线性最优励磁控制器设计学士学位论文.doc

题 目 线性最优励磁控制器设计

毕 业 设 计(论文)

`

院 系
电力工程系
专业班级
电自023班
学生姓名
×××
指导教师
×××

××××年六月

华北电力大学毕业设计(论文)评定表

学生姓名

专业及班级

毕业设计(论文)题目

指
导
教
师
评
语

建议成绩 指导教师签字
年 月 日
评阅人意见

评阅人签字
年 月 日

答辩小组成员签字
姓 名
职 称
单 位

答辩小组评语

组长签字
年 月 日
答辩委员会结论

总评成绩:
答辩委员会主任签字
年 月 日
毕业设计(论文)起止时间： 年 月 日至 月 日
毕业设计(论文)答辩时间： 年 月 日

华 北 电 力 大 学
毕业设计(论文)任务书

所在院系 电力工程系

专业班号 电自023

学生姓名 ×××

指导教师签名

审批人签字

毕业设计(论文)题目 线性最优励磁控制器设计

年 月 日
一、毕业设计(论文)主要内容
1. 掌握励磁控制的原理和方法；
2. 掌握Matlab语言程序设计的方法和仿真软件的使用方法；
3. 掌握线性最优控制理论；
4. 设计线性最优励磁控制器；
5. 编制相应程序；
6. 给出仿真结果；
7. 撰写论文。

二、基本要求
1. 学习、掌握线性最优控制相关理论；
2. 掌握励磁控制的原理和方法；
3. 掌握Matlab语言程序设计方法和仿真软件使用；
4. 完成论文。
三、设计(论文)进度
序号
设计项目名称
完成时间
备注
1
查阅资料
第8周

2
撰写开题报告
第9周

3
总体方案设计
第10-11周

4
编程、调试
第12-15周

5
撰写论文与准备答辩
第16-18周

6

设计(论文)完成时间： 2006年 6月 23日

设计(论文)答辩时间： 2006年 月 日

四、参考资料及文献
1 商国才.电力系统自动化.天津大学出版社,1999
2 卢强,王仲鸿,韩英铎.输电系统最优控制.科学出版社,1982.10
3 姜玉宪等.控制系统仿真.北航出版社,1998
4 欧阳黎明.MATLAB控制系统设计.国防工业出版社,2001
5 商国才.发电机励磁控制系统数字仿真.华电教材科,1989
6 熊光楞等.控制系统仿真与模型处理.科学出版社,1993
7 韩璞,朱希彦.自动控制系统数学仿真.中国电力出版社,1996
8 黄道平.MATLAB与控制系统的数学仿真及CAD.化学工业出版社,2004
9 欧阳黎明.MATLAB程序设计与应用.高等教育出版社,2002
10 陈在平.控制系统计算机仿真与CAD MATLAB语言应用.天津大学出版社,2001
11 吴天明.MATLAB电力系统设计与分析.国防工业出版社,2004

五、附录

华北电力大学本科毕业设计（论文）
线性最优励磁控制器设计
摘要
同步发电机励磁系统的研究对提高电力系统的电压质量和经济运行具有重要的理论意义和现实意义。本文以线性最优励磁控制器的设计为主线。首先综述了同步发电机励磁系统控制方式的发展过程，接着介绍了最优控制理论，尤其是线性最优控制理论这一分支，随后介绍控制系统最优控制规律的海米尔登－庞特亚金方程的推导过程，在此基础上进一步推导出线性定常系统在采用二次型性能指标情况下的最优化条件，进而得出最优控制系统的设计方法和步骤。然后建立单机无穷大系统数学模型，按照前述的设计方法得到最优反馈增益，以最优控制理论为基础，以机端电压、发电机的有功功率和机端频率为状态量，以机组励磁电压为控制量，搭建线性最优励磁控制器（LOEC），并在SIMULINK下将其用于单机无穷大系统进行仿真实验。仿真结果表明，该励磁控制器满足同步发电机和电力系统的运行要求。

