二次函数经典例题及答案.doc

(完整版)二次函数经典例题及答案二次函数经典例题及答案1. 已知抛物线的顶点为P（4,），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B点坐标为(1，0). （1)求这条抛物线的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q，使得ADQ为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由y=x2+4x - ；存在点Q1（1，-4）,Q2（29，），Q3(，-)析试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a（x+4)2,然后把点B的坐标代入解析式求出a的值，即可得解;（2)先根据顶点坐标求出点D的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得到OA、OC、AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出OAC的正弦值与余弦值，再分AD=Q1D时，过Q1作Q1E1x轴于点E1，根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ1，再利用OAC的正弦求出Q1E1的长度，根据OAC的余弦求出AE1的长度，然后求出OE1,从而得到点Q1的坐标;AD=AQ2时,过Q2作Q2E2x轴于点E2，利用OAC的正弦求出Q2E2的长度，根据OAC的余弦求出AE2的长度，然后求出OE2，从而得到点Q2的坐标；AQ3=DQ3时，过Q3作Q3E3x轴于点E3，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE3的长度，然后求出OE3,再由相似三角形对应边成比例列式求出Q3E3的长度，从而得到点Q3的坐标试题解析：(1)抛物线顶点坐标为（4,-），设抛物线解析式为y=a（x+4）2抛物线过点B（1，0），a（1+4）2=0，解得a=，所以，抛物线解析式为y=（x+4）2， 即y=x2+4x-；（2）存在点Q1（1，4），Q2（29，)，Q3（-，）理由如下：抛物线顶点坐标为(-4,），点D的坐标为(4，0)，令x=0,则y=-，令y=0，则x2+4x=0，整理得，x2+8x-9=0,解得x1=1,x2=9，点A（-9，0)，C(0，-），OA=9，OC=,AD=4-（-9）=-4+9=5，在RtAOC中，根据勾股定理,AC=sinOAC=cosOAC=，AD=Q1D时,过Q1作Q1E1x轴于点E1， 根据等腰三角形三线合一的性质，AQ1=2ADcosOAC=25，Q1E1=AQ1sinOAC=4,AE1=AQ1cosOAC=8,所以，OE1=OAAE1=98=1，所以，点Q1的坐标为（-1，4）;AD=AQ2时，过Q2作Q2E2x轴于点E2，Q2E2=AQ2sinOAC=5=,AE2=AQ2cosOAC=5=2，所以,OE2=OAAE2=9-2，所以，点Q2的坐标为（29,-）；AQ3=DQ3时,过Q3作Q3E3x轴于点E3，则AE3=AD=5=,所以,OE3=9=，Q3E3x轴，OCOA，AQ3E3ACO，即，解得Q3E3=，所以，点Q3的坐标为（,-），综上所述，在线段AC上存在点Q1（1，-4），Q2(2-9，-)，Q3(,），使得ADQ为等腰三角形2. 如图，直线y=x+3与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过B,C两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（1）求B、C两点坐标；（2)求此抛物线的函数解析式;（3）在抛物线上是否存在点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点坐标,若不存在，请说明理由 1）B(3，0）C（0，3)（2）此抛物线的解析式为y=x2+2x+3(3)存在这样的P点，其坐标为P（0,3），（2，3）（1+，3)或（1，3)试题分析：（1)已知了过B、C两点的直线的解析式，当x=0时可求出C点的坐标，当y=0是可求出B点的坐标(2）由于抛物线的解析式中只有两个待定系数,因此将B、C两点的坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式(3）根据（2）的抛物线的解析式可得出A点的坐标,由此可求出AB的长，由于SPAB=SCAB,而AB边为定值由此可求出P点的纵坐标,然后将P点的纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3经过B、C当x=0时y=3当y=0时x=3B(3,0）C(0，3）（2）抛物线y=x2+bx+c经过B、Cb=2，c=3此抛物线的解析式为y=x2+2x+3（3)当y=0时,x2+2x+3=0;x1=1，x2=3A（1，0)设P（x，y)SPAB=SCAB4y|=43y=3或y=3当y=3时，3=x2+2x+3x1=0，x2=2P（0，3)或（2,3）当y=3时,3=x2+2x+3x1=1+，x2=1P(1+，3)或（1，3）因此存在这样的P点，其坐标为P(0，3)，（2，3）（1+，3）或（1，3）3已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A(3，0)、B（6,0)，与y轴的交点是C(1）求抛物线的函数表达式；（2）设P(x，y）（0x6）是抛物线上的动点，过点P作PQy轴交直线BC于点Q当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？