天一专升本高数知识点.doc

第一讲函数、极限、连续1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。2、函数的性质，奇偶性、有界性奇函数：，图像关于原点对称。偶函数：，图像关于y轴对称3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则（1）若，则是比高阶的无穷小量。（2）若（不为0），则与是同阶无穷小量特别地，若，则与是等价无穷小量（3）若，则与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。4、两个重要极限（1）使用方法：拼凑，一定保证拼凑sin后面和分母保持一致（2）使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。5、的最高次幂是n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，分子以更快的速度趋向于无穷大。7、左右极限左极限：右极限：注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断连续的定义：或间断：使得连续定义无法成立的三种情况记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等9、间断点类型（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在（2）、第一类间断点：、都存在注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃”10、闭区间上连续函数的性质（1） 最值定理：如果在上连续，则在上必有最大值最小值。（2） 零点定理：如果在上连续，且，则在内至少存在一点，使得第三讲中值定理及导数的应用1、 罗尔定理如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3），则在(a,b)内至少存在一点，使得b记忆方法：脑海里记着一幅图：2、 拉格朗日定理如果满足（1）在闭区间上连续（2）在开区间（a,b）内可导；则在(a,b)内至少存在一点，使得脑海里记着一幅图：（*）推论1：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b）内可导，且，那么在内=C恒为常数。记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。（*）推论2：如果在上连续，在开区间内可导，且，那么记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等3、 驻点满足的点，称为函数的驻点。几何意义：切线斜率为0的点，过此点切线为水平线4、极值的概念设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极大值，称为极大值点。设在点的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点x,有，则称为函数的极小值，称为极小值点。记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。5、 拐点的概念连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。注在原点即是拐点6、 单调性的判定定理设在内可导，如果，则在内单调增加；如果，则在内单调减少。记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加，；在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少，；7、 取得极值的必要条件可导函数在点处取得极值的必要条件是8、 取得极值的充分条件第一充分条件：设在点的某空心邻域内可导，且在处连续，则（1） 如果时，;,那么在处取得极大值；（2） 如果时，；，那么在处取得极小值；（3） 如果在点的两侧，同号，那么在处没有取得极值；记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。第二充分条件：设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，则（1）如果，那么在处取得极大值；（2）如果，那么在处取得极小值9、 凹凸性的判定设函数在内具有二阶导数，（1）如果，那么曲线在内凹的；（2）如果，那么在内凸的。图像表现：凹的表现凸的表现10、 渐近线的概念曲线在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。（1） 水平渐近线：若,则有水平渐近线(2)垂直渐近线：若存在点，则有垂直渐近线（2） 求斜渐近线：若，则为其斜渐近线。11、 洛必达法则遇到“”、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。如果遇到幂指函数，需用把函数变成“”、“”。第二讲导数与微分1、 导数的定义（1）、（2）、（3）、注：使用时务必保证后面和分母保持一致，不一致就拼凑。2、 导数几何意义：在处切线斜率法线表示垂直于切线，法线斜率与乘积为13、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。4、 求导方法总结（1）、导数的四则运算法则（2）、复合函数求导：是由与复合而成，则（3）、隐函数求导对于，遇到y，把y当成中间变量u，然后利用复合函数求导方法。（4）、参数方程求导设确定一可导函数，则(5)、对数求导法先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导（6）、幂指函数求导幂指函数，利用公式然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导注：优选选择第二种方法。5、 高阶导数对函数多次求导，直至求出。6、 微分记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。7、 可微、可导、连续之间的关系可微可导可导连续，但连续不一定可导8、 可导与连续的区别。脑海里记忆两幅图（1）（2）在x=0既连续又可导。在x=0只连续但不可导。所以可导比连续的要求更高。第四讲不定积分一、 原函数与不定积分1、 原函数：若，则为的一个原函数；2、 不定积分：的所有原函数+C叫做的不定积分，记作二、 不定积分公式记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式三、不定积分的重要性质1、2、注：求导与求不定积分互为逆运算。四、 积分方法1、 基本积分公式2、 第一换元积分法（凑微分法）把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。3、 第二换元积分法三角代换三角代换主要使用两个三角公式：4、 分部积分法第五讲定积分1、定积分定义如果在上连续，则在上一定可积。理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积是常数，所以定积分如果可积也是常数。2、定积分的几何意义（1） 如果在上连续，且，则表示由，x轴所围成的曲边梯形的面积。S=。（2） 如果在上连续，且，S=。3、定积分的性质：（1）（2）=（3）（4）（5）如果，则（6）设m,M分别是在的min,max,则Mm记忆：小长方形面积曲边梯形面积大长方形面积（7）积分中值定理如果在上连续，则至少存在一点，使得记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。称为在上的平均值。4、 积分的计算（1）、变上限的定积分注：由此可看出来是的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是而不是t（2）、牛顿莱布尼兹公式设在上连续，是的一个原函数，则由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分，只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。5、 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分（1）、若在上为奇函数，则（2）、若在上为偶函数，则注：此方法只适用于对称区间上的定积分。6、 广义积分（1） 无穷积分7、 定积分关于面积计算面积，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界上的定积分。dc面积S=记忆方法：把头向右旋转90就是第一副图。8、 旋转体体积（1） yabx曲线绕轴旋转一周所得旋转体体积：（2）、ab阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积：（3）、ydcx绕轴旋转一周所得旋转体体积：(4)、ydcx阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积:（二）、直线与平面的相关考试内容一、 二元函数的极限定义：设函数在点某邻域有定义（但点可以除外），如果当点无论沿着任何途径趋向于时，都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点趋向于时，以A为极限，记为二、 二元函数的连续性若，则称在点连续。注：的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。三、 二元函数的偏导数四、 偏导数求法由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。五、 全微分：六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。若偏导存在且连续，则一定可微。函数的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。七、 二元复合函数求偏导设，则，注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。八、 隐函数求偏导方程确定的隐函数为，则对等号两边同时对求导，遇到的函数，把当成中间变量。第八讲多元函数积分学知识点一、 二重积分的概念、性质1、，几何意义：代表由，D围成的曲顶柱体体积。2、性质：（1）（2）=+（3）、（4）,=+(5)若，则（6）若则(7)设在区域D上连续，则至少存在一点，使二、 计算（1） D:（2） D：，技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和垂直线的方法确定另一个变量的范围（3）极坐标下：三、 曲线积分1、第一型曲线积分的计算（1）若积分路径为L：，则=（2）若积分路径为L：，则=（3）若积分路为L：，则=2、第二型曲线积分的计算（1） 若积分路径为L：，起点,终点，则（2） 若积分路径为L：，起点，终点，则（3） 若积分路为L：，起点，终点，则第九讲常微分方程一、 基本概念（1）微分方程：包含自变量、未知量及其导数或微分的方程叫做微分方程。其中未知函数是一元函数的叫常微分方程。（2）微分方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。（3）微分方程的解：满足微分方程或。前者为显示解，后者称为隐式解（4）微分方程的通解：含有相互独立的任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解（5）初始条件：用来确定通解中任意常数的附加条件。（6）微分方程的特解：通解中的任意常数确定之后的解。二、 一阶微分方程1、可分离变量的微分方程（1）形如的微分方程。解法：变形为，两边作不定积分求出通解。（2）形如的微分方程。解法：令，则，两边对x求导，然后代入原方程，则变量分离2、一阶线性微分方程一阶线性齐次微分方程形如。解法：变量分离一阶线性非齐次微分方程形如解法：常数变易法或公式法注：一阶线性非齐次微分方程的通解公式为：在通常使用中建议选择常数变易法