关键词：励磁控制，线性最优控制，发电机，状态空间方程，SIMULINK
Linear Optimal Excitation Controller Design
ABSTRACT
The research about excitation system of electric generator has very important theoretic and realistic meaning to improve the voltage quality and economical running level. This thesis focuses on the design of the linear optimal excitation controller. First, the development process of synchronization generator excitation control manner is summarized, and then the basic idea of optimal control, especially linear optimal control is introduced. The H-P equation which determined the law of normal closed control system is also presented. Based on the theory introduced before, the optimal condition is given, with LQ index for linear time-invariant control system. Then the means and steps to design linear optimal controller is developed.
After that a state-space equation model of one machine-infinite bus system is set up. By the means introduced before, based on the optimal control theory, a linear optimal excitation controller is designed; it takes active power output, generator terminal voltage and frequency as state variables and the excitation voltage as control variable. It’s used to one machine-infinite bus system carry on the simulation experiment under SIMULINK. The results obtained from the emulation show that the excitation controller meets the running needs of the synchronous generators and power system.

Keywords: excitation controller, linear optimal control, generator, state-space equation, SIMULINK.
目 录
摘要……………………………………………………………………………………………I
ABSTRACT……………………………………………………………………………………II
1．诸论………………………………………………………………………………………1
1．1励磁系统概述…………………………………………………………………………1
　1．1．1同步发电机励磁系统的任务…………………………………………………1
1．1．2对励磁系统的基本要求………………………………………………………2
1．2最优控制的发展与研究现状…………………………………………………………2
1．2．1最优控制理论的基本思想与常用方法………………………………………3
1．2．2最优控制理论的基本内容……………………………………………………3
1．2．3最优控制理论的研究现状……………………………………………………3
1．3励磁控制理论及其发展…………………………………………………………4
1．3．1古典励磁控制阶段……………………………………………………………4
1．3．2线性多变量励磁控制阶段……………………………………………………5
1．3．3非线性多变量励磁控制阶段…………………………………………………5
1．3．4励磁控制方式的发展方向……………………………………………………5
2．最优控制理论……………………………………………………………………………7
2．1引言……………………………………………………………………………………7
2．2二次型性能指标………………………………………………………………………7
2．3最优化原理——汉密尔顿－庞特亚金方程…………………………………………8
2．4线性最优控制系统设计原理…………………………………………………………9
3．线性最优励磁控制器的设计……………………………………………………………13
3．1引言……………………………………………………………………………………13
3．2系统数学模型…………………………………………………………………………13
3．3在MATLAB环境下计算最优反馈增益……………………………………………15
4．线性最优励磁控制器的仿真实现…………………………………………………………17
4．1 SIMULINK仿真环境介绍……………………………………………………………17
4．2线性最优最优控制器的模型…………………………………………………………17
4．3 单机无穷大系统的仿真模型…………………………………………………………18
4．4 仿真结果分析…………………………………………………………………………19
总结…………………………………………………………………………………………20
致谢…………………………………………………………………………………………21
参考文献………………………………………………………………………………………22
附录A……………………………………………………………………………………23
附录B………………………………………………………………………………29

华北电力大学本科毕业设计（论文）
1．绪论
1．1励磁系统概述
同步发电机的运行特性与它的空载电动势密切相关[1]，而空载电动势又是发电机励磁电流的函数，改变励磁电流就可影响同步发电机在电力系统中的运行特性，进而影响电力系统的运行情况。励磁系统是电力系统的重要组成部分，其性能的好坏和运行的可靠性，直接影响同步发电机系统的供电质量及其运行的可靠性和稳定性。因此，对同步发电机的励磁进行控制，是对发电机运行施加控制的重要内容之一。
电力系统在正常运行时，发电机励磁电流的变化主要影响电网的电压水平和并列运行机组间无功功率的分配。在某些故障情况下，发电机电压降低将导致电力系统稳定水平下降，甚至导致系统崩溃。因此，当系统发生故障时，要求发电机的励磁系统迅速增大励磁电流，以维持电网的电压水平及稳定性。可见，同步发电机励磁的自动控制在保证电力系统的安全稳定运行方面起着十分重要的作用。