是否存在这样的点P,使OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由（1） 所求抛物线的函数表达式是y=x2x+2（2)当x=3时，线段PQ的长度取得最大值最大值是1（3）P（3，0）或P（,）或P（，）析试题分析：（1）已知了A，B的坐标,可用待定系数法求出函数的解析式（2）QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式,那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值（3）分三种情况进行讨论：当QOA=90时，Q与C重合，显然不合题意因此这种情况不成立；当OAQ=90时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当OQA=90时,如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=ODDA由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标试题解析：(1）抛物线过A(3，0），B(6，0)，解得：，所求抛物线的函数表达式是y=x2x+2（2）当x=0时，y=2，点C的坐标为（0，2）设直线BC的函数表达式是y=kx+b则有，解得：直线BC的函数表达式是y=x+20x6，点P、Q的横坐标相同，PQ=yQyP=(x+2）（x2x+2）=x2+x=（x3)2+1当x=3时，线段PQ的长度取得最大值最大值是1解:当OAQ=90时,点P与点A重合，P（3,0）当QOA=90时，点P与点C重合,x=0（不合题意）当OQA=90时，设PQ与x轴交于点DODQ+ADQ=90,QAD+AQD=90，OQD=QAD又ODQ=QDA=90，ODQQDA，即DQ2=ODDA（x+2）2=x（3x)，10x239x+36=0，x1=，x2=，y1=（）2+2=；y2=（）2+2=；P（,)或P（，)所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）4. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线(）经过A(-1，0）、B(3，0）两点，抛物线与y轴交点为C，其顶点为D，连接BD,点P是线段BD上一个动点（不与B，D重合），过点P作y轴的垂线,垂足为E，连接BE（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如果P点的坐标为(，),PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围。 （1),D（1，4）；(2）（）解析试题分析：(1）本题需先根据抛物线经过A（1,0）、B（3,0)两点,分别求出a、b的值,再代入抛物线即可求出它的解析式(2）本题首先设出BD解析式，再把B、D两点坐标代入求出k、b的值，得出BD解析式,再根据面积公式即可求出最大值试题解析：（1)抛物线（)经过A（1,0）、B(3，0）两点把（1，0）B（3，0）代入抛物线得：，抛物线解析式为：，=，顶点D的坐标为（1,4)；（2）设直线BD解析式为:(）,把B、D两点坐标代入,得:,解得5。 如图,抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴相交于点A，点P（，)（a是任意实数）在抛物线上，直线经过A,B两点（1）求直线AB的解析式；（2)平行于y轴的直线交直线AB于点D,交抛物线于点E直线(0t4）与直线AB相交F，与抛物线相交于点G若FGDE34，求t的值；将抛物线向上平移m（m0）个单位，当EO平分AED时，求m的值1)；（2）1或3；解析试题分析:（1）根据点P的坐标，可得出抛物线解析式，然后求出A、B、C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）根据点E（2,5),D（2，1），G（，），F（，），表示出DE、FG，再由FG：DE=3:4，可得出t的值;设点A(0，2+m)，则点E（2，5+m），作AHDE,垂足为H，在RtAEH中利用勾股定理求出AE，根据EO平分AED及平行线的性质可推出AEO=AOE，AO=AE，继而可得出m的值试题解析:(1）P（，）（a是实数）在抛物线上，抛物线的解析式为=，当时，即,解得，当x=0时,y=2A（0，2），B（4,0),C(，0），将点A、B的坐标代入，得：，解得：，故直线AB的解析式为；(2）点E（2，5），D（2，1)，G（，），F（，），DE=4，FG=，FG：DE=3：4，解得，设点A(0，2+m），则点E（2，5+m）,作AHDE，垂足为H，=,即AE=,EO平分AED,AEO=DEO,AOED，DEO=AOE，AEO=AOE，AO=AE，即，解得m=6。 