新浙教版九年级下册知识点及典型例题.doc

(完整word版)新浙教版九年级下册知识点及典型例题
九年级下册
第一章 解直角三角形
一、锐角三角函数
（一）、基础知识
1．锐角三角函数定义
在直角三角形ABC中，∠C=900，设BC=a，CA=b，AB=c，锐角A的四个三角函数是：
(1) 正弦定义：在直角三角形中ABC，锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA，即sin A = ,
（2）余弦的定义：在直角三角行ABC，锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA，即cos A = ,
（3）正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA，即 tan A = ，
这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：
（1）锐角∠A必须在直角三角形中，且∠C=900；
（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系
2、坡角与坡度
坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。
3、锐角三角函数关系：
（1）平方关系： sin2A + cos2A = 1；
4、互为余角的两个三角函数关系
若∠A+∠B=∠90，则sinA=cosB,cosA=sinB.
5、特殊角的三角函数：

00
300
450
600
sinα
0

cosα
1

tanα
0

1

二、 勾股定理
2、 勾股定理的概念：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和。
3、 勾股定理的数学表达;若三角形ABC为直角三角形，∠A，∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且∠C=∠90，则,反之，已知a,b,c为三角形ABC的边。若,则三角形ABC为直角三角形。
典例：
1. 在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦 （　　）A、都扩大2倍 B、都扩大4倍 C、没有变化 D、都缩小一半
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值等于（ ）
A． B. C. D.
3.在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.在RtABC中，C=90º，A=15º，AB的垂直平分线与AC相交于M点，则CM：MB等于（ ）
A、2： B、：2 C、：1 D、1：
5.身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛，三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表（假设风筝是拉直的），则三人所放的风筝中( )
同学
甲
乙
丙
放出风筝线长
100m
100m
90m
线与地面夹角
40º
45º
60º
A、甲的最高 B、丙的最高 C、 乙的最低 D、丙的最低
６０Ｏ
ＡＡ
ＢＡ
ＭＡ
东
6..如图，一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60O方向，这艘渔船以28km/时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15O方向，此时，灯塔M与渔船的距离是（　　　　）
Ａ．　　　　Ｂ．
Ｃ．　　　 Ｄ．
7、=
8、锐角A满足2 sin(A-15)=,则∠A= .
9、已知tan B=，则sin= .
10、如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为______米（保留根号）．
A
B
C
D
αA

11.如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．

D
C
B
A
②

①

12.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为，底部B点的俯角为，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为（如图②）.若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据）．

13.如图，某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N，使到该小区铺设的管道最短，并求AN的长.

14.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝60°，AD＝4，BC＝6，求AB的长．
A
B
C
D

15、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A
C
D
B
E
F

G
A，B之间的距离为4米，，，试求建筑物CD的高度．

16、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．

17、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）

第二章 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系无交点； 有一个交点；有两个交点；

切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
直线和圆位置关系的判定：
①依据定义 ②依据圆心到直线距离d与圆的半径r的数量关系
圆的切线的判定：
（5） 定义②依据d=r
③用判定定理——圆的切线证明的两种情况：①连半径，证垂直；②作垂直，证半径。
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵、是的两条切线
∴
平分

圆的外切四边形两组对边和相等
弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

一、选择题
1. ⊙O的直径是3，直线与⊙0相交，圆心O到直线的距离是d，则d应满足 ( )
A. d>3 B. 1.5<d<3 C. O ≤d<1.5 D.d<O
2. 在平面直角坐标系中，以点（2 , l）为圆心、1为半径的圆必与（ )
A. x轴相交 B.y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切
3. 已知两圆的圆心距是3，两圆的半径分别是方程x2-3x+2=0的两个根，则这两个圆的位置关系是（ )
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
4．已知⊙O1与⊙O2内切，它们的半径分别为2和3，则这两圆的圆心距d满足（ ）
（A）d=5 （B）d=1 （C）1＜d＜5 （D）d ＞5
5．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=3，OA=4，
则cos∠APO的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
6.如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点， PC切⊙O于点C，PC=3、PB：AB=1：3，则⊙O的半
径等于（ ）
A． B. C. D.
7．已知正三角形的内切圆半径为cm，则它的边长是（ ）
（A）2 cm （B）cm （C）2cm （D）cm
8．已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共有（ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个
9.如图，AD、AE分别是⊙O的切线，D、E为切点，BC切⊙O于F,交AD、AE于点B、C，若AD=8.则三角形ABC的周长是（ ）
A. 8 B.10 C.16 D.不能确定
10.要在一个矩形纸片上画出半径分别是4cm和1cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是（ ）
A. 36 B. 72 C. 80 D. 100
二、填空题
1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若
∠APB=60°，则∠ABO= .
2．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2cm，
⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径为 cm．
3.两圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心
距为2，则另一个圆的半径是 .
4．如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2 cm为半径作⊙M．若点M在OB边上运动，则当OM= cm时，⊙M 与OA相切．
5．①OC是⊙O的半径；②AB⊥OC；③直线AB切⊙O于点C．请以其中两个语句为条件，一个语句为结论，写出一个真命题 ．
6、如图，施工工地的水平地面上有三根外径都是
1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最
高点到地面的距离是 .
三、解答题
1．如图△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，以AB为直径画⊙O，延长AB到D，使BD等于⊙O的半径．
求证：CD是⊙O的切线．

2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， D是⊙O上一点，且AD∥OC
（1）求证：△ADB∽△OBC
（2）若AB=2，BC=，求AD的长（结果保留根号）

3.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
（A） 如图，求证：△ADE∽△AEP；
（B） 设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（C） 当BF＝1时，求线段AP的长.

4.

第三章 三视图和表面展开图
1. 多面体与旋转体：多面体 棱 顶点. 旋转体 轴.
2. 棱柱：直棱柱 斜棱柱 正棱柱
棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；③侧棱平行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3. 棱锥：棱锥的底面或底 顶点 侧棱 正棱柱 斜高
（1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
（2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高，侧棱，侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
4. 圆柱与圆锥：圆柱的轴 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线
5. 棱台与圆台：统称为台体
（1）棱台的性质：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.
6. 球：球体 球的半径 球的直径. 球心
7. 简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.
（二）空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影 平行投影 正投影
2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。
3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系，两轴夹角为；平行于x轴长度不变，平行于y轴长度减半。
（三）空间几何体的表面积和体积
1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图
2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式：
几何体
表面积相关公式
体积公式
棱柱

棱锥

棱台

圆柱

圆锥

（r：底面半径，l：母线长）

展开图与三视图练习
1．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是（　　）

A．
中
B．
钓
C．
鱼
D．
岛
2．一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（　　）

A．
建
B．
设
C．
和
D．
谐
3．一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么图中x的值是 （　　）

A．
2
B．
8
C．
3
D．
﹣2
4．在右边的展开图中，分别填上数字1，2，3，4，5，6，使得折叠成正方体后，相对面上的数字之和相等，则a=　 　，b=　 　，c=　 　．

5. 如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的
数字之和的最小值的是　 　．

6． 立方体木块的六个面分别标有数字1、2、3、4、
5、6，如图，是从不同方向观察这个立方体木块看到
的数字情况，数字1和5对面的数字的和是　 　．
7． 若图是由几个相同的小正方体搭成的几何体的主视图和
俯视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数最少是（　　）

A．
6
B．
8
C．
10
D．
12

8．某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．（单位：毫米）

9．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（　　）

A．
60π
B．
70π
C．
90π
D．
160π

11