图1-1 励磁系统结构框图
同步发电机的励磁系统一般由励磁功率单元和励磁调节器两部分构成[2]，如图1-1所示。励磁功率单元向同步发电机转子提供直流电流，即励磁电流；励磁调节器根据输入信号和给定的调节准则控制励磁功率单元的输出。整个励磁自动控制系统是由励磁调节器、励磁功率单元和发电机构成一个反馈控制系统。
1．1．1同步发电机励磁系统的任务
在电力系统正常运行或发生故障时，同步发电机的励磁控制系统起着重要的作用。优良的励磁控制系统不仅可以保证发电机可靠运行，提供合格的电能，而且还可有效地提高系统的技术指标。根据运行方面的要求，励磁控制系统应该承担以下任务[3]：
1) 电压控制。电力系统在正常运行时，负荷总是经常波动的，同步发电机的功率也就相应的变化。随着负荷的波动，需要对励磁电流进行调节以维持机端或系统中某一点的电压在给定的水平。励磁系统担负着维持电压水平的主要任务。
2) 无功功率的分配。在单机无穷大系统中，调节机组的励磁电流就可以改变发电机无功功率；在实际系统中，发电厂输出的无功电流与其母线电压水平有关，改变其中一台发电机的励磁电流不但将影响发电机电压和无功功率，而且也将影响与之并联运行机组的无功功率。
3) 提高同步发电机并联运行的稳定性。电力系统在运行时随时都可能收到各种干扰，在干扰之后，发电机组能够恢复到原来运行状态或者过渡到新的运行状态，则称系统是稳定的。其主要标志是在过程结束后，同步发电机仍能维持或恢复同步。在分析电力系统的稳定性问题时，不论是静态稳定还是暂态稳定，在数学模型表达式中总含有发电机的空载电动势，而空载电动势与励磁电流密切相关。由此可见，励磁系统可以通过改变励磁电流从而改变空载电动势来改善系统稳定性。
4) 改善电力系统的运行条件。当电力系统由于种种原因，出现短时低电压时，励磁系统可以发挥其调节作用，大幅度地增加励磁以提高系统电压，从而改善系统运行条件。
5) 水轮发电机组要求强行减磁。当水轮发电机组发生故障突然跳闸时，由于它的调速系统具有较大的惯性，不能迅速关闭导水叶，因而会使转速急剧上升。如果不采取迅速降低发电机的励磁电流的措施，则发电机电压有可能升高到危及定子绝缘的程度。所以此时要求励磁系统能实现强行减磁。
1．1．2对励磁系统的基本要求
励磁系统是由励磁功率单元和励磁调节器两部分组成的，为了充分发挥它们的作用，完成发电机励磁自动控制系统的各项任务，对励磁功率单元和励磁调节器性能分别提出了如下要求[3]。
对励磁调节器而言，其主要任务是检测和综合系统运行状态的信息，以产生相应的控制信号，经放大后控制励磁单元以得到所要求的发电机励磁电流。所以对它的要求如下：
1) 系统正常运行时，励磁调节器应能反映出发电机端电压高低以维持发电机电压在给定水平。通常认为，自动励磁调节器应能保证同步发电机端电压静差率：半导体型的为<1％，电磁型的为<3％。
2) 励磁调节器应能合理分配机组的无功功率，为此，励磁调节器应保证同步发电机端电压调差率可以在下列范围内进行调整：半导体型的为±10％，电磁型的为±5％。
3) 对远距离输电的发电机组，为了能在人工稳定区域运行，要求励磁调节器没有失灵区。
4) 励磁调节器应能迅速的反应系统故障，具备强行励磁等控制功能以提高暂态稳定性和改善系统运行条件。
5) 具有较小的时间常数，能迅速响应反馈信息的变化。
励磁功率单元受控于励磁调节器，对其要求如下：
