）
A B
C D
2 一直线过点，并且在两坐标轴上截距之和为，这条直线方程是__________
3 若方程表示两条直线，则的取值是
4．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（ ）
A。 B。 C. D.－2，－3

5．直线过点 （－3，－2)且在两坐标轴上的截距相等,则这直线方程为（ ）
（A）2x－3y＝0; （B）x＋y＋5＝0；
（C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5或x－y＋5＝0

思考2:两直线平行与垂直
3。两直线平行与垂直的判定：
①两直线平行的判定:
（1)∥Û k1=k2 且或两条直线的斜率都不存在。
(2）∥且
②两直线垂直的判定：
(1）⊥ Û k1·k2=－1或一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在。
（2）∥
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
思考3:两条直线的交点
相交
交点坐标即方程组的一组解。
方程组无解 ；
方程组有一个解
方程组有无数解与重合

例1．直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是（ )
A.重合 B.平行 C。垂直 D。相交但不垂直

例2．如果三条直线mx+y+3=0， x-y-2=0, 2x—y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线,那么m的一个值是_______.

变式训练1 当时，两条直线、的交点在 象限

2、已知直线.
⑴若，试求的值；
⑵若,试求的值

5. 点点、点线、线线的距离：
（1）点到点的距离
(2）点到直线的距离；
（3)两平行线间的距离为。
例1 若都在直线上,则用表示为（ )
A B C D
变式训练1 求函数的最小值

2 经过点的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？

3两平行直线分别过点和，
⑴若与的距离为5，求两直线的方程；
⑵设与之间的距离是,求的取值范围。

6．过定点的直线系：
过两条直线,的交点的直线系方程为
(为参数），其中直线不在直线系中。
例1.下列命题正确的有 ：
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;
②倾斜角的范围是:0°≤α<180°，且当倾斜角增大时,斜率也增大；
③过两点A（1，2），B(m,—5)的直线可以用两点式表示;
④过点（1，1)，且斜率为1的直线的方程为;
⑤直线Ax+By+C=0(A，B不同时为零)，当A，B,C中有一个为零时，这个方程不能化为截距式.
⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;
⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于—1.

例1.若直线与直线，则与相交时，a_________；时,a=__________; 时，a=________ 。
例2．求满足下列条件的直线方程:
（1）经过点P(2,-1）且与直线2x+3y+12=0平行；
（2)经过点Q（-1，3）且与直线x+2y—1=0垂直；
(3)经过点R(—2,3)且在两坐标轴上截距相等；
（4) 经过点N(-1，3)且在轴的截距与它在y轴上的截距的和为零.

变式1、设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.
⑴在轴上的截距为；
⑵斜率为。

变式训练2、

二．典例剖析
1．倾斜角与斜率的互化问题
例1．(1）若，则 ；(2）若，则 ．
分析：已知斜率探求倾斜角，必须分清斜率的正负，且应注意无论倾斜角是锐角还是钝角,始终是斜率随着倾斜角的增大而增大．

2．直线平行与垂直的问题
例2．已知过点A（－2,m）和B（m，4）的直线与直线2x+y－10平行，则m= ．（若垂直呢？）
分析：根据对应的两直线平行,其对应的斜率相等的关系去分析与解答有关的参数问题．

3．直线方程问题
例3．求斜率为且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点（);
（2) 在x轴上的截距是．
分析：根据对应的条件，结合相应的直线方程的基本形式加以分析求解．

4．综合应用问题
例4．求过直线与的交点，且和点、点等距离的直线的方程．
分析：通过求出两直线的交点,利用直线的点斜式方程，结合点到直线的距离公式加以综合分析与应用．

例5 过点作两条互相垂直的直线,分别交、的正半轴于、,若四边形的面积被直线平分，求直线方程。

分析： 命题有两种设方程的方案：①设、的点斜式方程，然后求出；②设的截距式方程，经过估算，应选第②方案更好。

[课后作业]
一、选择题
1．设直线的倾斜角为，且，
则满足（ ）
A． B．
C． D．
2．过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知过点和的直线与直线平行，
则的值为(　　）
A． B． C． D．
4．已知，则直线通过（ )
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
5．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）
A． B．
C．，不存在 D．，不存在
6．若方程表示一条直线,则实数满足（ ）
A． B．
C． D．，,

二、填空题
1．点 到直线的距离是________________。
2．已知直线若与关于轴对称,则的方程为__________；
若与关于轴对称,则的方程为_________；
若与关于对称，则的方程为___________；
3． 若原点在直线上的射影为，则的方程为____________________.
4．点在直线上，则的最小值是________________.
5．直线过原点且平分的面积，若平行四边形的两个顶点为
,则直线的方程为________________。
三、解答题
1．已知直线，
（1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线;
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3)系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设为直线上一点，
证明：这条直线的方程可以写成．

2．求经过直线的交点且平行于直线的直线方程.

3．经过点并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？
请求出这些直线的方程。

4．过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为

5．求经过点并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是的直线方程.

6．一直线被两直线截得线段的中点是点，当点分别为,时,求此直线方程。

7.把函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，
证明:的近似值是:．

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