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动，其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2)当P,Q运动t秒时，APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状并求说明理由（3）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E,Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由 （1）y=x2x4C(0，4）；(2）四边形APDQ为菱形；（3)存在满足条件的点E,点E的坐标为（，0）或（，0）或(1，0）或(7，0)解析试题分析：（1）将A,B点坐标代入函数y=x2+bx+c中,求得b、c，进而可求解析式及C坐标(2）注意到P，Q运动速度相同，则APQ运动时都为等腰三角形，又由A、D对称，则AP=DP，AQ=DQ,易得四边形四边都相等，即菱形（3）等腰三角形有三种情况，AE=EQ，AQ=EQ，AE=AQ借助垂直平分线，画圆易得E大致位置，设边长为x，表示其他边后利用勾股定理易得E坐标试题解析：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B(1,0），,解得 ,y=x2x4C(0，4）（2)四边形APDQ为菱形理由如下：如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQAP于F，AP=AQ=t，AP=DP,AQ=DQ,AP=AQ=QD=DP，四边形AQDP为菱形（3)存在如图1，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B(1,0）,C（0,4），O（0，0）AB=4，OA=3,OC=4，AC=5，当点P运动到B点时，点Q停止运动，AB=4，AQ=4QDOC，,，QD=,AD=作AQ的垂直平分线，交AO于E，此时AE=EQ，即AEQ为等腰三角形，设AE=x，则EQ=x，DE=ADAE=x，在RtEDQ中,（x)2+(）2=x2，解得 x=,OAAE=3=,E（，0)以Q为圆心,AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QE=QA=4,ED=AD=,AE=，OAAE=3=，E(，0）当AE=AQ=4时，1当E在A点左边时，OAAE=34=1，E（1，0）2当E在A点右边时，OA+AE=3+4=7，E（7,0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0)或（，0）或（1，0）或（7,0）7.如图,已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C（0,-3），其顶点为D，对称轴为直线（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点,当ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将OBC沿x轴向右平移m个单位长度(0m3）得到另一个三角形EFG，将EFG与BCD重叠部分的面积记为S，用含m的代数式表示S（1)；（2）M的坐标为，；(3）解析试题分析:（1)抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0），对称轴为直线，得到抛物线与x轴的另一个交点为B（3，0），把A、B、C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；（2）当AC=AM时C、M关于x轴对称,得到M;当AC=CM时,AC=，以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；(3)分别求出直线BC、BD的解析式，分两段计算重叠的面积：，试题解析:（1）由题意可知，抛物线与x轴的另一个交点为B(3,0），则，解得,故抛物线的解析式为：；(2）当AC=AM时C、M关于x轴对称，得到M；当AC=CM时，AC=,以C为圆心，AC为半径作圆与y轴有两个交点，为M或M；所以，点M的坐标为,，； （3）记平移后的三角形为EFG设直线BC的解析式为y=kx+b，则:，解得:,则直线BC的解析式为,OBC沿x轴向右平移m个单位长度（0m3)得到EFG，易得直线FG的解析式为设直线BD的解析式为y=kx+b，则：，解得，则直线BD的解析式为，连结CG，直线CG交BD于H，则H（，3）在OBC沿x轴向右平移的过程中，当时，如图1所示设EG交BC于点P,GF交BD于点Q，则CG=BF=m，BE=PE=3m，联立，解得，即点Q（3m,-2m），=当时，如图2所示设EG交BC于点P，交BD于点N，则OE=m，BE=PE=3m，又因为直线BD的解析式为,所以当x=m时，得y=2m6，所以点N（m，2m6）=，综上所述，8。 