1) 要求励磁功率单元有足够的可靠性，并具有一定的调节容量。在电力系统运行中，发电机依靠励磁电流的变化进行系统电压和本身无功功率的控制。因此，励磁功率单元应具有足够的调节容量以适应电力系统中各种运行工况的要求。
2) 具有足够的励磁顶值电压和电压上升速度。从改善电力系统运行条件和提高电力系统暂态稳定性来说,希望励磁功率单元具有较大的强励能力和快速的响应能力。
1．2最优控制理论及其发展
最优控制理论是上世纪六十年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一，它致力于研究和解决如何从一切可能的方案中寻找一个最优的方案[4]。1948年维纳等人发表《控制论──关于动物和机器中控制与通信的科学》一文，引进信息、反馈和控制等概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。我国著名学者钱学森在1954年编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展与形成。在最优控制理论的形成和发展过程中，具有开创性的研究成果和开辟求解最优控制问题新途径的工作，主要是美国著名学者贝尔曼(R.E.Bellman)的“动态规划”和原苏联著名学者庞特亚金的“最大值原理”，此外，构成最优控制理论及现代最优化技术理论基础的代表性工作，还有库恩和图克共同推导的关于不等式约束条件下的非线性最优必要条件(库恩一图克定理)及卡尔曼的关于随机控制系统最优滤波器等。
1．2．1最优控制理论的基本思想及常用方法
最优控制理论是现代控制理论中的核心内容之一。其主要实质是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制规律(或控制策略)，使得系统在规定的性能指标(目标函数)下具有最优值，即寻找一个容许的控制规律使动态系统(受控对象)从初始状态转移到某种要求的终端状态，保证所规定的性能指标达到最小(大)值。
动态规划、最大值理论和变分法是最优控制理论的常用方法。
动态规划是贝尔曼于二十世纪五十年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。这个方法的关键是建立在他所提出的“最优性原理”基础之上的，这个原理归结为用一组基本的递推关系式使过程连续的最优转移。它可以求这样的最优解，这些最优解是以计算每个决策的后果并对今后的决策制定最优决策为基础的，但在求最优解时要按倒过来的顺序进行，即从最终状态开始到初始状态为止[5]。
庞特亚金于1956—1958年间创立的最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分和控制理论发展史上的一个里程碑。它是解决最优控制问题的一种最普遍的有效方法。由于它放宽了求解问题的前提条件，使得许多古典变分法和动态规划无法解决的工程技术问题得到了解决。
1．2．2最优控制理论的基本内容
一般最优化方法解决实际工程问题可分为四步[6]：
1) 首先是合理地确定所研究系统的数学模型，即建立控制系统的状态空间方程；
2) 其次是合理地选择和规定控制系统的性能指标；
3) 然后通过计算，指出采用何种控制规律可以达到所指出的性能指标；
4) 最后从现实的技术状况出发，指出实现所提的最优控制规律的途径。
1．2．3最优控制理论的研究现状
