湖南省2017年学业水平考试数学(真题含答案).doc

(完整word版)湖南省2017年学业水平考试数学(真题含答案)
2017年湖南省学业水平考试（真题）
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（）
A、正方体 B、圆柱
C、三棱柱 D、球
2.已知集合 ，则中元素的个数为（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
3.已知向量，若，则 ，若 ，则 （ ）
A、-10 B、10 C、-2 D、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入 的值为-2，则输出的( )
A、-2 B、0 C、2 D、4
5.在等差数列 中，已知 ，则
公差 （ ）
A、4 B、5 C、6 D、7
6.既在函数 的图象上，又在函数 的
图象上的点是
A、（0，0） B、（1，1） C、（ ） D、（）
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系是( )
A、平行 B、在平面内
C、相交但不垂直 D、相交且垂直
8.已知 ，则（ ）
A、 B、 C、 D、
9.已知 ，则
A、 B、 C、 D、
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数 （其中）的最小正周期为 ，则 .
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 人。
13.在中，角所对的边分别为 ，已知 ，则的面积为 。
14.已知点 在不等式组 表示的平面区域内，则实数 的取值范围为 。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）
已知定义在区间上的函数 的部分图象如图6所示.
（1）将函数 的图象补充完整；
（2）写出函数的单调递增区间.

17.(本小题满分8分)
已知数列 满足 ，且 .
（1）求及 ；
（2）设 ，求数列 的前项和.

18.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.

19（本小题满分8分）
已知函数
（1）若 ，求 和 的值，并判断函数 在区间(0,1)内是否有零点；
（2）若函数的值域为 ，求实数的值.

20.(本小题满分10分)
已知为坐标原点，点 在圆 上，
（1）求实数的值；
（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；
（3）过点作互相垂直的直线与圆交于两点，与圆交于 两点，求 的最大值.

2017年湖南省学业水平考试（参考答案）
数 学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（A）
A、正方体 B、圆柱
C、三棱柱 D、球
2.已知集合 ，则中元素的个数为（C）
A、1 B、2 C、3 D、4
3.已知向量，若，则 ，若 ，则 （ D ）
A、-10 B、10 C、-2 D、2
4.执行如图2所示的程序框图，若输入 的值为-2，则输出的( B )
A、-2 B、0 C、2 D、4
5.在等差数列 中，已知 ，则
公差 （ D ）
A、4 B、5 C、6 D、7
6.既在函数 的图象上，又在函数 的
图象上的点是( B )
A、（0，0） B、（1，1） C、（ ） D、（）
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系是( A )
A、平行 B、在平面内
C、相交但不垂直 D、相交且垂直
8.已知 ，则（ C ）
A、 B、 C、 D、
9.已知 ，则( A )
A、 B、 C、 D、
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（ B ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数 （其中）的最小正周期为 ，则 2 .
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区服务，则抽出的学生中男生比女生多 1 人。
13.在中，角所对的边分别为 ，已知 ，则的面积为 6 。
14.已知点 在不等式组 表示的平面区域内，则实数 的取值范围为 。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为 。

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）
已知定义在区间上的函数 的部分图象如图6所示.
（1）将函数 的图象补充完整；
（2）写出函数的单调递增区间.
解：（1）图象如图：

（2）由图象可知，函数在区间上的单调增区间为。

17.(本小题满分8分)
已知数列 满足 ，且 .
（1）求及 ；
（2）设 ，求数列 的前项和.
解：
为等比数列，公比；

（2） 由已知可知，

18.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图。
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.
解:(1)由题可知，本次测试成绩的众数为
（2）成绩在的频率为，学生人数为人，设为，成绩在的频率为，学生人数为人，设为,则从5人中任选2人的基本事件如下：共10个，其中2人来自同一组的基本事有,其4个基本件。
2人来自同一组）

19（本小题满分8分）
已知函数 （1）若 ，求 和 的值，并判断函数 在区间(0,1)内是否有零点；（2）若函数的值域为 ，求实数的值.
解：(1)
在区间(0,1)内有零点.
(2)当时，的取值范围是，当时，是二次函数，要使函数的值域为 ，则的最小值为，由二次函数可知，当时，取最小值，即.
20.(本小题满分10分)已知为坐标原点，点 在圆 上，（1）求实数的值；
（2）求过圆心且与直线平行的直线的方程；
（3）过点作互相垂直的直线与圆交于两点，与圆交于 两点，求 的最大值.
解：（1）把点代入圆得；
（2) 圆心坐标为，，过圆心且与平行的直线方程为，即
（3）设直线的方程为，直线的方程为，圆心到直线的距离为，，同理可

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