如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0）与x轴交于点A（2，0)和点B(6,0），与y轴交于点C(1）求抛物线的解析式；（2)设抛物线的对称轴与轴交于点M ，在对称轴上存在点P，使CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标(3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足最大时,求出Q点的坐标（4)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 (1)y=-x22x+6；（2）P（2，）或P（-2，2）或P（2，-2)或P（-2,12）；(3）当Q在（2，12）的位置时，|QBQC|最大；(4）最大值为；E坐标为(3,）解析试题分析:（1）将点A（2,0)和点B（-6,0）分别代入y=ax2+bx+6，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值,进而得到抛物线的解析式；(2）根据(1）的函数解析式得出抛物线的对称轴为x=2，再求出M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为（0，6），根据M、C的坐标求出CM的距离然后分三种情况进行讨论：CP=PM；CM=MP；CM=CP；（3）由抛物线的对称性可知QB=QA，故当Q、C、A三点共线时，|QBQC最大，连结AC并延长，交对称轴于点Q，利用待定系数法求出直线AC的解析式，再将x=-2代入，求出y的值，进而得到Q点的坐标；（4）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EFx轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值即可求出此时E的坐标试题解析：（1）由题知:,解得:，故所求抛物线解析式为：y=-x22x+6；（2）抛物线解析式为：y=x2-2x+6，对称轴为x=，设P点坐标为（-2，t），当x=0时，y=6,C（0，6），M（-2，0），CM2=（-2-0)2+（0-6）2=40当CP=PM时，（-2）2+（t-6）2=t2，解得t=，P点坐标为：P1（-2，）；当CM=PM时，40=t2，解得t=2，P点坐标为:P2（-2,2)或P3（2,2)；当CM=CP时，由勾股定理得：40=(-2）2+（t-6）2，解得t=12，P点坐标为：P4（-2，12）综上所述,存在符合条件的点P，其坐标为P(-2，）或P（2，2）或P（-2，2）或P（-2，12);(3）点A(2，0)和点B（6，0）关于抛物线的对称轴x=2对称,QB=QA，|QBQC=|QA-QC|，要使|QB-QC|最大，则连结AC并延长，与直线x=-2相交于点Q，即点Q为直线AC与直线x=2的交点，设直线AC的解析式为y=kx+m，A（2，0）,C（0，6），解得,y=-3x+6，当x=-2时，y=-3（-2）+6=12,故当Q在（-2，12）的位置时，|QBQC最大；（4）过点E作EFx轴于点F，设E（n,-n2-2n+6）（6n0）,则EF=n22n+6,BF=n+6，OF=n，S四边形BOCE=BFEF+(OC+EF)OF=(n+6）(n2-2n+6）+（6-n2-2n+6）(n）=n2-9n+18=（n+3）2+,所以当n=-3时,S四边形BOCE最大,且最大值为此时，点E坐标为（3,)9。 如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线,与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（3，0），且OBOC（1)求此抛物线的解析式;（2）若点G（2,y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P点的坐标和APG的最大面积。