目前研究最优控制理论最活跃的领域有神经网络优化、遗传算法、鲁棒控制、预测控制、混沌优化控制以及稳态递阶控制等。
人工神经网络设计一般基于专家的经验和实践。应用最广泛的是误差反向传播神经网络，简称BP网络，是一种具有三层或三层以上的阶层型神经网络。理论上它是基于以梯度法为基础的一种全局网络，由于受到算法的限制，不能保证收敛结果全局最优。根据神经网络理论，网络总是朝着能量函数递减的方向运动，并最后到达系统的平衡点，也就是说：Hopfield能量函数的极小值就是系统稳定的平衡点，这样就只要得到系统的平衡点就能得到能量函数的极小点。因此把神经网络动力系统的吸引子设定为适当的能量函数的极小点，优化算法从初始状态就随着系统运动到终端状态。即得到了极小点。如果把全局优化理论运用到控制系统中，则控制系统的目标函数最终到达的正是所希望的最小点。目前许多专家正致力于利用最优控制理论解决神经网络结构优化问题来改善系统控制精度和寻求一种全局收敛的快速学习算法，以满足系统实时控制和良好性能的需要。周志坚[7]基于最优控制的思想在给出神经网络控制的结构之后，提出一种最优模糊神经网络控制器，得出很好的仿真结果。
遗传算法是基于生物进化思想的一种优化方法，其基本算法力求充分模仿“适者生存，优胜劣汰”这一自然寻优过程的随机性、鲁棒性和全局性，是一种新的全局优化搜索算法。遗传算法利用设计变量编码在设计变量空间进行多点搜索，是以适应函数为依据，通过对个体施加遗传操作进行群体内个体结构重组来实现优化的迭代过程在这一过程中，遗传算法中杂交算子能使群体进化不断向最优个体逼近；遗传算法中的突变杂交算子能避免杂交繁殖收敛于局部优良个体，并保持搜索的多样性。这些都确保了遗传算法中多点搜索一直处于不同的局部区域，使得遗传算法比一般优化算法具有更强的全局寻优能力。目前，与最优控制相结合的遗传算法已应用到了许多领域，解决了如组合优化、优化调度、运输问题、电机优化设计等实际问题。曹洁[8]为了求解Riccati方程，在遗传算法基础上运用最优控制理论，优化选择两个权矩阵Ｑ阵和Ｒ阵，使线性二次型最优调节器问题以及线性二次型高斯问题得到优化设计。
鲁棒控制是针对不确定性系统的控制系统设计方法，其理论主要研究的问题是不确定性系统的描述方法、鲁棒控制系统的分析和设计方法以及鲁棒控制理论的应用领域。鲁棒控制理论发展的最突出的标志之一是H∞控制。H∞控制是解决系统不确定性问题的一种有效工具，它确立了系统在频域内进行回路成形的技术和手段，充分地克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典的频域概念与现代的状态空间方法融合在一起。H∞控制从本质上可以说是频域内的最优控制理论。鲁棒控制与最优控制结合解决许多如线性二次型控制、电机调速、跟踪控制、采样控制、离散系统的镇定、扰动抑制等实际问题。王勋先[9]提出了一种新的鲁棒最优控制器，该控制器使用H∞鲁棒控制理论设计抗扰调节器和二次型最优控制理论设计跟随调节器，应用于感应电机调速系统得到了很好的效果。
预测控制又称基于模型的控制，是一类新型计算机优化控制算法，其本质特征是预测模型，滚动优化和反馈校正。对非线性系统有期望的稳定性。预测控制理论中的滚动优化是反复在线进行，不同时刻优化性能指标的时间区域其绝对形式均不同。这种滚动优化能对系统因多种因素而引起的不确定性进行及时的弥补，始终把新的优化建立在实际的基础之上，使控制系统保持实际上的最优。
