浅谈中学数学中的配方、换元法.doc

青海民族大学

毕 业 论 文 （ 设 计 ）

论文题目： 浅谈中学数学中的配方、换元法

学生姓名： 学号：

指导教师： 职称：

院 系： 数学与统计学院

专业班级： 2011级数学与应用数学民族班

二○ 一五 年 月 日

独创性声明

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毕业论文作者签名： 签字日期：2015 年 03 月17 日

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论文作者签名： 签字日期：2015 年 03月 17 日

指导教师签名： 签字日期： 年 月 日

目录
摘要 1
1引言 1
2 配方法 2
2.1配方法的定义 2
2.2配方法的各种配方形式 2
2.3示范性典例： 2
2.4再现性典例： 4
3 换元法 5
3.1换元法的定义 5
3.2换元法的类型及其运用 6
3.3示范性典例： 6
3.4再现性典例： 9
3.5用换元法解题时应遵循的原则： 9
结论 11
致谢 12
参考文献： 13

【摘要】为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本文简要介绍高考中常用的两种数学基本解题方法：配方法、换元法。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以典例的形式出现。示范性典例进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范，再现性典例是一组简单的选择填题进行方法的再现旨在检查学习的效果，起到巩固作用。
关键词: 中学数学 高考  解题方法  数学解题  配方法  换元法
སློབ་མ་ཚོར་སྐུལ་འདེབས་བྱས་ཏེ་རྩིས་ཕྲིང་འགྲོལ་ཐབས་ཁོང་དུ་ཆུད་པར་བྱེད་པ། འདི་མཐོ་རྒྱུགས་ཁྲོད་རྒྱུན་མཐོང་གི་རྩིས་རིག་གི་རྨང་གཞི་རྩིས་ཕྲེང་འགྲོལ་ཐབས་རང་སྒྱུར་སྡེབ་ཐབས་དང་རྒྱུ་བརྗེ་བའི་ཐབས་ངོ་སྤྲོད་བྱས་ཡོད། ཚན་པ་རེ་རེའི་ནང་དོན་ཁྲོད་སྔོན་དུ་བྱེད་ཐབས་དང་ཡང་གནད་དོན་ལ་ཕྱོགས་བསྡུས་རང་བཞིན་གྱིས་གསལ་བཤད་བྱས་ཏེ་མཐར་མཚོན་བྱེད་དཔེ་བརྗོད་ཀྱི་རྣམ་པ་ལྟར་མངོན་པར་བྱས་ཡོད། དཔེ་སྟོན་རང་བཞིན་གྱི་མཚོན་བྱེད་དཔེ་བརྗོད་ལ་ཞིབ་ཚགས་ཀྱིས་དབྱེ་ཞིབ་དང་འགྲེལ་བཤད་བྱས་ནས་བྱེད་ཐབས་དང་གནད་དོན་ལ་དཔེ་སྟོན་གྱིས་སློབ་མ་ཚོའི་རྒྱུད་ལ་འབྱོར་དགོས།
གནད་འགག་མིང་བརྡ། དམའ་འབྲིང་གྲངས་རིག འགྲོལ་ཐབས། མཐོ་རྒྱུགས། རང་བསྒྱུར་སྒྲིག་ཐབས། རྒྱུ་བརྗེ་བའི་ཐབས།

青海民族大学毕业论文
1引言
众所周知，数学解题与数学的进展是紧密相关的．我国古代数学经典《九章算术》就是从“解题”形式展现那个时代数学发展的丰硕成果的．伴随着数学的发展，数学解题的思想、方法等也日臻深化和完善．如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙，千变万化，异彩纷呈，美不胜收．著名数学教育家波利亚说过: “一位好的数学老师或学生应努力保持解题的好胃口．”这是因为，解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段; 解题是培养分析问题、解决问题能力和创造能力的有效途径。
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成”完全平方”)的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质就是“转化与化归”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，获得问题的解决。

