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(完整版)[考研数学]概率论与数理统计复习题

概率论与数理统计复习题
一：全概率公式和贝叶斯公式
例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2:1，各车间产品的不合格率依次为8％,9％， 12％ 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；(2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率.

解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2， P（A2)=1/3， P(A3）=1/6，
P(B｜ A1）＝0。08，P(B｜ A2）＝0.09,P（B| A3）＝0。12。
由全概率公式P(B） = P（A1)P（B| A1）+ P（A2）P(B| A2）+ P(A3）P(B｜ A3） = 0。09
由贝叶斯公式:P(A1｜ B)＝P（A1B)/P(B) = 4/9

练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％,2%，4% 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？
【 0.4 】

练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：
（1）取出的零件是一等品的概率；
(2）在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。
解:设事件=｛从第i箱取的零件}，=｛第i次取的零件是一等品}
（1）P（)=P(）P（｜）+P（）P（｜）=
(2）P()=,则P(｜）== 0。485
二、连续型随机变量的综合题
例：设随机变量X的概率密度函数为
求：（1)常数λ;(2）EX;（3)P{1〈X〈3}；（4）X的分布函数F(x)
解：(1）由得到λ＝1/2
(2)
(3)
（4)当x<0时，
当0x<2时,
当x2时，F(x)=1
故

练习：已知随机变量X的密度函数为
且E(X）=7/12。求：（1)a , b ;（2）X的分布函数F（x）

练习：已知随机变量X的密度函数为
求：（1）X的分布函数F（x) ；(2)P{0.3〈X〈2}

三、离散型随机变量和分布函数
例：设X的分布函数F（x)为：
， 则X的概率分布为（ ）。
分析:其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量
[答案： P（X=-1)=0.4,P(X=1）=0.4，P(X=3)=0.2。］

练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1）=0。2,P（X=2)=0。3，P（X=3)=0。5，写出其分布函数F(x）。
[答案：当x＜1时，F(x)=0； 当1≤x＜2时，F（x）=0.2；
当2≤x＜3时，F(x)=0。5;当3≤x时，F（x）=1
四、二维连续型随机向量
例：设与相互独立,且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：
(1）联合概率密度与联合分布函数；（2）;
（3）在取值的概率.
解：（1）依题知

所以联合概率密度为

当时，有

所以联合分布函数

(2）；
（3)
练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是
求:（1）关于X的边缘密度函数f X(x)；(2）P{X≥50，Y≥50}

五、二维离散型随机向量
设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量（X，Y）的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处.

[ 答案: ]

六、协差矩阵
例:已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为
计算随机向量(X＋Y， X－Y）的协差矩阵
解：DX=4， DY=9， COV(X,Y)=6
D(X＋Y）= DX + DY +2 COV(X，Y)=25
D（X-Y） = DX + DY -2 COV(X，Y)=1
COV（X＋Y, X－Y）=DX—DY=—5
故（X＋Y, X－Y）的协差矩阵

练习:随机向量(X,Y)服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为
计算随机向量(9X＋Y， X－Y）的协差矩阵
解：E（9X+Y）= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2
E（X－Y）= EX－E Y＝μ1－μ2
D（9X＋Y)=81DX + DY +18 COV（X,Y）=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22
D（X－Y）= DX + DY －2 COV(X，Y）=σ12－2ρσ1σ2＋σ22
COV(9X＋Y， X－Y）=9DX-DY－8 COV（X，Y）= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22
然后写出它们的矩阵形式（略）

七、随机变量函数的密度函数
例：设X~U（0,2),则Y=在（0，4）内的概率密度（ ）。
［答案 填：]
解：X~U（0,2） ， ,
求导出= （)

练习：设随机变量X在区间［1，2]上服从均匀分布,求Y=的概率密度f（y）。
[答案：当时，f(y）=,当y在其他范围内取值时，f(y）=0.］
八、中心极限定理
例:设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹地命中率等于0。2.请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。

解:设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B（400,0.2），EX=80,DX=64,
由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64)
P{60<X〈100}=P｛—2。5<（X-80）/8〈2。5}=2φ（2.5）－1＝0.9876

练习:袋装食盐，每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。

九、最大似然估计
例:设总体X的概率密度为

其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。
解：设似然函数
对此式取对数，即：
且
令可得，此即的极大似然估计量。
例：设总体的概率密度为