最优控制理论在预测控制的应用主要是滚动优化算法，这种算法主要特点是把系统离散形式的有限优化目标实现滚动推进，使得在控制的全过程中实现了动态优化，而在控制的每一步实现静态参数优化。
混沌运动是指在确定性非线性系统中不需要附加任何随机因素亦可出现类似随机的行为。其基本的特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖性或对小扰动的极端敏感性。混沌运动在一定的范围内按其自身的规律不重复地遍历所有状态，这种遍历性可被用来进行优化搜索且能避免陷入局部极小。因此，混沌优化技术已成为一种新兴的搜索优化技术。
递阶控制是一种计算机在线稳态优化的控制结构。其指导思想是将一大系统分解为若干个互相关联的子系统。即把大系统的最优控制问题分解为各子系统的问题。在各个子系统之上设置一个协调器，判断所得的子系统求解子问题结果是否适合整个大系统的最优控制，若否，则指示各子系统修改子问题并重新计算。通过协调器的相互迭代求解即可得到最优解。
1．3励磁控制方式的发展与现状
励磁控制方式的发展总是紧紧依赖于控制理论的发展，可以说励磁控制方式的每一次突破都是以控制理论的发展为契机的。随着电网规模的不断扩大及其对安全稳定性水平要求的提高，励磁控制经历了由单变量到多变量，由线性到非线性，最后到完全智能化的控制方式。从40年代至今，励磁控制方式大体经历了三个发展阶段[10]。
1．3．1古典励磁控制阶段
20世纪50年代，古典控制理论已基本发展成熟，具备了较完整的理论体系。它主要采用传递函数进行控制系统的数学描述，其研究对象为线性定常系统，所用的数学工具主要是拉氏变换和多项式代数。在古典控制理论的指导下，励磁控制首先从单机系统的分析和设计开始，提出了按发电机端电压偏差调节的单输入－单输出的常规励磁控制方式，即比例调节方式。由于比例调节方式不能很好满足大电力系统对抑制振荡、提高静态稳定极根以及稳态电压调节精度等方面的要求，于是便发展到按发电机端电压偏差的比例－积分－微分的PID调节方式。PID调节方式虽在一定程度上提高了稳态电压精度，却不能有效地改善系统的动态品质和提高系统的稳定水平，尤其是快速励磁方式的采用会使电力系统阻尼特性恶化，致使出现负阻尼的情况，使电力系统发生低频振荡，比例调节和PID调节方式都无法发挥其良好的控制效果。
为了改善系统阻尼特性，抑制由于阻尼不足引起的自发振荡，美国学者F.D.Demello和C.Concordio采用古典控制理论中的相位补偿技术，提出了发电机的辅助励磁控制方式──电力系统稳定器(PSS)。PSS除保留PID调节规律外，增加了一个按发电机转速ω或频率f的二阶超前校正环节。这样，励磁控制方式由单输入控制系统发展成为双输入控制系统。
1．3．2线性多变量励磁控制阶段
20世纪60年代末，现代控制理论的发展和逐渐成熟，为电力系统多变量控制开拓了新的有效途径。它的研究对象扩展到多输入－多输出的动态系统，使用的数学工具的范围涉及到现代微分方程理论、泛函极值理论和线性代数等。余耀南率先提出发电机的最优励磁控制方式──线性最优励磁控制器(LOEC)[11]。LOEC有一套严整的设计理论，这比在很大程度上依赖工程经验的古典控制方式大大前进了一步。由于考虑了电力系统多个控制目标的综合，并采用最优化设计，因而具有更好的动态性能，在鲁棒性和适应性上也有很大的改善。但经典的LOEC也存在一些不足[12]，如：①线性化的结果与实际的非线性方程有一定的偏离；②当电力系统的接线方式发生变化，其描述系统的状态方程将和实际的系统出现偏差而导致控制性能下降；③缺少足够高的电压反馈增益，积分型LOEC虽然改进了稳态电压调节精度，但附加积分环节会导致削弱阻尼和积分饱和等问题。