（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q,使MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 （1）；（2)P点的坐标为,的最大值为;(3）Q（，0)或（,0）或（，0）或（,0)或（1,0）解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为，根据已知得到C（0，3），A（1，0)，代入得到方程组，求出方程组的解即可；(2）过点P作y轴的平行线与AG交于点F，求出点G的坐标（2，3），设直线AG为，代入得到,求出方程组的解得出直线AG为，设P（x，）,则F(x，x1）,PF，根据三角形的面积公式求出APG的面积，化成顶点式即可；(3）存在根据MNx轴，且M、N在抛物线上，得到M、N关于直线x=1对称，设点M为（m，）且m1，得到MN=2（m1），当QMN=90，且MN=MQ时，由MNQ为等腰直角三角形,得到,求出m的值，得出点M和点Q的坐标；当QNM=90，且MN=NQ时，同理可求点Q的坐标，当NQM=90,且MQ=NQ时，过Q作QEMN于点E,则QE=MN，根据抛物线及等腰直角三角形的轴对称性，得到点Q的坐标试题解析：（1）设抛物线的解析式为，由已知得:C（0，3)，A（1,0）,解得，抛物线的解析式为；（2）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，由,令x=2，则y=3，点G为（2,3），设直线AG为,，解得：，即直线AG为，设P(x，），则F（x，x1），PF，当时，APG的面积最大,此时P点的坐标为，（3）存在MNx轴，且M、N在抛物线上,M、N关于直线x=1对称，设点M为（,）且，,当QMN=90,且MN=MQ时,MNQ为等腰直角三角形，MQMN即MQx轴，,即或,解得,（舍）或,（舍)，点M为（，）或（，),点Q为(，0)或（，0），当QNM=90，且MN=NQ时,MNQ为等腰直角三角形,同理可求点Q为(，0）或（，0)，当NQM=90，且MQ=NQ时，MNQ为等腰直角三角形，过Q作QEMN于点E，则QE=MN，方程有解,由抛物线及等腰直角三角形的轴对称性知点Q为（1，0），综上所述，满足存在满足条件的点Q，分别为(，0）或(，0）或（，0)或（，0）或（1,0）10在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，ABC = 450,AD = 2，BC = 6，以BC所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点A在y轴上.(1）求过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）求ADC的外接圆的圆心M的坐标，并求M的半径；（3）E为抛物线对称轴上一点，F为y轴上一点，求当EDECFDFC最小时,EF的长；(4）设Q为射线CB上任意一点，点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、C为顶点的三角形与ADC相似？若存在,直接写出点P、Q的坐标，若不存在，则说明理由. (1）由题意知C（3，0）、A（0，3）如图1，过D作x轴垂线,由矩形性质得D（2，3）由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（1，0)设抛物线的解析式为y=a（x+1）(x3）将（0，3)代入得a=1，所以（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点由等腰直角三角形性质得OM平分AOC，即yOM=x，M（1，1）连MC得MC=，即半径为（3）如图2,由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点,F为BD与y轴交点，B=45，AOB=90，AO=BO=3,故B点坐标为：（3,0)，再利用D（2，3)，代入y=ax+b，得：，解得：，故BD直线解析式为：，当x=0,y=，根据对称轴为直线x=1，则y=2，故F（0，）、E(1,2），EF=（4）可得ADC中，AD=2,AC=，DC=假设存在，显然QCP90,则QCP=45或QCP=CAD如图3,当QCP=45时，OR=OC=3,则R点坐标为（0，3)，将C，R代入y=ax+b得出:，解得：，这时直线CP的解析式为y=x3,同理可得另一解析式为：y=x+3当直线CP的解析式为y=x3时，则，解得：，可求得P（2，5），故PC=设CQ=x,则，解得：x=或x=15Q (，0）或（12，0）当y=x+3即P与A重合时，CQ=y,则=,即=，或=，解得CQ=2或9，故Q （1,0)或（6，0）如图4,当QCP=ACD时,设CP交y轴于H，连接ED,则EDAC,DE=,EC=，易证：CDECHQ，所以=，HO=可求HC的解析式为联解，得P，PC=设CQ=x,知，x=或x=，Q或同理当H在y轴正半轴上时，HC的解析式为P ，PC=,CQ=或，所以Q或综上所述，P1（2，5）、Q1（，0)或（12,0);P2（0，3）、Q2(1，0）或（6，0)；P3、Q3或;P4、Q4或试题分析：（1）过D作x轴垂线，由抛物线的对称性可知抛物线与x轴另一交点为（1,0）再根据交点式即可求出过A、D、C三点的抛物线的解析式；（2）由外接圆知识知M为对称轴与AC中垂线的交点由等腰直角三角形性质可得M点的坐标，连MC得MC=，即为半径；（3)由对称性可知：当ED+EC+FD+FC最小时,E为对称轴与AC交点，F为BD与y轴交点，再根据待定系数法求出BD直