数学建模：道路优化问题).doc

(完整word版)数学建模：道路优化问题)

目录
一、问题的提出——————————————————————2
二、问题分析——————————————————————--2
三、基本假设——————————————————————--3
四、符号说明——————————————————————--3
五、模型的建立与求解——————————————————--4
六、模型的评价——————————————————————8
七、参考文献———————————————————————9

摘要
本题利用方程（组）模型，求两只路灯连线的路面上的最暗点。通过查阅资料可知光照强度公式为，由原题坐标图，通过实际情况假设部分数据，列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出最小光照强度点X的位置，并计算出如何通过调整路灯高度来极大化X点的光照强度，并制定出合理的优化方案。
关键字：路灯照明 方程（组） MATLAB程序 最值

一、 问题的提出
1.1 引言
随着城市化水平的不断提高，城市街道越来越多，街道上的路灯数量也会大量增加，如何合理安放路灯便成为一个重要问题。在能源日益紧张的今天，更需要一种能够尽可能节约能源的路灯安置方案。
1.2 问题的提出
为了更好地优化路灯的照明能力，本文依次提出以下问题：
⑴. 建立数学模型找出具有最小照明强度的点（即最暗点）；
⑵. 通过改变第二盏灯的高度以极大化点的照明强度；
⑶. 如何调整两盏灯的高度来优化道路照明。
1.3 问题研究的意义：
通过对路灯问题的研究，找到一种安置方案，优化现有路灯布局，使路灯能耗降低，以节省经济投入。
二、 问题分析
问题一：
问题要求找出两路灯之间具有最小照度的点X，但题中没有具体说明如路灯瓦数、路灯高度和路灯光照范围等数据，因此需要我们自己根据资料自己假设，算出合理的X点的位置。
问题二：
问题要求我们通过改变一端路灯的高度来尽量增强由问题一求出的最小光照强度的点（即最暗点）的光照强度，虽然题目同样没有进行数据的限制，但是作为一个实际问题，我们应该通过查找资料来确定一个符合实际情况的路灯高度的大致范围，再通过MATLAB程序算出数据，然后根据范围选出路灯高度。
问题三：
本问题为本文最后一题，也是本文的中心问题，而要使在路灯功率一定的情况下能耗最小，只能减少路灯的使用量。因此，在满足最低照明功率的前提下，通过改变路灯的高度来使路灯之间的距离达到最优是本问题的一个解决方案，而通过前两题计算的铺垫，我们应该已经具备解决此问题的能力，所以我们可以同样通过MATLAB算出数据，并且根据实际情况选出合理的路灯高度得出最后的结果。
三、 基本假设
1.假设路灯的光照强度（k为照度系数，可取1；P为路灯功率）；2.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m；
3.假设路灯为同一型号；
4.假设把两个路灯视为质点；
5.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；
6.假设路灯正常工作；
7.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；
8.假设p=2kw，p=3kw，h=5m，h=6m
四、符号的说明
P：路灯功率
h：路灯到地面的距离
r：路灯到最暗点的距离
：路灯到最暗点的连线与地面的夹角
X：最暗点
I：光照强度
K：照度系数
S：路灯之间的间距

五、 模型的建立与求解：
下图为根据问题所简化的坐标图：

5.1问题一的建模与求解：

r=h+x sin=
r=h+x sin=
思路：题目要求出最暗点X，即为求函数I(x)的最小值，所以应先求出函数的极值点

I(x)=+=+

利用MATLAB程序求得I(x)=0时x的值

代码：
s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))')
s1=vpa(s,8);
s1；
运行结果
s1 =
19.97669581
9.338299136
8.538304309-11.61579012*i
0.2848997038e-1
8.538304309+11.61579012*i

因为小>=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：

x
0
0.028489970
9.3382991
19.976695
20
I(x)
0.08197716 
0.08198104 
0.01824393
0.08447655
0.08447468