1．3．3非线性多变量励磁控制阶段
由于线性最优控制理论所用的数学模型都是系统在平衡点处线性化的常微分方程组，这种模型仅当电力系统运行在设计所选的平衡点处遭受微小扰动时才是正确的，而当系统的运行状态远离其设计平衡点时，控制器输出将会带来较大误差。因为电力系统机电暂态过程中的稳定控制是一个典型的非线性控制问题，所以励磁控制方式必须以电力系统非线性控制模型为基础，使得控制问题更加真实地贴近工程实际。
非线性励磁控制最为人所知的是两种精确线性化方法，即基于微分几何理论和基于大范围直接线性化理论的非线性励磁控制方式。然而这些方法都存在局限性[13]，微分几何法与线性最优控制一样是当电力系统的接线方式发生变化而导致的控制性能微小下降，且在涉及到非线性可逆性质和在动态反馈下的结构性质时呈病态现象；直接大范围线性化理论仍然是建立在线性化理论基础上的，缺乏严格的数学证明。
1．3．4励磁控制方式的发展方向
电力系统的非线性决定了今后励磁控制的研究会继续围绕非线性控制模型来展开，除了在上面两种非线性控制方法会进一步完善和提高外，在以下几个方面非线性控制研究可望取得进展。
1) 自适应励磁控制方式
自适应励磁控制要求在线辨识运行工况变化引起的系统参数变化，并不断修正控制器参数，从而达到跟踪运行工况变化实现最佳控制的目的。文献[14]做了这方面的有益工作。
2) 模糊控制方式
模糊控制方法利用受控对象的知识模型设计控制策略，具有良好的人机智能结合能力，能够方便地利用人的经验知识、技巧和直觉推理进行控制。文献[15]提出的Fuzzy自适应控制通过对发电机有功功率和端电压测量，由Fuzzy推理机经推理和决策给出适宜的反馈增益矩阵，从而实现对运行工况的跟踪，提高系统的稳定性和改善系统的动态品质，解决了自适应控制存在的实时性问题。
3) 人工神经网络方法
人工神经网络(ANN)的高度非线性映射能力为大型复杂的非线性系统辨识和控制提出了一个新途径。文献[16]分析表明人工神经网络在经过充分训练之后，能适应任意的非线性函数，这使得人工神经网络能够用于任意复杂系统的辨识。由人工神经网络构成的控制器在经过充分训练之后，能驱使系统输出以最佳路线跟踪期望目标。
2．最优控制理论
2．1引言
最优控制理论包括的对象很广泛，如线性最优控制理论、非线性最优控制理论和随机最优控制理论等，其中发展比较完善、应用最广泛的分支是线性最优控制理论[17]。
最优控制理论的主要特点是[1]：①不是建立在传递函数的基础上，而是建立在空间状态方程的基础上，是基于系统稳定性的方法；②适用于多控制量的系统；③可以根据被控对象的实际要求，用解析的方法得出最优控制规律，以保证要求的性能指标达到极值；④不局限于常系数线性系统，而亦适用于时变的线性系统、非线性系统及离散系统等。
2．2二次型性能指标
我们在设计多反馈量、多控制量的控制器时，应首先根据工程上的要求提出希望达到的性能指标，然后根据所提出的性能指标进行设计，以决定控制规律及控制器的参数等。显然，对于不同的目的与要求就有不同的性能指标，而对应于不同的性能指标，就有不同的控制规律。因此对一个控制系统提出什么样的性能指标，对设计一个最优控制系统是具有决定性意义的。

