[考研数学]概率论与数理统计复习题.doc

(完整版)考研数学概率论与数理统计复习题概率论与数理统计复习题一：全概率公式和贝叶斯公式例:某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2:1，各车间产品的不合格率依次为8,9， 12 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；(2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率.解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品不合格，则A1,A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2， P（A2)=1/3， P(A3）=1/6，P(B A1）0。08，P(B A2）0.09,P（B| A3）0。12。由全概率公式P(B） = P（A1)P（B| A1）+ P（A2）P(B| A2）+ P(A3）P(B A3） = 0。09由贝叶斯公式:P(A1 B)P（A1B)/P(B) = 4/9练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍,第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2,2%，4% 。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？ 【 0.4 】练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（1）取出的零件是一等品的概率；(2）在先取的是一等品的条件下,后取的仍是一等品的条件概率。解:设事件=从第i箱取的零件，=第i次取的零件是一等品（1）P（)=P(）P（）+P（）P（）=(2）P()=,则P(）= 0。485二、连续型随机变量的综合题例：设随机变量X的概率密度函数为求：（1)常数;(2）EX;（3)P1X3；（4）X的分布函数F(x)解：(1）由得到1/2(2)(3)（4)当x0时，当0x2时,当x2时，F(x)=1故练习：已知随机变量X的密度函数为且E(X）=7/12。求：（1)a , b ;（2）X的分布函数F（x） 练习：已知随机变量X的密度函数为求：（1）X的分布函数F（x) ；(2)P0.3X2三、离散型随机变量和分布函数例：设X的分布函数F（x)为： ， 则X的概率分布为（ ）。分析:其分布函数的图形是阶梯形，故x是离散型的随机变量 答案： P（X=-1)=0.4,P(X=1）=0.4，P(X=3)=0.2。练习：设随机变量X的概率分布为P(X=1）=0。2,P（X=2)=0。3，P（X=3)=0。5，写出其分布函数F(x）。 答案：当x1时，F(x)=0； 当1x2时，F（x）=0.2； 当2x3时，F(x)=0。5;当3x时，F（x）=1 四、二维连续型随机向量例：设与相互独立,且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：(1）联合概率密度与联合分布函数；（2）;（3）在取值的概率.解：（1）依题知 所以联合概率密度为当时，有所以联合分布函数 (2）； （3)练习：设二元随机变量（X，Y）的联合密度是求:（1）关于X的边缘密度函数f X(x)；(2）PX50，Y50五、二维离散型随机向量设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机向量（X，Y）的联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,试将其他数值填入表中的空白处. 答案: 六、协差矩阵例:已知随机向量（X,Y）的协差矩阵V为计算随机向量(XY， XY）的协差矩阵解：DX=4， DY=9， COV(X,Y)=6D(XY）= DX + DY +2 COV(X，Y)=25D（X-Y） = DX + DY -2 COV(X，Y)=1COV（XY, XY）=DXDY=5故（XY, XY）的协差矩阵练习:随机向量(X,Y)服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为计算随机向量(9XY， XY）的协差矩阵解：E（9X+Y）= 9EX+ E Y91+2E（XY）= EXE Y12D（9XY)=81DX + DY +18 COV（X,Y）=8112181222D（XY）= DX + DY 2 COV(X，Y）=1221222COV(9XY， XY）=9DX-DY8 COV（X，Y）= 91281222然后写出它们的矩阵形式（略）七、随机变量函数的密度函数例：设XU（0,2),则Y=在（0，4）内的概率密度（ ）。 答案 填：解：XU（0,2） ， ,求导出= （)练习：设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布,求Y=的概率密度f（y）。答案：当时，f(y）=,当y在其他范围内取值时，f(y）=0.八、中心极限定理例:设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹地命中率等于0。2.请用中心极限定理计算命中60发到100发的概率。解:设X表示400发炮弹的命中颗数，则X服从B（400,0.2），EX=80,DX=64,由中心极限定理：X服从正态分布N(80,64)P60X100=P2。5（X-80）/82。5=2（2.5）10.9876练习:袋装食盐，每袋净重为随机变量,规定每袋标准重量为500克，标准差为10克，一箱内装100袋，求一箱食盐净重超过50250克的概率。九、最大似然估计例:设总体X的概率密度为 其中未知参数，是取自总体的简单随机样本，用极大似然估计法求的估计量。解：设似然函数对此式取对数，即：且令可得，此即的极大似然估计量。例：设总体的概率密度为 据来自总体的简单随机样本，求未知参数的最大似然估计量。解:由得总体的样本的似然函数 再取对数得： 再求对的导数：令,得所以未知参数的最大似然估计量为。练习：设总体X的密度函数为X1,X2,，Xn是取自总体X的一组样本，求参数的最大似然估计十、区间估计总体X服从正态分布N（，2), X1，X2,Xn为X的一个样本 1：2已知，求的置信度为1置信区间2：2未知，求的置信度为1-置信区间3:求2置信度为1-的置信区间例：设某校学生的身高服从正态分布，今从该校某班中随机抽查10名女生，测得数据经计算如下： 。求该校女生平均身高的95的置信区间。解： ,由样本数据得查表得:t0.05（？)=2.2622,故平均身高的95的置信区间为例：从总体X服从正态分布N(，2)中抽取容量为10的一个样本,样本方差S20.07,试求总体方差2的置信度为0。95的置信区间。解：因为，所以的95%的置信区间为:, 其中S20.07， ,所以=（0。033,0.233)例：已知某种材料的抗压强度, 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482， 493, 457, 471， 510， 446， 435, 418， 394, 469. （1)求平均抗压强度的点估计值;(2）求平均抗压强度的95的置信区间;（3)若已知=30， 求平均抗压强度的95的置信区间；（4）求的点估计值；（5)求的95的置信区间；解: (1)0（2) 因为， 故参数的置信度为0.95的置信区间是:, 经计算，s = 35.276， n =10,查自由度为9的分位数表得, ,故=432.30， 482。70（3) 若已知=30, 则平均抗压强度的95的置信区间为:=438。90，476.09（4） =S2=1 240.28(5) 因为,所以的95的置信区间为：,其中S2=1 240.28, ,所以=586.79,4134.27十一、假设检验1 已知方差2，关于期望的假设检验2 未知方差2，关于期望的假设检验3 未知期望,关于方差2的假设检验例：已知某铁水含碳量在正常情况下服从正态分布N（4。55，0。112)，现在测定了9炉铁水,含碳量平均数，样本方差S 20.0169。若总体方差没有变化,即20.121，问总体均值有无显著变化?（0。05)解：原假设H0：4。55统计量，当H0成立时,U服从N（0，1)对于0。05，U0.025=1。96故拒绝原假设,即认为总体均值有显著变化练习：某厂生产某种零件，在正常生产的情况下,这种零件的轴长服从正态分布,均值为0.13厘米。若从某日生产的这种零件中任取10件，测量后得厘米，S=0。016厘米.问该日生产得零件得平均轴长是否与往日一样？(0.05）【 不一样 】例：设某厂生产的一种钢索, 其断裂强度kg/cm2服从正态分布. 从中选取一个容量为9的样本， 得 kg/cm2. 能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm2 （）。解: H0：u=800.采用统计量U=其中=40， u0=800, n=9, ,查标准正态分布表得=1。96|U =， U 96)=1P（X 96）=1-()=0.023，即 ()=0。977,查表得=2，则 =12，即且XN（72，144)，故P(60X84）=P（-11）=2(1）1=0.68210