结论：综上，x=9.33m时，为最暗点。

5.2：问题二的建模与求解：

I(x，h)=+=+

思路：与问题一同理，求出函数（x，h）X为极值时h的值即为结果。

=-=0

利用MATLAB程序求得x：

=+=+=0

利用MATLAB求解h：
solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')
ans =
7.4223928896768612557104509932965
14.120774098526835657369742179215

由实际情况出发，因此h=7.42239m
即：当下一根路灯的高度为7.42239m时，X的光照强度最大。
5.3 问题三的建模与求解：
I为关于x、h、h的三元函数

I(x，h，h)=+

=-=0 ①

=-
=-=0 ②

=+=+=0 ③

根据①②③可得：
h=
h=

利用MATLAB求x、h、h的值
算法：
solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');
s1=vpa(s,6);
a=(1/sqrt(2))*s1;
a1=double(a);
b=(1/sqrt(2))*(20-s1);
b1=double(b);
a1,b1,s1 ；

结果：
a1 =
6.5940
5.1883 +12.0274i
5.1883 -12.0274i
b1 =
7.5482
8.9538 -12.0274i
8.9538 +12.0274i
s1 =
9.32530
7.33738+17.0093*i
7.33738-17.0093*i

综上，h=6.5940m h=7.5482m 最暗点X的亮度最大，此时X的坐标为（9.32530，0）。
优化方案：根据模型得出当h=6.5940m h=7.5482m x=9.32530m时，两台灯之间的最暗点X的亮度最大，可使路灯的照明效果获得最优。但在实际生活中，路灯高度不可能达到我们计算的精度，因此我们通过四舍五入，即使h=6.6m、h=7.5m，以此来优化我们路灯的照明
六、模型评价
6.1 模型的优点：
⑴ 模型通过提出三个问题，层层递进，最后可以顺其自然的得出优化方案。
⑵ 模型在计算中和计算后能联系实际，没有盲目的得出结论，而是通过联系实际，最后确定计算结果。
⑶ 模型求解时能够充分利用MATLAB数学软件，较好的解决了问题，得到了较理想的结果。
6.2 模型的缺点：
⑴ 由于做题人的水平有限，部分计算过程要通过借鉴网络上的信息完成。
⑵ 该模型只有在模型假设的那几个条件下才成立，对于假设外的条件，该模型并不很合适，而需要建立更复杂的模型。也就是说该模型只适合条件比较简单，要求结果不是很精确的情况。
⑶ 在模型假设中，我们假设是点光源，但是实际中不可能是点光源的情况，但是如果灯的大小与高度，距离相比其比值很小，通常情况是将灯处理成点光源。于是我们的模型仍然适用。
⑷ 在模型中，我们仅讨论了两盏灯光照下在两路灯之间的情况，而实际中公路上的路灯是两排排成列的，如果s比较大，路面较宽，在两灯之间的路面上的点至于这两灯有关，更远处的灯对该点的影响可以忽略。所以该模型仍然适用于s比较大，路面较宽的情况。但是如果s比较小，路面比较窄的情况下，就必须考虑其他灯对该点的影响，必须建立其他的模型。
⑸在实际当中，因为路段的气候，道路设计，地形，车流量，路段繁忙的程度等因素也会对路灯的安装造成很大的影响，这些情况要远比本探究所讨论的情况复杂得多，所以路灯安装还要考虑进去。由于时间的限制，本探究未能对这些情形进行讨论。
综上，该模型只适合某些满足条件的情况。
七、参考文献
[1] 高尚 路灯安置优化问题研究 数学的实践与认识 第34卷第1期 2004.01
[2] 张东全 城市路灯照明节能探讨 中国科技博览 2009.09.09
[3] Joey George，Dinesh Batra，面向过程系统分析与设计 2008
[4] Leonid Nison Vaserstein，Christopher Cattelier Byrne 线性规划导论，机械工业出版社 1999
[5] 谭浩强 C程序设计 清华大学出版社 1991
[6] 韩蕴，张兵 一种城市路灯合理排布的优化设计方法 物理 2007

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