图2-1 控制系统输出量的动态响应
设有一个控制对象D与一个控制器C组成一人闭环控制系统，在输入端当t=t0j时施加一个单位阶跃干扰g(t)如图2-1所示，那么，输出量y(t)将因此而产生一个过渡过程。假如这个系统是稳定的，则最终(即t→∞)y(t)将趋于并等于有限常量y。由前述可知，这个对应于干扰量g(t)的输出量y(t)的整个变化过程称作输出量y(t)对应于干扰量g(t)的动态响应。我们希望这个闭环控制系统C－D的输出y(t)的动态响应也是一个阶跃函数，即希望输出量y(t)在加入阶跃输入的瞬间，不经过任何振荡和时滞地达到y(∞)值，(如图2-2曲线1所示)。但是实际上这是不可能实现的，因为实际系统问题存在惯性的。所以实际系统的动态响应可能如图2-2中曲线2、3、4中的某一类型。

图2-2 对应不同输入的控制系统动态响应
显然，我们可以提出这样的要求，使得实际的动态响应就与理想的动态响应（如图2-2曲线1所示）之间的误差尽可能的小。用数学语言来表达这一要求可以有多种方式，其中二次型性能指标为：
令ξ(t)表示理想动态响应，y(t)表示实际的动态响应
　　 (2－1)
即要求ξ(t)与y(t)的差值的平方的积分为极小值。
二次型性能指标泛函就是误差函数的平方对时间t的定积分。由于其物理意义明确，在数学上又较便于处理，所以在最优控制系统设计中经常被采用。
以上关于性能指标的概念很容易被推广到多个状态变量反馈的控制系统中去。
令向量Ξ(t)表示所希望的状态，向量X(t)表示实际状态。假定Q是一个实对称正定或半正定的矩阵，那么下列正定二次型函数
的定积分
　　　 (2－2)
就是二次型指标泛函。使得这个泛函取得极小值的系统就是对应这种指标的最优控制系统。
在式(2－2)所表示的这种指标泛函中，对控制量Ｕ并没有回以任何限制。这就很可能使得以上性能指标泛函为极小值的控制系统要求有过大的控制量Ｕ，从而使得设计不合理，或脱离了现实可能性。由此可知，在性能指标中还应该对控制量Ｕ也加以一定的限制。要求在满足平方误差函数定积分取得极小值的同时也使得控制量的正定二次型函数的积分取得极小值。这样就有了以下的二次型性能指标。
(2－3)
上式中，Ｒ是r×r阶的实对称正定矩阵，r为控制向量Ｕ的维数。上式中被积式的第二项是控制量Ｕ(t)的正定二次型函数。
当系统处于原点(即平衡点)时，系统受到某种干扰的作用，得到偏离原点的初始状态向量X (0),若系统是渐近稳定的，最后系统状态向量将回到原点。在这种情况下，所谓的“希望状态”向量Ξ(t)就是平衡点，即原点。这就可以认为
Ξ(t)＝0
于是式(2－3)的性能指标可以写为
　 　(2－4)
这里Ｑ、Ｒ分别称为对应于状态量与控制量的权矩阵。例如在设计中，如果将Ｒ矩阵所有元素乘以实数W>1，那么就意味着对控制能量的限制给予了更大一些的重视。同样，若在Ｑ矩阵中，有意识地将对应于某一状态量xi的元素qi的值增大，则意味着对状态量xi在过渡过程中的行为给予了更多一些的重视。这就是称Ｑ、Ｒ权矩阵的缘由。式(2－4)就是控制系统二次型性能指标的典型形式。
2．3最优化原理───海米尔登－庞特亚金方程
海米尔登－庞特亚金方程(简称H-P方程)是决定一般的闭环控制系统最优控制规律的方程，解H-P方程组即可得到最优控制规律。
设有控制系统，其状态方程为：
　　　 (2－5)
这里广义速度函数f(X,U)可能是线性的也可能是非线性的，所给的性能指标泛函为
　　　 (2－6)
为了使控制系统达到最优化，则要求性能指标泛函达到极小值，即要求
(2－7)
上式中，泛函J的宗量函数Ｘ(t)及U(t)分别为状态向量及控制向量。现在总是归结为：求满足状态方程(2－5)的泛函J为极小值的必要条件。这是一个典型的求解具有约束条件(即状态方程)的变分问题。
引入n维拉格朗日乘子函数向量Λ(t)和一个标量函数──海米尔登函数：

得到所给出的性能指标泛函J达到极小值的必要条件
　　 (2－8)
称式(2－8)为海米尔登－庞特亚金方程(简称H-P方程)，它是线性的或非线性的控制系统最优化条件的一般表达式。
2．4线性最优控制系统设计原理
本节将进一步推导出线性时变的或定常的控制系统在采用二次型性能指标情况下的最优化条件，并给出线性最优控制系统的设计方法和步骤。
线性系统状态空间方程的一般形式为
　(2－9)
如果在上式中，A、B是常系数矩阵，那么所研究的系统为线性定常系统。式中X(t)为n维状态变量，A(t)为n×n阶状态系数矩阵，B(t)为n×r阶控制系数矩阵，U(t)为r阶控制向量。若r=1，则B(t)为n维列向量。
系统的性能指标采用二次型性能指标为
　　 (2－10)
现在我们的目标就是，求使得指标泛函J达到极小值的控制规律，即最优控制规律。
Ｈ函数为

根据H-P方程，可以得出对应线性系统的最优化条件为
(2－11)
(2－12)
(2－13)
由式(2－12)可以得到最优控制规律Ｕ*应满足