据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。
解:由
得总体的样本的似然函数

再取对数得：

再求对的导数：
令,得
所以未知参数的最大似然估计量为。
练习：设总体X的密度函数为
X1,X2,…，Xn是取自总体X的一组样本，求参数α的最大似然估计

十、区间估计
总体X服从正态分布N（μ，σ2), X1，X2,…,Xn为X的一个样本
1：σ2已知，求μ的置信度为1—α置信区间

2：σ2未知，求μ的置信度为1-α置信区间

3:求σ2置信度为1-α的置信区间

例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下： 。求该校女生平均身高的95％的置信区间。
解： ,由样本数据得
查表得:t0.05（？)=2.2622,故平均身高的95％的置信区间为

例：从总体X服从正态分布N(μ，σ2)中抽取容量为10的一个样本,样本方差S2＝0.07,试求总体方差σ2的置信度为0。95的置信区间。
解：因为，所以的95%的置信区间为:
, 其中S2＝0.07， ,所以=
=（0。033,0.233)

例：已知某种材料的抗压强度, 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482， 493, 457, 471， 510， 446， 435, 418， 394, 469.
（1)求平均抗压强度的点估计值;
(2）求平均抗压强度的95％的置信区间;
（3)若已知=30， 求平均抗压强度的95％的置信区间；
（4）求的点估计值；
（5)求的95％的置信区间；

解: (1)0
（2) 因为， 故参数的置信度为0.95的置信区间是:
, 经计算，s = 35.276， n =10,
查自由度为9的分位数表得, ,故
=={432.30， 482。70｝
（3) 若已知=30, 则平均抗压强度的95％的置信区间为:
=
={438。90，476.09}
（4） =S2=1 240.28
(5) 因为,所以的95％的置信区间为：
,其中S2=1 240.28, ,所以=
={586.79,4134.27｝

十一、假设检验
1． 已知方差σ2，关于期望μ的假设检验

2． 未知方差σ2，关于期望μ的假设检验

3． 未知期望μ,关于方差σ2的假设检验
例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N（4。55，0。112)，现在测定了9炉铁水,含碳量平均数，样本方差S 2＝0.0169。若总体方差没有变化,即σ2＝0.121，问总体均值μ有无显著变化?（α＝0。05)

解：原假设H0：μ＝4。55
统计量，当H0成立时,U服从N（0，1)
对于α＝0。05，U0.025=1。96

故拒绝原假设,即认为总体均值μ有显著变化

练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下,这种零件的轴长服从正态分布,均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得
厘米，S=0。016厘米.问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？(α＝0.05）
【 不一样 】

例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度kg/cm2服从正态分布. 从中选取一个容量为9的样本， 得 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 （）。
解: H0：u=800.
采用统计量U=
其中σ=40， u0=800, n=9,
,查标准正态分布表得=1。96
|U ｜=，
｜ U ｜<, 应接受原假设，即可以认为这批钢索的断裂强度为800kg/cm2.
练习：某厂生产铜丝，生产一向稳定。现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力，测后经计算： 。假定铜丝折断力服从正态分布，问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16？（α＝0。1)
【是】

十二、证明题:
例：总体, 其中是未知参数， 又为取自该总体的样本,为样本均值。 证明： 是参数的无偏估计.
证明： 因为=， 故是参数的无偏估计.

例：设是参数的无偏估计量, , 证明： 不是的无偏估计量.
证明：因为是参数的无偏估计量,所以，, 即,
故 不是的无偏估计量。

其它证明题见同步练习46页五、50页五、

十三、其它题目
例:设随机变量X在区间［2，5］上服从均匀分布,求对X进行的三次独立观测中,至少有两次的观测值大于3的概率。
解：P（X＞3）=d= ， 则所求概率即为

练习:设测量误差X～N(0，100)，求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求其近似值(精确到0。01)。

解：由于X～N（0，100）,则
P（|X｜＞19。6）=1- P(｜X|19.6)=2[1—(1。96)］=0。05且显然Y～B（100,0.05）,故P(Y3)
=1- P(Y 2）=1—
设l= np =100×0.05=5，且Y~P(5)，则
P(Y3）=1- P（Y 2)=1-=0。875348

例：对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩(按百分制计）近似服从正态分布,平均72分，且96分以上的考生数占2。3％。求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。
解：设X表示考生的外语成绩，且X～N（72，），则
P(X >96)=1—P（X 96）=1-()=0.023，
即 ()=0。977,查表得=2，则 =12，即且X～N（72，144)，
故P(60X84）=P（-11）=2(1）—1=0.682

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