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数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析.doc

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1、(完整word版)数学选修2-1第一章常用逻辑用语典型例题含解析一知识点回顾:1、命题:可以判断真假的语句叫命题;逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词;简单命题:不含逻辑联结词的命题;复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母,表示命题.2、四种命题及其相互关系四种命题的真假性之间的关系:、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系3、充分条件、必要条件与充要条件、一般地,如果已知,那么就说:是的充分条件,是的必要条件;若,则是的充分必要条件,简称充要条件、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件

2、与结论之间的关系:、从逻辑推理关系上看:若,则是充分条件,是的必要条件;若,但 ,则是充分而不必要条件;若 ,但,则是必要而不充分条件;若且,则是的充要条件;若 且 ,则是的既不充分也不必要条件.、从集合与集合之间的关系上看:已知满足条件,满足条件:若,则是充分条件;若,则是必要条件;若A B,则是充分而不必要条件;若B A,则是必要而不充分条件;若,则是的充要条件;若且,则是的既不充分也不必要条件.4、复合命题复合命题有三种形式:或();且();非().复合命题的真假判断“或”形式复合命题的真假判断方法:一真必真;“且”形式复合命题的真假判断方法:一假必假;“非”形式复合命题的真假判断方法:

3、真假相对.5、全称量词与存在量词全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.存在量词与特称命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做特称命题.全称命题与特称命题的符号表示及否定全称命题:,它的否定:全称命题的否定是特称命题特称命题:,它的否定:特称命题的否定是全称命题.二典题训练:【例1】判断下列命题的真假(1)若xAB,则xB的逆命题与逆否命题;(2)若0x5,则|x2|3的否命题与逆否命题;(3)设a、b为非零向量,如果ab,则ab0的逆命题和否命题【

4、例2】若p:2a0,0b1;q:关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根,则p是q的什么条件?【例3】设p:实数x满足x24ax3a20,a0.且綈p是綈q的必要不充分条件,求实数a的取值范围【例4】写出下列命题的否定,并判断其真假(1)32;(2)54;(3)对任意实数x,x0;(4)有些质数是奇数例5.已知命题p:x1和x2是方程x2mx20的两个实根,不等式a25a3|x1x2|对任意实数m1,1恒成立;命题q:不等式ax22x10有解;若命题p是真命题,命题q是假命题,求a的取值范围例6.判断命题“已知a、x为实数,如果关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空,则a1”的逆否

5、命题的真假例7.已知p:2;q:x22x1m20 (m0),若綈p是綈q的必要非充分条件,求实数m的取值范围例8.已知方程x2(2k1)xk20,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件例题解析:例1解(1)若xAB,则xB是假命题,故其逆否命题为假,逆命题为若xB,则xAB,为真命题(2)0x5,2x23,0|x2|3.原命题为真,故其逆否命题为真否命题:若x0或x5,则|x2|3.例如当x,3.故否命题为假(3)原命题:a,b为非零向量,abab0为真命题逆命题:若a,b为非零向量,ab0ab为真命题否命题:设a,b为非零向量,a不垂直bab0也为真例2解若a1,b,则a24b0,关于x的方

6、程x2axb0无实根,故pq.若关于x的方程x2axb0有两个小于1的正根,不妨设这两个根为x1、x2,且0x1x21,则x1x2a,x1x2b.于是0a2,0b1,即2a0,0b1,故qp.所以,p是q的必要不充分条件【例3】解设Ax|px|x24ax3a20,a0x|3axa,a0x|x4或x2綈p是綈q的必要不充分条件,q是p的必要不充分条件AB,或,解得a0有解,当a0时,显然有解;当a0时,2x10有解;当a0有解,44a0,1a0有解时a1.又命题q为假命题,a1.综上得,若p为真命题且q为假命题则a1.例6.解方法一(直接法)逆否命题:已知a、x为实数,如果a1,则关于x的不等式

7、x2(2a1)xa220的解集为空集判断如下:二次函数yx2(2a1)xa22图象的开口向上,判别式(2a1)24(a22)4a7.a1,4a71,原命题为真又原命题与其逆否命题等价,逆否命题为真方法三(利用集合的包含关系求解)命题p:关于x的不等式x2(2a1)xa220有非空解集命题q:a1.p:Aa|关于x的不等式x2(2a1)xa220有实数解a|(2a1)24(a22)0,q:Ba|a1AB,“若p,则q”为真,“若p,则q”的逆否命题“若綈q,则綈p”为真即原命题的逆否命题为真例7解綈p:2,解得x10,Ax|x10綈q:x22x1m20,解得x1m,Bx|x1m綈p是綈q的必要非充分条件,BA,即且等号不能同时成立m9,m9.例8解令f(x)x2(2k1)xk2,方程有两个大于1的实数根,即k2.所以其充要条件为k2.

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