13

2 配方法
2.1配方法的定义
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
2.2配方法的各种配方形式
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；
a＋b＋c＋ab＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；
x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2 ；…… 等等。
2.3示范性典例：
例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。
A. 2 B. C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：
长方体所求对角线长为：＝＝＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程的两实根为p、q，若()+()≤7成立，求实数k的取值范围。
【解】方程的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
()+()＝＝＝＝≤7，解得-。
又 ∵p、q为方程的两实根，
∴ 即k≥2或k≤－2
综合起来，k的取值范围是：－≤k≤－ 或者 ≤k≤。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。
2.4再现性典例：
1. 在正项等比数列{a}中，a﹒a+2a﹒a+aža=25，则 a＋a＝_______。
2. 方程x＋y－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. <k<1 B. k<或k>1 C. k∈R D. k＝或k＝1
3. 已知，则的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
【简解】 1小题：利用等比数列性质aa＝a，将已知等式左边后配方易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)＋(y－b)＝r，解r>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(sinα＋cosα)－2sinαcosα＝1，求出，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。
2.5使用配方法解题时应注意的地方：
1、将要求解的一元二次方程化为标准形式a+ bx + c = 0;
2、化二次项系数为1，同时把常数项移动到等号右边；
3、等号左右两边分别加上一次项系数一半的平方；
4、将等号左边的代数式写成完全平方式；
5、对等号左右的式子同时开方，整理即可得原方程的解。
3 换元法
3.1换元法的定义
一般地说把数学问题中的某一(些)字母的表达式用另一个字母代换;或者把数学问题中的某一字母用另一(些)字母来代换;或者把数学问题中的某一(些)字母的表达式用另一(些)字母表达式来换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识代换从而使原来的问题化为简单而易于解决的问题的方法叫做换元法(或变量代换法)。
换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
3.2换元法的类型及其运用
换元法的类型有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα ，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,]。
3.3示范性典例：
例1.已知：x + y + z = 1,求证++.
证明：令x= - s,y = + s + t,z = - t.则有：
++=（ - s）+（ + s + t）+（ - t）
= + s + t +(s + t)
.
例2． △ABC的三个内角A、B、C满足：A＋C＝2B，＋＝－，求cos的值。
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得 ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ，再代入可求cosα即cos。
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得：

由A＋C＝120°，设，代入已知等式得：
＋＝＋
＝＋
＝＝
＝－2,
解得：cosα＝， 即：cos＝。
例3. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的值。
【解】 设＝＝k，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x+y)＝1,代入②式得： ＋＝＝
即：＋＝
设＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或
所以，＝±或±
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ的式子：1＋tgθ＝＝tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3＝0，
所以，t＝3或， 解得＝±或±。
【注】 第一种解法由＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。第二种解法将已知变形为＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。
3.4再现性典例：
1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。
3.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
4.方程＝3的解是_______________。
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；
2小题：已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a＝－；
3小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
4小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；
3.5用换元法解题时应遵循的原则：
整体性原则（反复比较式子中重复出现的整体结构，以便找到最恰当的辅助元）；
简洁性原则（选择简洁代换和使新变量范围尽量最简）；
统一性原则（体现在减元，改变函数结构，降幂等思想，有助于寻找问题的突破口）；
等价性原则（利用换元解题时，需使新变量的允许值和原变量的可取值范围之间保持等价）。
结论
换元法和配方法是两种常用的数学解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点，进行巧妙的换元或配方，可以收到事半功倍的效果。通常说的换元法 ,是把一个未知的代数式子用一个字母来表示 ,从而使原问题得到简化 .但有时 ,也需要把问题中的某个确定的常值用字母来代替 ,使问题获得巧妙的解答。所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。有时题中指定用配方法或换元法求解，而更多的则是隐含在题目当中，在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法，把代数式配成完全平方式的形式，利用完全平方式的特性去求解，以达到快速解题的目的，这是种快捷也是很有效的方法，在初中代数中，占有很重要的地位和份量。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

致谢
大学四年的学习如白驹过隙般在不经意之间匆匆而过，人生黄金的生活已然接近了尾声，伴随着答辩的临近，我们的大学生活就要和我说再见了．回顾这两个多月的论文写作过程，真的让我感慨万千：
首先，我要感谢的是我的论文指导教师赵宁老师，在我论文的设计过程中给我提供了很多专业性的指导和新颖的建议，赵老师严谨而热情的工作态度给我留下了深刻的印象，若没有赵老师的帮助，这次的毕业论文设计不会这样顺利．所以，借此机会我向赵老师致以深深的感谢和敬意．
其次我要真诚地感谢我学习生涯中其他的老师、同学和朋友，在我的课题研究中，他们或多或少提供的信息是我灵感的来源，在知识和工具上都给了我很大的帮助，所以同样致以感谢．
最后我要感谢四年的大学生活，四年的历练让我对自己的人生观、价值观有了新的认识，让我对以后将要走的路有了更加明确的方向感．在今后的人生路上，我将会更加努力的学习，不辜负老师、朋友以及家人的期望．

参考文献：
[1] 郑毓信,肖柏荣,熊萍, 数学思维与数学方法论 [M]. 成都：四川教育出版社。(配方法和换元法的定义及性质)
[2] 张雄，李得虎，数学方法论与解题研究 [M]. 北京：高等教育出版社。（4.4再现性典例中的例1、2、3、4）
[3] 周房安，数学选择题解答策略[J].广东教育，2006,(04).62～63。(3.3示范性典例中的例1。 3.4再现性典例中的例2、3)
[4] 傅钦志，高考解题中的优先策略[J].高中数理化，2004,(02).1～2。（3.3示范性典例中的例2、3。 4.4示范性典例中的例1、2、3）
[5]肖学平，中学数学的基本思想和方法.科学出版社。(3.5和4.5中分别配方法的遵循规则和换元法中应遵循的规则)